Python 實(shí)例介紹固定費(fèi)用問題的建模與求解。

學(xué)習(xí) PuLP工具包中處理復(fù)雜問題的快捷使用方式。

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前文講到幾種典型的 0-1 規(guī)劃問題，給出了 PuLP 求解的案例。由于 0-1 規(guī)劃問題種類很多，又是數(shù)模競賽熱點(diǎn)，有必要再結(jié)合幾個(gè)實(shí)例進(jìn)行介紹。

1. 固定費(fèi)用問題案例解析

1.1 固定費(fèi)用問題（Fixed cost problem）

固定費(fèi)用問題，是指求解生產(chǎn)成本最小問題時(shí)，總成本包括固定成本和變動(dòng)成本，而選擇不同生產(chǎn)方式會(huì)有不同的固定成本，因此總成本與選擇的生產(chǎn)方式有關(guān)。

固定費(fèi)用問題，實(shí)際上是互斥的目標(biāo)函數(shù)問題，對于不同的生產(chǎn)方式具有多個(gè)互斥的目標(biāo)函數(shù)，但只有一個(gè)起作用。固定費(fèi)用問題不能用一般的線性規(guī)劃模型求解。

一般地，設(shè)有 m 種生產(chǎn)方式可供選擇，采用第 j 種方式時(shí)的固定成本為 $K_j$、變動(dòng)成本為 $c_j$、產(chǎn)量為 $x_j$，則采用各種生產(chǎn)方式的總成本分別為：
$$min{P}_j=\{\begin{array}{ll}{k}_j+c_j{x}_j，& x_j\ge 0\\ 0，& x_j=0,j=1,...m\end{array}$$

該類問題的建模方法，為了構(gòu)造統(tǒng)一的目標(biāo)函數(shù)，可以引入 m 個(gè) 0-1 變量 y_j 表示是否采用第 j 種生產(chǎn)方式：
$$y_j=\{\begin{array}{l}0，不采用第j種生產(chǎn)方式\\ 1，采用第j種生產(chǎn)方式\end{array}$$

于是可以構(gòu)造新的目標(biāo)函數(shù)和約束條件：
$$\begin{gathered} minf(x)=\sum _{j=1}^m(k_j{y}_j+c_j{x}_j) \\ s.t.:x_j\le y_{j}M，j=1,...m \end{gathered}$$

M 是一個(gè)充分大的常數(shù)。

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1.2 案例問題描述

例題 1：
某服裝廠可以生產(chǎn) A、B、C 三種服裝，生產(chǎn)不同種類服裝需要租用不同設(shè)備，設(shè)備租金、生產(chǎn)成本、銷售價(jià)格等指標(biāo)如下表所示。

服裝種類設(shè)備租金材料成本銷售價(jià)格人工工時(shí)設(shè)備工時(shí)設(shè)備可用工時(shí)

單位	（元）	（元/件）	（元/件）	（小時(shí)/件）	（小時(shí)/件）	（小時(shí)）
A	5000	280	400	5	3	300
B	2000	30	40	1	0.5	300
C	2000	200	300	4	2	300

如果各類服裝的市場需求都足夠大，服裝廠每月可用人工時(shí)為 2000h，那么應(yīng)該如何安排生產(chǎn)計(jì)劃使利潤最大？

1.3 建模過程分析

首先要理解生產(chǎn)某種服裝就會(huì)發(fā)生設(shè)備租金，租金只與是否生產(chǎn)該產(chǎn)品有關(guān)，而與生產(chǎn)數(shù)量無關(guān)，這就是固定成本。因此本題屬于固定費(fèi)用問題。

有些同學(xué)下意識(shí)地認(rèn)為是從 3 種產(chǎn)品中選擇一種，但題目中并沒有限定必須或只能生產(chǎn)一種產(chǎn)品，因此決策結(jié)果可以是都不生產(chǎn)、選擇 1 種或 2 種產(chǎn)品、3 種都生產(chǎn)。

決策結(jié)果會(huì)是什么都不生產(chǎn)嗎？有可能的。

每種產(chǎn)品的利潤：（銷售價(jià)格 - 材料成本）× 生產(chǎn)數(shù)量 - 設(shè)備租金

本題中如果設(shè)備租金很高，決策結(jié)果就可能是什么都不做時(shí)利潤最大，這是利潤為 0，至少不虧。

現(xiàn)在可以用固定費(fèi)用問題的數(shù)學(xué)模型來描述問題了：

設(shè) $x_i$ 為是否生產(chǎn)第 $i$ 種服裝，$x_i$ 是 0/1變量：
$$x_i=\{\begin{array}{l}0，不生產(chǎn)第i種服裝\\ 1，生產(chǎn)第i種服裝，i=1,2,3\end{array}$$

設(shè) $y_i$ 為生產(chǎn)第 $i$ 種服裝的數(shù)量， $y_i$ 是整數(shù)類型。說 $y_i$ 是實(shí)數(shù)變量的同學(xué)，你經(jīng)常穿半條褲子嗎？

根據(jù)條件確定決策變量的取值范圍。例如，本例中的產(chǎn)量 $y_i$ 顯然要大于等于 0。進(jìn)一步地，題目并沒有直接給出 $y_i$ 的取值上限，但可以從設(shè)備單件工時(shí)與設(shè)備可用工時(shí)的關(guān)系推導(dǎo)出取值上限為 [100, 600, 150]，也可以從單位人工工時(shí)與人工可用工時(shí)的關(guān)系推導(dǎo)出上限 [400, 2000, 500]，最后取較小者為 [100, 600, 150]。

數(shù)學(xué)模型就可以表達(dá)為：
$$\begin{gathered} maxz=120y_1+10y_2+100y_3?5000x_1?2000x_2?2000x_3 \\ s.t.:?\begin{array}{l}5y_1+y_2+4y_3\le 2000\\ 3y_1\le 300x_1\\ 0.5y_2\le 300x_2\\ 2y_3\le 300x_3\\ 0\le y_1\le 100\\ 0\le y_2\le 600\\ 0\le y_3\le 150\end{array} \end{gathered}$$

1.4 PuLP 求解固定費(fèi)用問題的編程

編程求解建立的數(shù)學(xué)模型，用標(biāo)準(zhǔn)模型的優(yōu)化算法對模型求解，得到優(yōu)化結(jié)果。

模型求解的編程步驟與之前的線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃問題并沒有什么區(qū)別，這就是 PuLP工具包的優(yōu)勢。

（0）導(dǎo)入 PuLP庫函數(shù)

import pulp

（1）定義一個(gè)規(guī)劃問題

FixedCostP1 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem", sense=pulp.LpMaximize) # 定義問題，求最大值

pulp.LpProblem 用來定義問題的構(gòu)造函數(shù)。"FixedCostP1"是用戶定義的問題名。
參數(shù) sense 指定問題求目標(biāo)函數(shù)的最小值/最大值 。本例求最大值，選擇 “pulp.LpMaximize” 。

（2）定義決策變量

x1 = pulp.LpVariable('A', cat='Binary') # 定義 x1，0-1變量，是否生產(chǎn) A 產(chǎn)品x2 = pulp.LpVariable('B', cat='Binary') # 定義 x2，0-1變量，是否生產(chǎn) B 產(chǎn)品x3 = pulp.LpVariable('C', cat='Binary') # 定義 x3，0-1變量，是否生產(chǎn) C 產(chǎn)品y1 = pulp.LpVariable('yieldA', lowBound=0, upBound=100, cat='Integer') # 定義 y1，整型變量y2 = pulp.LpVariable('yieldB', lowBound=0, upBound=600, cat='Integer') # 定義 y2，整型變量y3 = pulp.LpVariable('youCans', lowBound=0, upBound=150, cat='Integer') # 定義 y3，整型變量

pulp.LpVariable 用來定義決策變量的函數(shù)。參數(shù) cat 用來設(shè)定變量類型，’ Binary ’ 表示0/1變量（用于0/1規(guī)劃問題），’ Integer ’ 表示整數(shù)變量。‘lowBound’、‘upBound’ 分別表示變量取值范圍的下限和上限。

（3）添加目標(biāo)函數(shù)

FixedCostP1 += pulp.lpSum(-5000*x1-2000*x2-2000*x3+120*y1+10*y2+100*y3) # 設(shè)置目標(biāo)函數(shù) f(x)

（4）添加約束條件

FixedCostP1 += (5*y1 + y2 + 4*y3 <= 2000) # 不等式約束FixedCostP1 += (3*y1 - 300*x1 <= 0) # 不等式約束FixedCostP1 += (0.5*y2 - 300*x2 <= 0) # 不等式約束FixedCostP1 += (2*y3 - 300*x3 <= 0) # 不等式約束

添加約束條件使用 “問題名 += 約束條件表達(dá)式” 格式。
　　約束條件可以是等式約束或不等式約束，不等式約束可以是 小于等于 或 大于等于，分別使用關(guān)鍵字">="、"<=“和”=="。

（5）求解

FixedCostP1.solve()

solve() 是求解函數(shù)，可以對求解器、求解精度進(jìn)行設(shè)置。

1.5 Python 例程：固定費(fèi)用問題

# mathmodel07_v1.py # Demo05 of mathematical modeling algorithm # Solving assignment problem with PuLP. # Copyright 2021 Youcans, XUPT # Crated：2021-06-04 # Python小白的數(shù)學(xué)建模課 @ Youcansimport pulp # 導(dǎo)入 pulp 庫# 主程序 def main():# 固定費(fèi)用問題(Fixed cost problem)print("固定費(fèi)用問題(Fixed cost problem)")# 問題建模："""決策變量：y(i) = 0, 不生產(chǎn)第 i 種產(chǎn)品y(i) = 1, 生產(chǎn)第 i 種產(chǎn)品 x(i), 生產(chǎn)第 i 種產(chǎn)品的數(shù)量, i>=0 整數(shù)i=1,2,3目標(biāo)函數(shù)：min profit = 120x1 + 10x2+ 100x3 - 5000y1 - 2000y2 - 2000y3約束條件：5x1 + x2 + 4x3 <= 20003x1 <= 300y10.5x2 <= 300y22x3 <= 300y3變量取值范圍：Youcans XUPT0<=x1<=100, 0<=x2<=600, 0<=x3<=150, 整數(shù)變量y1, y2 ,y3 為 0/1 變量 """# 1. 固定費(fèi)用問題(Fixed cost problem), 使用 PuLP 工具包求解# (1) 建立優(yōu)化問題 FixedCostP1: 求最大值(LpMaximize)FixedCostP1 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem_1", sense=pulp.LpMaximize) # 定義問題，求最大值# (2) 建立變量x1 = pulp.LpVariable('A', cat='Binary') # 定義 x1，0-1變量，是否生產(chǎn) A 產(chǎn)品x2 = pulp.LpVariable('B', cat='Binary') # 定義 x2，0-1變量，是否生產(chǎn) B 產(chǎn)品x3 = pulp.LpVariable('C', cat='Binary') # 定義 x3，0-1變量，是否生產(chǎn) C 產(chǎn)品y1 = pulp.LpVariable('yieldA', lowBound=0, upBound=100, cat='Integer') # 定義 y1，整型變量y2 = pulp.LpVariable('yieldB', lowBound=0, upBound=600, cat='Integer') # 定義 y2，整型變量y3 = pulp.LpVariable('yieldC', lowBound=0, upBound=150, cat='Integer') # 定義 y3，整型變量# (3) 設(shè)置目標(biāo)函數(shù)FixedCostP1 += pulp.lpSum(-5000*x1-2000*x2-2000*x3+120*y1+10*y2+100*y3) # 設(shè)置目標(biāo)函數(shù) f(x)# (4) 設(shè)置約束條件FixedCostP1 += (5*y1 + y2 + 4*y3 <= 2000) # 不等式約束FixedCostP1 += (3*y1 - 300*x1 <= 0) # 不等式約束FixedCostP1 += (0.5*y2 - 300*x2 <= 0) # 不等式約束FixedCostP1 += (2*y3 - 300*x3 <= 0) # 不等式約束# (5) 求解 youcansFixedCostP1.solve()# (6) 打印結(jié)果print(FixedCostP1.name)if pulp.LpStatus[FixedCostP1.status] == "Optimal": # 獲得最優(yōu)解for v in FixedCostP1.variables(): # youcansprint(v.name, "=", v.varValue) # 輸出每個(gè)變量的最優(yōu)值print("Youcans F(x) = ", pulp.value(FixedCostP1.objective)) # 輸出最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值returnif __name__ == '__main__': # Copyright 2021 YouCans, XUPTmain() # Python小白的數(shù)學(xué)建模課 @ Youcans

1.6 Python 例程運(yùn)行結(jié)果

Welcome to the CBC MILP Solver Version: 2.9.0 Build Date: Feb 12 2015 Result - Optimal solution foundFixed_cost_problem_1 A = 1.0 B = 1.0 C = 1.0 yieldA = 100.0 yieldB = 600.0 yieldC = 150.0 Max F(x) = 24000.0

從固定費(fèi)用問題模型的求解結(jié)果可知，A、B、C 三種服裝都生產(chǎn)，產(chǎn)量分別為 A/100、B/600、C/150 時(shí)獲得最大利潤為：24000。

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2. PuLP 求解規(guī)劃問題的快捷方法

2.1 PuLP 求解固定費(fèi)用問題的編程

通過從線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、0-1規(guī)劃到上例中的混合0-1規(guī)劃問題，我們已經(jīng)充分體會(huì)到 PuLP 使用相同的步驟和參數(shù)處理不同問題所帶來的便利。

但是，如果問題非常復(fù)雜，例如變量數(shù)量很多，約束條件復(fù)雜，逐個(gè)定義變量、逐項(xiàng)編寫目標(biāo)函數(shù)與約束條件的表達(dá)式，不僅顯得重復(fù)冗長，不方便修改對變量和參數(shù)的定義，而且在輸入過程中容易發(fā)生錯(cuò)誤。因此，我們希望用字典、列表、循環(huán)等快捷方法來進(jìn)行變量定義、目標(biāo)函數(shù)和約束條件設(shè)置。

PuLP 提供了快捷建模的編程方案，下面我們?nèi)砸陨瞎?jié)中的固定費(fèi)用問題為例進(jìn)行介紹。本例中的問題、條件和參數(shù)都與上節(jié)完全相同，以便讀者進(jìn)行對照比較快捷方法的具體內(nèi)容。

（0）導(dǎo)入 PuLP 庫函數(shù)

import pulp

（1）定義一個(gè)規(guī)劃問題

FixedCostP2 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem", sense=pulp.LpMaximize) # 定義問題，求最大值

（2）定義決策變量

types = ['A', 'B', 'C'] # 定義產(chǎn)品種類status = pulp.LpVariable.dicts("生產(chǎn)決策", types, cat='Binary') # 定義 0/1 變量，是否生產(chǎn)該產(chǎn)品yields = pulp.LpVariable.dicts("生產(chǎn)數(shù)量", types, lowBound=0, upBound=600, cat='Integer') # 定義整型變量

本例中的快捷方法使用列表 types 定義 0/1 變量 status 和 整型變量 yields，不論產(chǎn)品的品種有多少，都只有以上幾句，從而使程序大為簡化。

（3）添加目標(biāo)函數(shù)

fixedCost = {'A':5000, 'B':2000, 'C':2000} # 各產(chǎn)品的 固定費(fèi)用unitProfit = {'A':120, 'B':10, 'C':100} # 各產(chǎn)品的 單位利潤FixedCostP2 += pulp.lpSum([(yields[i]*unitProfit[i]- status[i]*fixedCost[i]) for i in types])

雖然看起來本例中定義目標(biāo)函數(shù)的程序語句較長，但由于使用字典定義參數(shù)、使用 for 循環(huán)定義目標(biāo)函數(shù)，因此程序更加清晰、簡明、便于修改參數(shù)、不容易輸入錯(cuò)誤。

（4）添加約束條件

humanHours = {'A':5, 'B':1, 'C':4} # 各產(chǎn)品的 單位人工工時(shí)machineHours = {'A':3.0, 'B':0.5, 'C':2.0} # 各產(chǎn)品的 單位設(shè)備工時(shí)maxHours = {'A':300, 'B':300, 'C':300} # 各產(chǎn)品的 最大設(shè)備工時(shí)FixedCostP2 += pulp.lpSum([humanHours[i] * yields[i] for i in types]) <= 2000 # 不等式約束for i in types:FixedCostP2 += (yields[i]*machineHours[i] - status[i]*maxHours[i] <= 0) # 不等式約束

快捷方法對于約束條件的定義與對目標(biāo)函數(shù)的定義相似，使用字典定義參數(shù)，使用循環(huán)定義約束條件，使程序簡單、結(jié)構(gòu)清楚。

注意本例使用了兩種不同的循環(huán)表達(dá)方式：語句內(nèi)使用 for 循環(huán)遍歷列表實(shí)現(xiàn)所有變量的線性組合，標(biāo)準(zhǔn)的 for 循環(huán)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)多組具有相似結(jié)構(gòu)的約束條件。讀者可以對照數(shù)學(xué)模型及上例的例程，理解這兩種定義約束條件的快捷方法。

（5）求解和結(jié)果的輸出

# (5) 求解FixedCostP2.solve()# (6) 打印結(jié)果print(FixedCostP2.name)temple = "品種 %(type)s 的決策是：%(status)s，生產(chǎn)數(shù)量為：%(yields)d"if pulp.LpStatus[FixedCostP2.status] == "Optimal": # 獲得最優(yōu)解for i in types:output = {'type': i,'status': '同意' if status[i].varValue else '否決','yields': yields[i].varValue}print(temple % output) # youcans@qq.comprint("最大利潤 = ", pulp.value(FixedCostP2.objective)) # 輸出最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值

由于快捷方法使用列表或字典定義變量，對求解的優(yōu)化結(jié)果也便于實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化的輸出。

2.2 Python 例程：PuLP 快捷方法

# mathmodel07_v1.py # Demo05 of mathematical modeling algorithm # Solving assignment problem with PuLP. # Copyright 2021 Youcans, XUPT # Crated：2021-06-04 # Python小白的數(shù)學(xué)建模課 @ Youcansimport pulp # 導(dǎo)入 pulp 庫# 主程序 def main():# 2. 問題同上，PuLP 快捷方法示例# (1) 建立優(yōu)化問題 FixedCostP2: 求最大值(LpMaximize)FixedCostP2 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem_2", sense=pulp.LpMaximize) # 定義問題，求最大值# (2) 建立變量types = ['A', 'B', 'C'] # 定義產(chǎn)品種類status = pulp.LpVariable.dicts("生產(chǎn)決策", types, cat='Binary') # 定義 0/1 變量，是否生產(chǎn)該產(chǎn)品yields = pulp.LpVariable.dicts("生產(chǎn)數(shù)量", types, lowBound=0, upBound=600, cat='Integer') # 定義整型變量# (3) 設(shè)置目標(biāo)函數(shù)fixedCost = {'A':5000, 'B':2000, 'C':2000} # 各產(chǎn)品的 固定費(fèi)用unitProfit = {'A':120, 'B':10, 'C':100} # 各產(chǎn)品的 單位利潤FixedCostP2 += pulp.lpSum([(yields[i]*unitProfit[i]- status[i]*fixedCost[i]) for i in types])# (4) 設(shè)置約束條件humanHours = {'A':5, 'B':1, 'C':4} # 各產(chǎn)品的 單位人工工時(shí)machineHours = {'A':3.0, 'B':0.5, 'C':2.0} # 各產(chǎn)品的 單位設(shè)備工時(shí)maxHours = {'A':300, 'B':300, 'C':300} # 各產(chǎn)品的 最大設(shè)備工時(shí)FixedCostP2 += pulp.lpSum([humanHours[i] * yields[i] for i in types]) <= 2000 # 不等式約束for i in types:FixedCostP2 += (yields[i]*machineHours[i] - status[i]*maxHours[i] <= 0) # 不等式約束# (5) 求解 youcansFixedCostP2.solve()# (6) 打印結(jié)果print(FixedCostP2.name)temple = "品種 %(type)s 的決策是：%(status)s，生產(chǎn)數(shù)量為：%(yields)d"if pulp.LpStatus[FixedCostP2.status] == "Optimal": # 獲得最優(yōu)解for i in types:output = {'type': i,'status': '同意' if status[i].varValue else '否決','yields': yields[i].varValue}print(temple % output)print("最大利潤 = ", pulp.value(FixedCostP2.objective)) # 輸出最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值returnif __name__ == '__main__': # Copyright 2021 YouCans, XUPTmain() # Python小白的數(shù)學(xué)建模課 @ Youcans

2.3 Python 例程運(yùn)行結(jié)果

Welcome to the CBC MILP Solver Version: 2.9.0 Build Date: Feb 12 2015 Result - Optimal solution foundFixed_cost_problem_2 品種 A 的決策是：同意，生產(chǎn)數(shù)量為：100 品種 B 的決策是：同意，生產(chǎn)數(shù)量為：600 品種 C 的決策是：同意，生產(chǎn)數(shù)量為：150 最大利潤 = 24000.0

本例的問題、條件和參數(shù)都與上節(jié)完全相同，只是采用 PuLP 提供的快捷建模的編程方案，優(yōu)化結(jié)果也與 PuLP 標(biāo)準(zhǔn)方法完全相同，但本例使用了結(jié)構(gòu)化的輸出顯示，使輸出結(jié)果更為直觀。

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3. 課后練習(xí)

修改生產(chǎn)某種服裝的設(shè)備租金，例如將 A 產(chǎn)品租金調(diào)整為 10000、20000元，觀察求解結(jié)果有何差異？

將各種設(shè)備租金都調(diào)整為 20000元，觀察求解結(jié)果有何差異？該結(jié)果有何現(xiàn)實(shí)意義？

如果希望找到影響是否生產(chǎn)某種服裝決策的設(shè)備租金的大小，即租金低于該值就可以生產(chǎn)、高于該值則不能生產(chǎn)，應(yīng)該如何處理？

【本節(jié)完】

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Python小白的數(shù)學(xué)建模課-01.新手必讀
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-02.數(shù)據(jù)導(dǎo)入
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-03.線性規(guī)劃
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-04.整數(shù)規(guī)劃
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-05.0-1規(guī)劃
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-06.固定費(fèi)用問題
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-07.選址問題
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-09.微分方程模型
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-10.微分方程邊值問題
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-12.非線性規(guī)劃
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-15.圖論的基本概念
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-16.最短路徑算法
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-17.條件最短路徑算法
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-18.最小生成樹問題
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-19.網(wǎng)絡(luò)流優(yōu)化問題
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-20.網(wǎng)絡(luò)流優(yōu)化案例
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-A1.國賽賽題類型分析
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-A2.2021年數(shù)維杯C題探討
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-A3.12個(gè)新冠疫情數(shù)模競賽賽題及短評
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-B2. 新冠疫情 SI模型
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-B3. 新冠疫情 SIS模型
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-B4. 新冠疫情 SIR模型
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-B5. 新冠疫情 SEIR模型
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-B6. 新冠疫情 SEIR改進(jìn)模型
Python數(shù)模筆記-PuLP庫
Python數(shù)模筆記-StatsModels統(tǒng)計(jì)回歸
Python數(shù)模筆記-Sklearn
Python數(shù)模筆記-NetworkX
Python數(shù)模筆記-模擬退火算法

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Python小白的数学建模课-06.固定费用问题的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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