微分幾何和微分流形的書上經常提到“正則曲線”和“正則曲面”。其實英文書中寫作”Regular Curve“和”Regular Surface“，讓人一眼能夠了解其大意（這也是我更偏向看英文原版書的原因）。我就想，數學家為啥不翻譯成”規則曲線“和”規則曲面“呢？難道是為了更進一步提高數學的門檻？

言歸正傳，我們來看看Regular Curve和Regular Surface的真正的數學含義。（參考Manfredo P. do Carmo的《Differential Geometry of Curves and Surfaces》）

Regular Curve

我們學習微積分的時候，已經知道了”連續“以及”可微“的概念（所謂可微就是函數連續的前提下，左導數等于右導數）。在微分幾何中一條參數化可微曲線可以作如下定義：

一條參數化的可微曲線是定義在一個開區間上的可微映射：

，其中 。

舉例1：直線，

，它在開區間 可微

舉例2：圓，

在開區間 上可微。

舉例3：

可微，需要注意的是在 處， （是一個奇點），所以此曲線不是一條正則曲線（稍后解釋），如下圖：

舉例4：折線

, ，不是一條可微曲線，因為在t = 0處，函數不可微。

舉例5：自相交曲線

, 是一條可微曲線，其中 ，也就是說曲線在（0，0）并不是一對一關系。但它依然是一條正則曲線（稍后解釋）。

總結一下正則曲線（Regular Curve）的定義：

一條參數化的可微曲線

為正則曲線需要滿足的條件是，對于任何 , 。

也就是說：正則曲線在滿足連續可微條件之外，必須保證每一處的切向量不為0。

2. Regular Surface

對于曲面，首先我們知道曲面是一個二維到三維的映射，用數學的語言描述一下就是

,

那么我們如何定義一個正則曲面呢？

我們可以這樣想：過曲面上一點P有無數條在此曲面上的曲線，這些曲線在P的鄰域內都是正則曲線（連續可微有非0切向量），并且在這些曲線在P的鄰域內不會自相交（記住正則曲線不能保證曲線不會自相交哦），那么這個P點就是曲面上的正則點，如果曲面上所有的點都是正則點，那么這個曲面就是正則曲面！

下面我們用數學的語言來描述一下正則曲面：

1）曲面的映射

, 是任意階連續可微的（可以想象過曲面P點的所有曲線都是無窮階連續可微的曲線 ）,我們可以寫成：

其中

, , 有任意階的連續偏導。

2） 曲面的映射

, 是同胚映射（homomorphism，可以參看維基百科的https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E8%83%9A， 同胚指的是滿足單射、滿射、連續并且逆連續）。同胚保證了U和V之間元素的一對一關系，避免了自相交。

3）對于任意的

, 是 一對一映射。

關于

,可以出門左轉看我的這篇文章：Allan："dF" 的本質 （雅可比矩陣）?zhuanlan.zhihu.com

這里的一對一映射指的是，對于

，如果 ，那么 。

第1）條的作用是保證了曲面沒有尖點，沒有尖邊，第2）條的作用是保證了曲面沒有自相交，第3）條的作用比較none-trival，它的作用是保證曲面上的每點都有切平面，下面詳細解釋一下。

我們知道

，要保證有切平面，就需要 和 非線性相關，然后切平面上的任何向量都是 和 的線性組合。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的不连续曲线 highcharts_什么是正则曲线和正则曲面的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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