【OpenCV 例程200篇】73. 二維連續(xù)傅里葉變換

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2.1 二維連續(xù)傅里葉變換

設 $f(t,z)$ 是二維連續(xù)變量 $t,z$ 的連續(xù)函數(shù)，則其二維連續(xù)傅里葉變換和逆變換為：

$$\begin{array}{rl}F(\mu ,\nu )& ={\int }_{?\infty }^{+\infty }{\int }_{?\infty }^{+\infty }f(t,z)e^{?j2\pi (\mu t+\nu z)}dtdz\\ f(t,z)& ={\int }_{?\infty }^{+\infty }{\int }_{?\infty }^{+\infty }F(\mu ,\nu )e^{j2\pi (\mu t+\nu z)}d\mu d\nu \end{array}$$
對于圖像處理，式中的 $t,z$ 表示連續(xù)空間變量， $\mu ,\nu$ 表示連續(xù)頻率變量。

例程 8.7：二維連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換（二維盒式函數(shù)）

以盒式函數(shù)為例，其傅里葉變換為：

$$\begin{array}{rl}F(\mu ,\nu )& ={\int }_{?\infty }^{+\infty }{\int }_{?\infty }^{+\infty }f(t,z)e^{?j2\pi (\mu t+\nu z)}dtdz\\ & ={\int }_{?T/2}^{+T/2}{\int }_{?Z/2}^{+Z/2}A{e}^{?j2\pi (\mu t+\nu z)}dtdz\\ & =ATZ[\frac{sin(\pi \mu T)}{\pi \mu T}][\frac{sin(\pi \nu Z)}{\pi \nu Z}]\end{array}$$

# 8.7：二維連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換（二維盒式函數(shù)）# 二維盒式函數(shù) (2D-Box_function)t = np.arange(-5, 5, 0.1) # start, end, stepz = np.arange(-5, 5, 0.1)height, width = len(t), len(z)tt, zz = np.meshgrid(t, z) # 將一維數(shù)組 xnew, ynew 轉換為網格點集（二維數(shù)組）f = np.zeros([len(t), len(z)]) # 初始化，置零f[30:70, 30:70] = 1 # 二維盒式函數(shù)fu = np.sinc(t)fv = np.sinc(z)fuv = np.outer(np.sinc(t), np.sinc(z)) # 由公式計算連續(xù)傅里葉變換print(fu.shape, fv.shape, fuv.shape)fig = plt.figure(figsize=(10, 6))ax1 = plt.subplot(121, projection='3d')ax1.set_title("2D-Box function")ax1.plot_wireframe(tt, zz, f, rstride=2, cstride=2, linewidth=0.5, color='c')ax1.set_xticks([]), ax1.set_yticks([]), ax1.set_zticks([])ax2 = plt.subplot(122, projection='3d')ax2.set_title("2D-Fourier transform")ax2.plot_wireframe(tt, zz, fuv, rstride=2, cstride=2, linewidth=0.5, color='c')ax2.set_xticks([]), ax2.set_yticks([]), ax2.set_zticks([])plt.show()

例程 8.8：二維連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換（不同參數(shù)的盒式函數(shù)）

# 8.8：二維連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換（不同參數(shù)的盒式函數(shù)）# 二維盒式函數(shù) (2D-Box_function)height, width = 128, 128m = int((height - 1) / 2)n = int((width - 1) / 2)fig = plt.figure(figsize=(9, 6))T = [5, 10, 20]print(len(T))for i in range(len(T)):f = np.zeros([height, width]) # 初始化，置零f[m-T[i]:m+T[i], n-T[i]:n+T[i]] = 1 # 不同尺寸的盒式函數(shù)fft = np.fft.fft2(f)shift_fft = np.fft.fftshift(fft)amp = np.log(1 + np.abs(shift_fft))plt.subplot(2,len(T),i+1), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.imshow(f, "gray"), plt.title("Box Filter (T={})".format(T[i]))#plt.subplot(2,len(T),len(T)+i+1), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.imshow(amp, "gray"), plt.title("FFT Spectrum")plt.tight_layout()plt.show()

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（本節(jié)完）

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總結

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