【OpenCV 例程200篇】82. 頻率域巴特沃斯低通濾波器

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3.4 頻率域巴特沃斯低通濾波器（BLPF）

截止頻率位于距頻率中心 $D_0$ 處的 n 階巴特沃斯（Butterworth）低通濾波器的傳遞函數為：
$$H(u,v)=\frac{1}{1+[D(u,v)/D_0{]}^{2n}}$$

當 n 較大時，巴特沃斯低通濾波器 BLPF 可以逼近理想低通濾波器 ILPF 的特性；而當 n 較小時，巴特沃斯低通濾波器 BLPF 可以逼近高斯低通濾波器 GLPF 的特性，同時提供從低頻到高頻的平滑過渡。

巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶內的頻率響應曲線最大限度平坦，沒有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為零。

在振幅的對數對角頻率的波特圖上，從某一邊界角頻率開始，振幅隨著角頻率的增加而逐步減小，趨向負無窮大。巴特沃斯濾波器的頻率特性曲線，無論在通帶內還是阻帶內都是頻率的單調函數。因此，當通帶的邊界處滿足指標要求時，通帶內肯定會有裕量。所以，更有效的設計方法應該是將精確度均勻的分布在整個通帶或阻帶內，或者同時分布在兩者之內。

例程 8.19：頻率域巴特沃斯低通濾波器 (BLPF)

# OpenCVdemo08.py # Demo08 of OpenCV # 8. 圖像的頻率域濾波 # Copyright 2021 Youcans, XUPT # Crated：2021-12-15# 8.19：頻率域巴特沃斯低通濾波器 (BLPF)# (1) 讀取原始圖像# imgGray = cv2.imread("../images/imgLena.tif", flags=0) # flags=0 讀取為灰度圖像imgGray = cv2.imread("../images/Fig0431.tif", flags=0) # flags=0 讀取為灰度圖像imgFloat32 = np.float32(imgGray) # 將圖像轉換成 float32rows, cols = imgGray.shape[:2] # 圖片的高度和寬度# (2) 中心化, centralized 2d array f(x,y) * (-1)^(x+y)mask = np.ones(imgGray.shape)mask[1::2, ::2] = -1mask[::2, 1::2] = -1fImage = imgFloat32 * mask # f(x,y) * (-1)^(x+y)# (3) 快速傅里葉變換# dftImage = fft2Image(fImage) # 快速傅里葉變換 (rPad, cPad, 2)rPadded = cv2.getOptimalDFTSize(rows) # 最優 DFT 擴充尺寸cPadded = cv2.getOptimalDFTSize(cols) # 用于快速傅里葉變換dftImage = np.zeros((rPadded, cPadded, 2), np.float32) # 對原始圖像進行邊緣擴充dftImage[:rows, :cols, 0] = fImage # 邊緣擴充，下側和右側補0cv2.dft(dftImage, dftImage, cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) # 快速傅里葉變換dftAmp = cv2.magnitude(dftImage[:,:,0], dftImage[:,:,1]) # 傅里葉變換的幅度譜 (rPad, cPad)dftAmpLog = np.log(1.0 + dftAmp) # 幅度譜對數變換，以便于顯示dftAmpNorm = np.uint8(cv2.normalize(dftAmpLog, None, 0, 255, cv2.NORM_MINMAX)) # 歸一化為 [0,255]minValue, maxValue, minLoc, maxLoc = cv2.minMaxLoc(dftAmp) # 找到傅里葉譜最大值的位置plt.figure(figsize=(9, 6))# rows, cols = imgGray.shape[:2] # 圖片的高度和寬度u, v = np.mgrid[0:rPadded:1, 0:cPadded:1]D = np.sqrt(np.power((u-maxLoc[1]), 2) + np.power((v-maxLoc[0]), 2))D0 = [20, 40, 80] # cut-off frequencyn = 2for k in range(3):# (4) 構建低通濾波器 傳遞函數# 巴特沃斯低通濾波 (Butterworth low pass filter)epsilon = 1e-8 # 防止被 0 除lpFilter = 1.0 / (1.0 + np.power(D / (D0[k] + epsilon), 2*n))# (5) 在頻率域修改傅里葉變換: 傅里葉變換 點乘 低通濾波器dftLPfilter = np.zeros(dftImage.shape, dftImage.dtype) # 快速傅里葉變換的尺寸(優化尺寸)for j in range(2):dftLPfilter[:rPadded, :cPadded, j] = dftImage[:rPadded, :cPadded, j] * lpFilter# (6) 對低通傅里葉變換 執行傅里葉逆變換，并只取實部idft = np.zeros(dftAmp.shape, np.float32) # 快速傅里葉變換的尺寸(優化尺寸)cv2.dft(dftLPfilter, idft, cv2.DFT_REAL_OUTPUT + cv2.DFT_INVERSE + cv2.DFT_SCALE)# (7) 中心化, centralized 2d array g(x,y) * (-1)^(x+y)mask2 = np.ones(dftAmp.shape)mask2[1::2, ::2] = -1mask2[::2, 1::2] = -1idftCen = idft * mask2 # g(x,y) * (-1)^(x+y)# (8) 截取左上角，大小和輸入圖像相等result = np.clip(idftCen, 0, 255) # 截斷函數，將數值限制在 [0,255]imgBLPF = result.astype(np.uint8)imgBLPF = imgBLPF[:rows, :cols]plt.subplot(2,3,k+1), plt.title("BLPF mask(D0={})".format(D0[k])), plt.axis('off')plt.imshow(lpFilter[:,:], cmap='gray')plt.subplot(2,3,k+4), plt.title("BLPF rebuild(D0={})".format(D0[k])), plt.axis('off')plt.imshow(imgBLPF, cmap='gray')plt.tight_layout()plt.show()

（本節完）

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總結

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