怎么在計算機(jī)中表示負(fù)數(shù)？
正數(shù)在計算機(jī)中的表示，我們都比較清楚，轉(zhuǎn)為二進(jìn)制，也知道如何表示。那負(fù)數(shù)在計算機(jī)上如何表示呢？
比如，8在計算機(jī)中的二進(jìn)制表示是00001000。
那么比較很容易想到，可以將一個二進(jìn)制位（bit）專門規(guī)定為符號位，它等于0時就表示正數(shù)，等于1時就表示負(fù)數(shù)。比如，在8位機(jī)中，規(guī)定每個字節(jié)的最高位為符號位。那么，+8就是00001000，而-8則是10001000。
但是，隨便找一本《計算機(jī)原理》，都會告訴你，實(shí)際上，計算機(jī)內(nèi)部采用2的補(bǔ)碼（Two’s Complement）表示負(fù)數(shù)。
什么是2的補(bǔ)碼呢？
它是一種數(shù)值的轉(zhuǎn)換方法，要分兩步完成：
1、每一個二進(jìn)制位都要取反，0變成1，1變成0.比如，00001000變成11110111。
2、將上一步得到的值加1，11110111就變成了11111000。
所以，00001000的2的補(bǔ)碼就是11111000，也就是說8的補(bǔ)碼在計算機(jī)中用11111000表示。

那么為什么非要用這種取反加一的方式表示負(fù)數(shù)呢，直接用最高符號位表示不更方便嗎？
現(xiàn)在就來解釋下這樣做的原因。
為什么用2的補(bǔ)碼表示負(fù)數(shù)？
首先，要明確一點(diǎn)，在計算機(jī)內(nèi)部用什么表示負(fù)數(shù)，其實(shí)是無所謂的，只要你能夠保持一一對應(yīng)的關(guān)系，就可以用任意的方式來表示負(fù)數(shù)。所以，既然可以任意選擇，那我們就要選擇一種最方便的方式。
2的補(bǔ)碼呢，就是最方便的方式，它的便利體現(xiàn)在，所有的加法運(yùn)算都可以使用同一種電路來完成。
還是以-8來作為例子。
假定有兩種表示方法，一種就是最高符號位方法，即10001000。一種是2的補(bǔ)碼表示法，即11111000。請問哪一種方法在加法運(yùn)算中更方便呢？
隨便寫一個計算式，16+（-8）=？
16的二進(jìn)制表示是00010000，所以用最高符號位方法，加法就要寫成：
　０００１００００
＋１０００１０００
－－－－－－－－－
　１００１１０００
可以看到按照正常的加法規(guī)則，得到了10011000的結(jié)果，轉(zhuǎn)成十進(jìn)制就是-24。顯然，這就是錯誤的答案。也就是說，在這種情況下，正常的加法規(guī)則不適用正數(shù)與負(fù)數(shù)的加法，因此必須要制定兩套運(yùn)算規(guī)則，一套用于正數(shù)加正數(shù)，一種用于正數(shù)加負(fù)數(shù)。從電路上來說，就是必須要為加法運(yùn)算做兩種電路。這…
現(xiàn)在，再來看2的補(bǔ)碼表示法:
　０００１００００
＋１１１１１０００
－－－－－－－－－
１００００１０００
可以看到按照正常的加法規(guī)則，得到100001000的結(jié)果。注意一下，這是一個9位的二進(jìn)制。因為我們已經(jīng)假設(shè)這是一個8位機(jī)，因此最高的第9位是一個溢出位，會被自動舍去。所以結(jié)果就變成了00001000，轉(zhuǎn)成十進(jìn)制就是8，也就是正確答案啦。這就說明2的補(bǔ)碼表示法可以將加法運(yùn)算規(guī)則，擴(kuò)展到整個數(shù)據(jù)集，從而一套電路就可以實(shí)現(xiàn)全部正數(shù)的加法，用一套規(guī)則舉行。

2的補(bǔ)碼的本質(zhì)以及正確性

我們要看先一下模的概念“模”是指一個計量系統(tǒng)的計數(shù)范圍。如時鐘等。計算機(jī)也可以看成一個計量機(jī)器，它也有一個計量范圍，即都存在一個“模”。例如：時鐘的計量范圍是0～11，模=12。表示n位的計算機(jī)計量范圍是$0～2^{n?1}$,模就是$2^n$。“模”實(shí)質(zhì)上是計量器產(chǎn)生“溢出”的量，它的值在計量器上表示不出來，計量器上只能表示出模的余數(shù)。任何有模的計量器，均可化減法為加法運(yùn)算。
　　例如： 假設(shè)當(dāng)前時針指向10點(diǎn)，而準(zhǔn)確時間是6點(diǎn)，調(diào)整時間可有以下兩種撥法：你可以往回?fù)?個小時，也可以向前撥8個小時（12-10+6，在鐘表系統(tǒng)里模是12）在以12模的系統(tǒng)中，加8和減4效果是一樣的，因此凡是減4運(yùn)算，都可以用加8來代替。
　　對“模”而言，8和4互為補(bǔ)數(shù)。實(shí)際上以12模的系統(tǒng)中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有這個特性。共同的特點(diǎn)是兩者相加等于模。
　　對于計算機(jī)，其概念和方法完全一樣。n位計算機(jī)，設(shè)n=8， 所能表示的最大數(shù)是11111111，若再加1稱為100000000(9位)，但因只有8位，最高位1自然丟失。又回了00000000，所以8位二進(jìn)制系統(tǒng)的模為2^8。 在這樣的系統(tǒng)中減法問題也可以化成加法問題，只需把減數(shù)用相應(yīng)的補(bǔ)數(shù)表示就可以了。
再次重申一下這句話：
在以12模的系統(tǒng)中，加8和減4效果是一樣的，因此凡是減4運(yùn)算，都可以用加8來代替。

所以對應(yīng)模為100000000的8位機(jī)來說，-b 就等于加上10000 0000-b。
而（10000 0000-b）是什么？恰好就是b的補(bǔ)碼
補(bǔ)碼怎么求，“取反加一” 這口訣怎么來的？
承認(rèn)了8 - 5 = 8 + （-5的補(bǔ)碼）這個事實(shí)后，我們來看-5的補(bǔ)碼怎么求，“取反加一”怎么來的
其實(shí)看完了上面的模的問題，該問題的答案基本已經(jīng)出來了
-5的補(bǔ)碼是 10000 0000 - 5 = 1111 1111 + 1 -5 = （1111 1111 - 5） + 1
1111 1111 - 0000 0101 +1 =1111 1010 +1 =1111 1011
然后，用8+1111 1011，即0000 1000 + 1111 1011 =10000 0011，8位機(jī)，即0000 0011，轉(zhuǎn)為十進(jìn)制就是3。也就是正確答案。
所以，2的補(bǔ)碼的本質(zhì)就是模的計算，減去一個數(shù)，都可以用加上補(bǔ)數(shù)（模減去它）來算的。

總結(jié)

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