1.前言

在數字信號處理中 ,由于信號中經?；煊懈鞣N復雜成分，所以很多信號分析都是基于濾波器而進行的， 因此數字濾波器占有極其重要的地位 。數字濾波器是具有一定傳輸選擇特性的數字信號處理裝置,其輸入與輸出均為數字信號,實質上是一個由有限精度算法實現的線性時不變離散系統。它的基本工作原理是利用離散系統特性對系統輸入信號進行加工和變換,改變輸入序列的頻譜或信號波形,讓有用頻率的信號分量通過,抑制無用的信號分量輸出。數字濾波器和模擬濾波器有著相同的濾波概念,根據其頻率響應特性可分為低通、高通、帶通、帶阻等類型。與模擬濾波器相比,數字濾波器除了具有數字信號處理固有優點外,還有濾波精度高、穩定性好、靈活性強等優點。 FIR 濾波器可以得到嚴格的線性相位,但它的傳遞函數的極點固定在原點,只能通過改變零點位置來改變性能,為了達到高的選擇性,必須用較高的階數,對于同樣的濾波器設計指標,FIR 濾波器要求的階數可能比 IIR 濾波器高 5～10 倍。
由于 FIR 數字濾波器具有嚴格的相位特性，對于信號處理和數據傳輸是很重要的。目前 FIR 濾波器的設計方法主要有三種：窗函數法、頻率抽樣法和優化設計(切比雪夫逼近)方法。

2.窗函數法設計 FIR 濾波器思想

窗函數設計法又稱為傅里葉級數法。這種方法首先給出 H(jΩ)， H(jΩ) 表示要逼近的理想濾波器的頻率響應，則由 IDTFT 可得出濾波器的單位脈沖響應為：

由于是理想濾波器，故 hd[k]是無限長序列。但是我們所要設計的 FIR 濾波器，其 h[k]是有限長的。為了能用 FIR 濾波器近似理想濾波器，需將理想濾波器的無限長單位脈沖響應 hd[k]分別從左右進行截斷。當截斷后的單位脈沖響應hd[k]不是因果系統的時候，可將其右移從而獲得因果的 FIR 濾波器。

(核心:理想濾波器頻率設計->反變換時域無限長信號->信號截斷->右移變因果系統)

理想濾波器的頻率響應 Hd()和設計出的濾波器的頻率響應 Hd()的積分平方誤差定義為:

3.吉布斯現象產生的原因

Gibbs 現象就是理想濾波器的單位脈沖響應hd[k]截斷獲得的 FIR 濾波器的幅度函數 A(Ω) 在通帶和阻帶都呈現出振蕩現象。隨著濾波器階數的增加，幅度函數在通帶和阻帶振蕩的波紋數量也隨之增加，波紋的寬度隨之減小，然而通帶和阻帶最大波紋的幅度與濾波器的階數 M 無關。窗函數的主瓣寬度決定了Hd (jΩ)過渡帶的寬度，窗函數長度 N 增大，過渡帶減小。
下面介紹一些常用的窗函數，用 N=M+1 表示窗函數的長度。

3.1?矩形窗?Rectangle

特點：矩形窗使用最多，習慣上不加窗就是使信號通過了矩形窗。這種窗的優點是主瓣比較集中，缺點是旁瓣較高，并有負旁瓣，導致變換中帶進了高頻干擾和泄漏，甚至出現負譜現象。頻率識別精度最高，幅值識別精度最低，所以矩形窗不是一個理想的窗。

應用：如果僅要求精確讀出主瓣頻率，而不考慮幅值精度，則可選用矩形窗，例如測量物體的自振頻率等，也可以用在階次分析中。

3.2?漢寧窗?Hanning

特點：主瓣加寬并降低，旁瓣則顯著減小，從減小泄漏觀點出發，漢寧窗優于矩形窗。但漢寧窗主瓣加寬，相當于分析帶寬加寬，頻率分辨力下降。它與矩形窗相比，泄漏、波動都減小了,并且選擇性也提高。 應用：漢寧窗是很有用的窗函數。如果測試信號有多個頻率分量，頻譜表現的十分復雜，且測試的目的更多關注頻率點而非能量的大小，需要選擇漢寧窗。如果被測信號是隨機或者未知的，選擇漢寧窗。

3.3?海明窗?Hamming

特點：與漢寧窗都是余弦窗，又稱改進的升余弦窗，只是加權系數不同，使旁瓣達到更小。但其旁瓣衰減速度比漢寧窗衰減速度慢。 應用：與漢明窗類似，也是很有用的窗函數。

3.4?高斯窗?Gaussian

特點：是一種指數窗。主瓣較寬，故而頻率分辨力低；無負的旁瓣，第一旁瓣衰減達一55dB。常被用來截短一些非周期信號，如指數衰減信號等。 應用：對于隨時間按指數衰減的函數，可采用指數窗來提高信噪比。

3.5布萊克曼窗?Blackman

特點：二階升余弦窗，主瓣寬，旁瓣比較低，但等效噪聲帶寬比漢寧窗要大一點，波動卻小一點。頻率識別精度最低，但幅值識別精度最高，有更好的選擇性。 應用：常用來檢測兩個頻率相近幅度不同的信號。

3.6?平頂窗?Flap Top

特點：平頂窗在頻域時的表現就象它的名稱一樣有非常小的通帶波動。 應用：由于在幅度上有較小的誤差，所以這個窗可以用在校準上。

4.信號的截斷及能量泄漏效應?

數字信號處理的主要數學工具是傅里葉變換。應注意到，傅里葉變換是研究整個時間域和頻率域的關系。然而，當運用計算機實現工程測試信號處理時，不可能對無限長的信號進行測量和運算，而是取其有限的時間片段進行分析。做法是從信號中截取一個時間片段，然后用觀察的信號時間片段進行周期延拓處理，得到虛擬的無限長的信號，然后就可以對信號進行傅里葉變換、相關分析等數學處理。?

信號截斷以后產生的能量泄漏現象是必然的，因為窗函數w(t)是一個頻帶無限的函數，所以即使原信號x(t)是限帶寬信號，而在截斷以后也必然成為無限帶寬的函數，即信號在頻域的能量與分布被擴展了．又從采樣定理可知，無論采樣頻率多高，只要信號一經截斷，就不可避免地引起混疊，因此信號截斷必然導致一些誤差，這是信號分析中不容忽視的問題．
如果增大截斷長度T，即矩形窗口加寬，則窗譜 W（ω）將被壓縮變窄（π／T減小）．雖然理論上講，其頻譜范圍仍為無限寬，但實際上中心頻率以外的頻率分量衰減較快，因而泄漏誤差將減小．當窗口寬度T趨于無窮大時，則譜窗W（ω）將變為δ（ω）函數，而δ（ω）與X（ω）的卷積仍為X（ω），這說明，如果窗口無限寬，即不截斷，就不存在泄漏誤差。
為了減少頻譜能量泄漏，可采用不同的截取函數對信號進行截斷，截斷函數稱為窗函數，簡稱為窗。泄漏與窗函數頻譜的兩側旁瓣有關，如果兩側瓣的高度趨于零，而使能量相對集中在主瓣，就可以較為接近于真實的頻譜，為此，在時間域中可采用不同的窗函數來截斷信號。?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的FIR数字滤波器设计_窗函数法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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