【OpenCV 例程200篇】68. 连续周期信号的傅立叶级数
【OpenCV 例程200篇】68. 連續(xù)周期信號的傅立葉級數(shù)
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1. 頻率域圖像濾波
圖像濾波是在盡可能保留圖像細(xì)節(jié)特征的條件下對目標(biāo)圖像的噪聲進行抑制,是常用的圖像預(yù)處理操作。
頻率域圖像處理先將圖像進行傅里葉變換,然后在變換域進行處理,最后進行傅里葉反變換轉(zhuǎn)換回空間域。
頻率域濾波是濾波器傳遞函數(shù)與輸入圖像的傅里葉變換的對應(yīng)像素相乘。頻率域中的濾波概念更加直觀,濾波器設(shè)計也更容易。使用快速傅里葉變換算法,比空間卷積運算速度快很多。
2. 傅里葉變換
濾波通常是指對圖像中特定頻率的分量進行過濾或抑制。圖像濾波是在盡可能保留圖像細(xì)節(jié)特征的條件下對目標(biāo)圖像的噪聲進行抑制,是常用的圖像預(yù)處理操作。
圖像濾波不僅可以在空間域進行還可以在頻率域進行。空間濾波是圖像與各種空間濾波器(模板、核)的卷積,而空間卷積的傅里葉變換是頻率域中相應(yīng)變換的乘積,因此頻率域濾波是頻率域濾波器(傳遞函數(shù))與圖像的傅里葉變換相乘。
頻率域圖像濾波,先將圖像進行傅里葉變換,然后在變換域進行處理,最后進行傅里葉反變換轉(zhuǎn)換回空間域。
空間域濾波器和頻率域濾波器形成一個傅里葉變換對:
f(x,y)?h(x,y)?F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y)?F(u,v)?H(u,v)f(x,y) \otimes h(x,y) \Leftrightarrow F(u,v)H(u,v) \\ f(x,y) h(x,y) \Leftrightarrow F(u,v) \otimes H(u,v) f(x,y)?h(x,y)?F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y)?F(u,v)?H(u,v)
也就是說,空間域濾波器和頻率域濾波器實際上是相互對應(yīng)的,有些空間域濾波器在頻率域通過傅里葉變換實現(xiàn)會更方便、更快速。例如,空間域的拉普拉斯濾波器就是頻率域的高通濾波器。
2.1 傅里葉級數(shù)與傅里葉變換
傅里葉級數(shù)(Fourier series)在數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號處理、概率論、統(tǒng)計學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。
傅里葉級數(shù)公式指出,任何周期函數(shù)都可以表示為不同頻率的正弦函數(shù)和/或余弦函數(shù)的加權(quán)之和:
f(t)=A0+∑n=1∞Ansin(nωt+ψn)=A0+∑n=1∞[ancos(nωt)+bnsin(nωt)]\begin{aligned} f(t) &= A_0 + \sum^{\infty}_{n=1} A_n sin(n \omega t + \psi _n)\\ &= A_0 + \sum^{\infty}_{n=1} [a_n cos(n \omega t) + b_n sin(n \omega t)] \end{aligned} f(t)?=A0?+n=1∑∞?An?sin(nωt+ψn?)=A0?+n=1∑∞?[an?cos(nωt)+bn?sin(nωt)]?
這個和就是傅里葉級數(shù)。
進一步地,任何非周期函數(shù)也可以表示為不同頻率的正弦函數(shù)和/或余弦函數(shù)乘以加權(quán)函數(shù)的積分:
F(ω)=∫?∞+∞f(t)e?jωtdtf(t)=12π∫?∞+∞F(ω)ejωtdω\begin{aligned} F(\omega) &= \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt\\ f(t) &= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d \omega \end{aligned} F(ω)f(t)?=∫?∞+∞?f(t)e?jωtdt=2π1?∫?∞+∞?F(ω)ejωtdω?
這個公式就是傅里葉變換(Fourier transform )和逆變換。
*傅里葉變換存在的充分條件是:f(t) 的絕對值的積分是有限的,在信號處理、圖像處理領(lǐng)域這一條件都能滿足。
例程 8.1:連續(xù)周期信號的傅立葉級數(shù)
# 8.1:連續(xù)周期信號的傅立葉級數(shù)from scipy import integratenf = 30T = 10tao = 1.0y = 1k = np.arange(0, nf)an = np.zeros(nf)bn = np.zeros(nf)amp = np.zeros(nf)pha = np.zeros(nf)half0, err0 = integrate.quad(lambda t: y, -tao/2, tao/2)an[0] = 2 * half0 / Tfor n in range(1, nf):half1, err1 = integrate.quad(lambda t: 2*y * np.cos(2.0/T * np.pi * n * t), -tao/2, tao/2)an[n] = half1 / 10half2, err2 = integrate.quad(lambda t: 2*y * np.sin(2.0/T * np.pi * n * t), -tao/2, tao/2)bn[n] = half2 / 10amp[n] = np.sqrt(an[n]**2 + bn[n]**2)for i in range(0, nf):pha[i] = 0.0 if an[i]>=0 else np.piplt.figure(figsize=(9, 6))plt.subplot(211), plt.title("Amplitude spectrum"), plt.stem(k, amp)plt.subplot(212), plt.title("Phase spectrum"), plt.stem(k, pha)plt.show()(本節(jié)完)
版權(quán)聲明:
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總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的【OpenCV 例程200篇】68. 连续周期信号的傅立叶级数的全部內(nèi)容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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