一、Dijkstra算法（單個頂點到其他頂點的最短距離）

定義概覽
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的單源最短路徑算法，用于計算一個節(jié)點到其他所有節(jié)點的最短路徑。主要特點是以起始點為中心向外層層擴展，直到擴展到終點為止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路徑算法，在很多專業(yè)課程中都作為基本內(nèi)容有詳細(xì)的介紹，如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，圖論，運籌學(xué)等等。注意該算法要求圖中不存在負(fù)權(quán)邊。
問題描述：在無向圖 G=(V,E) 中，假設(shè)每條邊 E[i] 的長度為 w[i]，找到由頂點 V0 到其余各點的最短路徑。（單源最短路徑）

算法描述

1)算法思想：

設(shè)G=(V,E)是一個帶權(quán)有向圖，把圖中頂點集合V分成兩組，第一組為已求出最短路徑的頂點集合（用S表示，初始時S中只有一個源點，以后每求得一條最短路徑 就將加入到集合S中，直到全部頂點都加入到S中，算法就結(jié)束了），第二組為其余未確定最短路徑的頂點集合（用U表示），按最短路徑長度的遞增次序依次把第二組的頂點加入S中。在加入的過程中，總保持從源點v到S中各頂點的最短路徑長度不大于從源點v到U中任何頂點的最短路徑長度。此外，每個頂點對應(yīng)一個距離，S中的頂點的距離就是從v到此頂點的最短路徑長度，U中的頂點的距離，是從v到此頂點只包括S中的頂點為中間頂點的當(dāng)前最短路徑長度。

2)算法步驟：

a.初始時，S只包含源點，即S＝{v}，v的距離為0。U包含除v外的其他頂點，即:U={其余頂點}，若v與U中頂點u有邊，則<u,v>正常有權(quán)值，若u不是v的出邊鄰接點，則<u,v>權(quán)值為∞。
b.從U中選取一個距離v最小的頂點k，把k，加入S中（該選定的距離就是v到k的最短路徑長度）。
c.以k為新考慮的中間點，修改U中各頂點的距離；若從源點v到頂點u的距離（經(jīng)過頂點k）比原來距離（不經(jīng)過頂點k）短，則修改頂點u的距離值，修改后的距離值的頂點k的距離加上邊上的權(quán)。
d.重復(fù)步驟b和c直到所有頂點都包含在S中。

3）動態(tài)圖

4）示意圖

5)缺點：
dijkstra算法無法解決邊權(quán)為負(fù)的情況。因為dijkstra在對于路徑長短的選擇上采用了貪心思想。因此，若某一邊權(quán)為負(fù)，則容易忽略該線路。對于dijkstra算法來說，訪問點的選擇是選擇未訪問過的點中距離源點最近的點，而不是對每一種路徑可能都進行遍歷。

二、Floyd算法（可以正確處理有向圖或有向圖或負(fù)權(quán)（但不可存在負(fù)權(quán)回路)的最短路徑問題）

定義概覽

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解決任意兩點間的最短路徑的一種算法，可以正確處理有向圖或負(fù)權(quán)的最短路徑問題，同時也被用于計算有向圖的傳遞閉包。Floyd-Warshall算法的時間復(fù)雜度為O(N3)，空間復(fù)雜度為O(N2)。

算法描述

1)算法思想原理：
Floyd算法是一個經(jīng)典的動態(tài)規(guī)劃算法。用通俗的語言來描述的話，首先我們的目標(biāo)是尋找從點i到點j的最短路徑。從動態(tài)規(guī)劃的角度看問題，我們需要為這個目標(biāo)重新做一個詮釋（這個詮釋正是動態(tài)規(guī)劃最富創(chuàng)造力的精華所在）

從任意節(jié)點i到任意節(jié)點j的最短路徑不外乎2種可能，
1.是直接從i到j(luò);
2.是從i經(jīng)過若干個節(jié)點k到j(luò)。所以，我們假設(shè)Dis(i,j)為節(jié)點u到節(jié)點v的最短路徑的距離，對于每一個節(jié)點k，我們檢查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，證明從i到k再到j(luò)的路徑比i直接到j(luò)的路徑短，我們便設(shè)置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，這樣一來，當(dāng)我們遍歷完所有節(jié)點k，Dis(i,j)中記錄的便是i到j(luò)的最短路徑的距離。

2).算法描述：
a.從任意一條單邊路徑開始。所有兩點之間的距離是邊的權(quán)，如果兩點之間沒有邊相連，則權(quán)為無窮大。 　　
b.對于每一對頂點 u 和 v，看看是否存在一個頂點 w 使得從 u 到 w 再到 v 比己知的路徑更短。如果是更新它。
3)示意圖：

參考文章

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的最短路径：Dijkstra算法和Floyd算法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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