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【youcans 的 OpenCV 例程 200 篇】110. 投影和雷登變換

7. 投影重建圖像

7.1 計(jì)算機(jī)斷層成像（Computed tomography）

圖像重建（Image Reconstruction）的基本思想，就是通過探測(cè)物體的投影數(shù)據(jù)，重建物體的實(shí)際內(nèi)部構(gòu)造。

斷層成像就是要獲得物體內(nèi)部的截面圖像。利用 X射線、超聲波等射線穿透被遮擋物體的透視投影圖，可以計(jì)算恢復(fù)物體的斷層圖，進(jìn)而可以利用斷層圖或直接從二維透視投影圖重建物體的形狀和內(nèi)部結(jié)構(gòu)。其原理是射線在穿過不同組織時(shí)的吸收率不同，在成像面上得到不同的投射強(qiáng)度，由此反演求得內(nèi)部分布的圖像。

X 射線、CT 技術(shù)就是應(yīng)用斷層重建的醫(yī)學(xué)診斷方法。計(jì)算機(jī)斷層掃描（CT）已經(jīng)發(fā)展成為一種非常成功和必不可少的醫(yī)學(xué)診斷工具，被認(rèn)為是 X 射線發(fā)現(xiàn)以來醫(yī)學(xué)影像領(lǐng)域最偉大的發(fā)明。

X 射線計(jì)算機(jī)斷層成像的基本原理是：使用 X 射線從多個(gè)不同方向和角度對(duì)物體進(jìn)行掃描，通過反投影算法獲取物體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的切片，堆疊這些切片就可以得到人體的三維表示。

投影重建還應(yīng)用于地礦探測(cè)，接收不同地層和礦體反射的超聲波， 按照超聲波在媒質(zhì)的透射率和反射規(guī)律，對(duì)透射投影圖進(jìn)行分析計(jì)算，就可以恢復(fù)重建地下的礦體形狀。

7.2 投影和雷登變換（Radon transform）

雷登變換是三維重建的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

一條直線 $y=ax+b$ 的法線束為：
$$xcos\theta +ysin\theta =\rho$$
沿該直線對(duì)函數(shù) $f(x,y)$ 進(jìn)行積分，這個(gè)積分結(jié)果就是雷登變換后的函數(shù) $\mathcal{R}f$ 在這條直線上的值：
$$g(\rho ,\theta )={\int }_{?\infty }^{+\infty }{\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x,y)\delta (xcos\theta +ysin\theta ?\rho )dxdy$$
雷登變換的離散形式：
$$g(\rho ,\theta )=\sum _{x=0}^{M?1}\sum _{y=0}^{N?1}f(x,y)\delta (xcos\theta +ysin\theta ?\rho )$$

雷登變換將二維空間 $xy$ 映射到了另一個(gè)二維空間 $\alpha s$，稱為直線空間。

雷登變換常被用于醫(yī)學(xué)影像處理，利用反雷登變換可以進(jìn)行三維圖像重建。

例程 9.23：雷登變換正弦圖

# # 9.23: 雷登變換正弦圖from scipy import ndimagedef discreteRadonTransform(image, steps):channels = image.shape[0]res = np.zeros((channels, channels), dtype=np.float32)for s in range(steps):rotation = ndimage.rotate(image, -s * 180/steps, reshape=False).astype(np.float32)res[:, s] = sum(rotation)return res# # 讀取原始圖像plt.figure(figsize=(9, 7))fileImg = ["Fig0534a.tif", "Fig0534b.tif", "Fig0534c.tif"] # 原始圖像 文件名for i in range(len(fileImg)):img = cv2.imread("../images/"+fileImg[i], flags=0) # flags=0 讀取為灰度圖像imgRadon = discreteRadonTransform(img, img.shape[0]) # Radon 變換print(img.shape, imgRadon.shape)plt.subplot(2, len(fileImg), i + 1), plt.axis('off') # 繪制原始圖像plt.title("origin image"), plt.imshow(img, 'gray')plt.subplot(2, len(fileImg), i + len(fileImg) + 1), plt.axis('off') # 繪制 sinogram 圖plt.title("Radon transform"), plt.imshow(imgRadon, 'gray')plt.tight_layout()plt.show()

（本節(jié)完）

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【youcans 的 OpenCV 例程200篇】02. 圖像的保存（cv2.imwrite）
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【youcans 的 OpenCV 例程200篇】109. 幾何均值濾波
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】110. 投影和雷登變換

總結(jié)

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