【OpenCV 例程200篇】68. 連續(xù)周期信號的傅立葉級數(shù)

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1. 頻率域圖像濾波

圖像濾波是在盡可能保留圖像細(xì)節(jié)特征的條件下對目標(biāo)圖像的噪聲進行抑制，是常用的圖像預(yù)處理操作。

頻率域圖像處理先將圖像進行傅里葉變換，然后在變換域進行處理，最后進行傅里葉反變換轉(zhuǎn)換回空間域。

頻率域濾波是濾波器傳遞函數(shù)與輸入圖像的傅里葉變換的對應(yīng)像素相乘。頻率域中的濾波概念更加直觀，濾波器設(shè)計也更容易。使用快速傅里葉變換算法，比空間卷積運算速度快很多。

2. 傅里葉變換

濾波通常是指對圖像中特定頻率的分量進行過濾或抑制。圖像濾波是在盡可能保留圖像細(xì)節(jié)特征的條件下對目標(biāo)圖像的噪聲進行抑制，是常用的圖像預(yù)處理操作。

圖像濾波不僅可以在空間域進行還可以在頻率域進行。空間濾波是圖像與各種空間濾波器（模板、核）的卷積，而空間卷積的傅里葉變換是頻率域中相應(yīng)變換的乘積，因此頻率域濾波是頻率域濾波器（傳遞函數(shù)）與圖像的傅里葉變換相乘。

頻率域圖像濾波，先將圖像進行傅里葉變換，然后在變換域進行處理，最后進行傅里葉反變換轉(zhuǎn)換回空間域。

空間域濾波器和頻率域濾波器形成一個傅里葉變換對：
$$\begin{gathered} f(x,y)?h(x,y)?F(u,v)H(u,v) \\ f(x,y)h(x,y)?F(u,v)?H(u,v) \end{gathered}$$
也就是說，空間域濾波器和頻率域濾波器實際上是相互對應(yīng)的，有些空間域濾波器在頻率域通過傅里葉變換實現(xiàn)會更方便、更快速。例如，空間域的拉普拉斯濾波器就是頻率域的高通濾波器。

2.1 傅里葉級數(shù)與傅里葉變換

傅里葉級數(shù)（Fourier series）在數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號處理、概率論、統(tǒng)計學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。

傅里葉級數(shù)公式指出，任何周期函數(shù)都可以表示為不同頻率的正弦函數(shù)和/或余弦函數(shù)的加權(quán)之和：
$$\begin{array}{rl}f(t)& =A_0+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_{n}sin(n\omega t+{\psi }_n)\\ & =A_0+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}cos(n\omega t)+b_{n}sin(n\omega t)]\end{array}$$
這個和就是傅里葉級數(shù)。

進一步地，任何非周期函數(shù)也可以表示為不同頻率的正弦函數(shù)和/或余弦函數(shù)乘以加權(quán)函數(shù)的積分：
$$\begin{array}{rl}F(\omega )& ={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(t)e^{?j\omega t}dt\\ f(t)& =\frac{1}{2\pi }{\int }_{?\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{j\omega t}d\omega \end{array}$$
這個公式就是傅里葉變換（Fourier transform ）和逆變換。

*傅里葉變換存在的充分條件是：f(t) 的絕對值的積分是有限的，在信號處理、圖像處理領(lǐng)域這一條件都能滿足。

例程 8.1：連續(xù)周期信號的傅立葉級數(shù)

# 8.1：連續(xù)周期信號的傅立葉級數(shù)from scipy import integratenf = 30T = 10tao = 1.0y = 1k = np.arange(0, nf)an = np.zeros(nf)bn = np.zeros(nf)amp = np.zeros(nf)pha = np.zeros(nf)half0, err0 = integrate.quad(lambda t: y, -tao/2, tao/2)an[0] = 2 * half0 / Tfor n in range(1, nf):half1, err1 = integrate.quad(lambda t: 2*y * np.cos(2.0/T * np.pi * n * t), -tao/2, tao/2)an[n] = half1 / 10half2, err2 = integrate.quad(lambda t: 2*y * np.sin(2.0/T * np.pi * n * t), -tao/2, tao/2)bn[n] = half2 / 10amp[n] = np.sqrt(an[n]**2 + bn[n]**2)for i in range(0, nf):pha[i] = 0.0 if an[i]>=0 else np.piplt.figure(figsize=(9, 6))plt.subplot(211), plt.title("Amplitude spectrum"), plt.stem(k, amp)plt.subplot(212), plt.title("Phase spectrum"), plt.stem(k, pha)plt.show()

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（本節(jié)完）

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總結(jié)

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