【OpenCV 例程200篇】70. 一維連續函數的傅里葉變換

歡迎關注 『OpenCV 例程200篇』 系列，持續更新中
歡迎關注 『Python小白的OpenCV學習課』 系列，持續更新中

2.1 傅里葉級數

傅里葉級數（Fourier series）在數論、組合數學、信號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。

傅里葉級數公式指出，任何周期函數都可以表示為不同頻率的正弦函數和/或余弦函數的加權之和：
$$\begin{array}{rl}f(t)& =A_0+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_{n}sin(n\omega t+{\psi }_n)\\ & =A_0+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}cos(n\omega t)+b_{n}sin(n\omega t)]\end{array}$$
這個和就是傅里葉級數。

2.2 傅里葉變換

任何非周期函數也可以表示為不同頻率的正弦函數和/或余弦函數乘以加權函數的積分：
$$\begin{array}{rl}F(\omega )& ={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(t)e^{?j\omega t}dt\\ f(t)& =\frac{1}{2\pi }{\int }_{?\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{j\omega t}d\omega \end{array}$$
這個公式就是傅里葉變換（Fourier transform ）和逆變換。

*傅里葉變換存在的充分條件是：f(t) 的絕對值的積分是有限的，在信號處理、圖像處理領域這一條件都能滿足。

例程 8.3：一維連續函數的傅里葉變換（盒式函數）

以一維盒式函數為例，其傅里葉變換為：

$$\begin{array}{rl}F(\omega )& ={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(t)e^{?j\omega t}dt\\ & ={\int }_{?\pi }^{\pi }f(t)e^{?j\omega t}dt\\ & =\frac{sin(\omega )}{\omega }\end{array}$$

# 8.3：一維連續函數的傅里葉變換（盒式函數）# 盒式函數 (Box_function)x = np.arange(-5, 5, 0.1)w = 2 * np.pihalfW = w / 2y = np.where(x, x > -halfW, 0)y = np.where(x < halfW, y, 0)plt.figure(figsize=(9, 4))plt.subplot(131), plt.title("Box_function")plt.plot(x, y, '-b')plt.subplot(132), plt.title("Fourier transform")fu = np.sinc(x)plt.plot(x, fu, '-b')plt.subplot(133), plt.title("Spectrum of box_func")fu = abs(fu)plt.plot(x, fu, '-b')plt.show()

---

（本節完）

---

版權聲明：

youcans@xupt 原創作品，轉載必須標注原文鏈接

Copyright 2021 youcans, XUPT

Crated：2022-1-15

歡迎關注 『OpenCV 例程200篇』 系列，持續更新中
歡迎關注 『Python小白的OpenCV學習課』 系列，持續更新中

【OpenCV 例程200篇】01. 圖像的讀取（cv2.imread）
【OpenCV 例程200篇】02. 圖像的保存（cv2.imwrite）
【OpenCV 例程200篇】03. 圖像的顯示（cv2.imshow）
【OpenCV 例程200篇】04. 用 matplotlib 顯示圖像（plt.imshow）
【OpenCV 例程200篇】05. 圖像的屬性（np.shape）
【OpenCV 例程200篇】06. 像素的編輯（img.itemset）
【OpenCV 例程200篇】07. 圖像的創建（np.zeros）
【OpenCV 例程200篇】08. 圖像的復制（np.copy）
【OpenCV 例程200篇】09. 圖像的裁剪（cv2.selectROI）
【OpenCV 例程200篇】10. 圖像的拼接（np.hstack）
【OpenCV 例程200篇】11. 圖像通道的拆分（cv2.split）
【OpenCV 例程200篇】12. 圖像通道的合并（cv2.merge）
【OpenCV 例程200篇】13. 圖像的加法運算（cv2.add）
【OpenCV 例程200篇】14. 圖像與標量相加（cv2.add）
【OpenCV 例程200篇】15. 圖像的加權加法（cv2.addWeight）
【OpenCV 例程200篇】16. 不同尺寸的圖像加法
【OpenCV 例程200篇】17. 兩張圖像的漸變切換
【OpenCV 例程200篇】18. 圖像的掩模加法
【OpenCV 例程200篇】19. 圖像的圓形遮罩
【OpenCV 例程200篇】20. 圖像的按位運算
【OpenCV 例程200篇】21. 圖像的疊加
【OpenCV 例程200篇】22. 圖像添加非中文文字
【OpenCV 例程200篇】23. 圖像添加中文文字
【OpenCV 例程200篇】23. 圖像添加中文文字
【OpenCV 例程200篇】24. 圖像的仿射變換
【OpenCV 例程200篇】25. 圖像的平移
【OpenCV 例程200篇】26. 圖像的旋轉（以原點為中心）
【OpenCV 例程200篇】27. 圖像的旋轉（以任意點為中心）
【OpenCV 例程200篇】28. 圖像的旋轉（直角旋轉）
【OpenCV 例程200篇】29. 圖像的翻轉（cv2.flip）
【OpenCV 例程200篇】30. 圖像的縮放（cv2.resize）
【OpenCV 例程200篇】31. 圖像金字塔（cv2.pyrDown）
【OpenCV 例程200篇】32. 圖像的扭變（錯切）
【OpenCV 例程200篇】33. 圖像的復合變換
【OpenCV 例程200篇】34. 圖像的投影變換
【OpenCV 例程200篇】35. 圖像的投影變換（邊界填充）
【OpenCV 例程200篇】36. 直角坐標與極坐標的轉換
【OpenCV 例程200篇】37. 圖像的灰度化處理和二值化處理
【OpenCV 例程200篇】38. 圖像的反色變換（圖像反轉）
【OpenCV 例程200篇】39. 圖像灰度的線性變換
【OpenCV 例程200篇】40. 圖像分段線性灰度變換
【OpenCV 例程200篇】41. 圖像的灰度變換（灰度級分層）
【OpenCV 例程200篇】42. 圖像的灰度變換（比特平面分層）
【OpenCV 例程200篇】43. 圖像的灰度變換（對數變換）
【OpenCV 例程200篇】44. 圖像的灰度變換（伽馬變換）
【OpenCV 例程200篇】45. 圖像的灰度直方圖
【OpenCV 例程200篇】46. 直方圖均衡化
【OpenCV 例程200篇】47. 圖像增強—直方圖匹配
【OpenCV 例程200篇】48. 圖像增強—彩色直方圖匹配
【OpenCV 例程200篇】49. 圖像增強—局部直方圖處理
【OpenCV 例程200篇】50. 圖像增強—直方圖統計量圖像增強
【OpenCV 例程200篇】51. 圖像增強—直方圖反向追蹤
【OpenCV 例程200篇】52. 圖像的相關與卷積運算
【OpenCV 例程200篇】53. Scipy 實現圖像二維卷積
【OpenCV 例程200篇】54. OpenCV 實現圖像二維卷積
【OpenCV 例程200篇】55. 可分離卷積核
【OpenCV 例程200篇】56. 低通盒式濾波器
【OpenCV 例程200篇】57. 低通高斯濾波器
【OpenCV 例程200篇】58. 非線性濾波—中值濾波
【OpenCV 例程200篇】59. 非線性濾波—雙邊濾波
【OpenCV 例程200篇】60. 非線性濾波—聯合雙邊濾波
【OpenCV 例程200篇】61. 導向濾波（Guided filter）
【OpenCV 例程200篇】62. 圖像銳化——鈍化掩蔽
【OpenCV 例程200篇】63. 圖像銳化——Laplacian 算子
【OpenCV 例程200篇】64. 圖像銳化——Sobel 算子
【OpenCV 例程200篇】65. 圖像銳化——Scharr 算子
【OpenCV 例程200篇】66. 圖像濾波之低通/高通/帶阻/帶通
【OpenCV 例程200篇】67. 空間域圖像增強的綜合應用
【OpenCV 例程200篇】68. 空間域圖像增強的綜合應用
【OpenCV 例程200篇】69. 連續非周期信號的傅立葉系數
【OpenCV 例程200篇】70. 一維連續函數的傅里葉變換
【OpenCV 例程200篇】71. 連續函數的取樣
【OpenCV 例程200篇】72. 一維離散傅里葉變換
【OpenCV 例程200篇】73. 二維連續傅里葉變換
【OpenCV 例程200篇】74. 圖像的抗混疊
【OpenCV 例程200篇】75. Numpy 實現圖像傅里葉變換
【OpenCV 例程200篇】76. OpenCV 實現圖像傅里葉變換
【OpenCV 例程200篇】77. OpenCV 實現快速傅里葉變換
【OpenCV 例程200篇】78. 頻率域圖像濾波基礎
【OpenCV 例程200篇】79. 頻率域圖像濾波的基本步驟
【OpenCV 例程200篇】80. 頻率域圖像濾波詳細步驟
【OpenCV 例程200篇】81. 頻率域高斯低通濾波器
【OpenCV 例程200篇】82. 頻率域巴特沃斯低通濾波器
【OpenCV 例程200篇】83. 頻率域低通濾波：印刷文本字符修復
【OpenCV 例程200篇】84. 由低通濾波器得到高通濾波器
【OpenCV 例程200篇】85. 頻率域高通濾波器的應用
【OpenCV 例程200篇】86. 頻率域濾波應用：指紋圖像處理
【OpenCV 例程200篇】87. 頻率域鈍化掩蔽
【OpenCV 例程200篇】88. 頻率域拉普拉斯高通濾波
【OpenCV 例程200篇】89. 帶阻濾波器的傳遞函數
【OpenCV 例程200篇】90. 頻率域陷波濾波器
【OpenCV 例程200篇】91. 高斯噪聲、瑞利噪聲、愛爾蘭噪聲
【OpenCV 例程200篇】92. 指數噪聲、均勻噪聲、椒鹽噪聲
【OpenCV 例程200篇】93. 噪聲模型的直方圖
【OpenCV 例程200篇】94. 算術平均濾波器
【OpenCV 例程200篇】95. 幾何均值濾波器
【OpenCV 例程200篇】96. 諧波平均濾波器
【OpenCV 例程200篇】97. 反諧波平均濾波器
【OpenCV 例程200篇】98. 統計排序濾波器
【OpenCV 例程200篇】99. 修正阿爾法均值濾波器
【OpenCV 例程200篇】100. 自適應局部降噪濾波器

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【OpenCV 例程200篇】70. 一维连续函数的傅里叶变换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。