【OpenCV 例程200篇】79. 頻率域圖像濾波的基本步驟

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3. 頻率域低通濾波器

空間域濾波器和頻率域濾波器實際上是相互對應的，有些空間域濾波器在頻率域通過傅里葉變換實現會更方便、更快速。

3.2 頻率域圖像濾波的步驟

上節例程中通過一個簡單的低通濾波遮罩 mask 與圖像傅里葉變換 dftShift 相乘，使傅里葉變換的高頻部分為 0，從而屏蔽原始圖像中高頻信號，實現了低通濾波。

頻率域圖像濾波，首先對原圖像 $f(x,y)$ 經傅里葉變換為 $F(u,v)$，然后用適當的濾波器函數 $H(u,v)$ 對傅里葉變換 $F(u,v)$ 的頻譜成分進行修改，最后通過傅里葉逆變換（IDFT）返回空間域，得到增強的圖像 $g(x,y)$。

$$f(x,y)\stackrel{DFT}{}F(u,v)\underset{濾波}{\overset{H(u,v)}{}}G(u,v)\stackrel{IDFT}{}g(x,y)$$

頻率域圖像濾波的基本步驟如下：

（1）對原始圖像 $f(x,y)$ 進行傅里葉變換，得到 $F(u,v)$；
（2）將圖像的傅里葉變換 $F(u,v)$ 與傳遞函數 $H(u,v)$ 進行卷積運算，得到濾波后的頻譜 $G(u,v)$；
（3）對 $G(u,v)$ 進行傅里葉逆變換，得到增強圖像 $g(x,y)$。

例程 8.15：頻率域圖像濾波的一般步驟

# OpenCVdemo08.py # Demo08 of OpenCV # 8. 圖像的頻率域濾波 # Copyright 2021 Youcans, XUPT # Crated：2021-12-15# # 8.15：頻率域圖像濾波的一般步驟 (本例對應于 岡薩雷斯 數字圖像處理第四版 P183 圖4.35)imgGray = cv2.imread("../images/Fig0431.tif", flags=0) # flags=0 讀取為灰度圖像H, W = imgGray.shape[:2] # 圖片的高度(H)和寬度(W)P, Q = 2*H, 2*W# centerY, centerX = int(H/2), int(W/2) # 圖片中心fig = plt.figure(figsize=(10, 6))# 這里對原圖像進行pad，以得到更好的顯示imgDouble = np.ones([2*H, 2*W]) * 255imgDouble[:H, W:] = imgGray # 原始圖像位于右上側plt.subplot(241), plt.axis('off'), plt.title("Origin")# plt.imshow(imgDouble, cmap='gray')plt.imshow(imgGray, cmap='gray')fp = np.pad(imgGray, ((0,H), (0,W)), mode='constant') # 零填充plt.subplot(242), plt.axis('off'), plt.title("ZeroFilled")plt.imshow(fp, cmap='gray')# 中心化mask = np.ones(fp.shape)mask[1::2, ::2] = -1mask[::2, 1::2] = -1fpCen = fp * maskfpCenShow = np.clip(fpCen, 0, 255) # 截斷函數，將數值限制在 [0,255]print("fpCenShow.shape", fpCenShow.shape, fpCenShow.min(), fpCenShow.max())plt.subplot(243), plt.axis('off'), plt.title("Centralization")plt.imshow(fpCenShow, cmap='gray')# cv2.dft 實現圖像的傅里葉變換imgFloat32 = np.float32(fp) # 將圖像轉換成 float32dft = cv2.dft(imgFloat32, flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) # 傅里葉變換dftShift = np.fft.fftshift(dft) # 將低頻分量移動到頻域圖像的中心dftShiftAmp = cv2.magnitude(dftShift[:,:,0], dftShift[:,:,1]) # 幅度譜，中心化dftAmpLog = np.log(1 + dftShiftAmp) # 幅度譜對數變換，以便于顯示plt.subplot(244), plt.axis('off'), plt.title("DFTshift")plt.imshow(dftAmpLog, cmap='gray')# Gauss low_pass filter: 1/(2*pi*s2) * exp(-(x**2+y**2)/(2*s2))sigma2 = 0.005 # square of sigmax, y = np.mgrid[-1:1:1.0/H, -1:1:1.0/W]z = 1 / (2 * np.pi * sigma2) * np.exp(-(x**2 + y**2) / (2*sigma2))# maskGauss = np.uint8(255 * (z - z.min()) / (z.max() - z.min()))maskGauss = np.uint8(cv2.normalize(z, None, 0, 255, cv2.NORM_MINMAX)) # 歸一化為 [0,255]print("maskGauss.shape", maskGauss.shape, maskGauss.min(), maskGauss.max())plt.subplot(245), plt.axis('off'), plt.title("Gauss low-pass")plt.imshow(maskGauss, cmap='gray')maskGauss2 = np.zeros((maskGauss.shape[0], maskGauss.shape[1], 2), np.uint8)maskGauss2[:, :, 0] = maskGaussmaskGauss2[:, :, 1] = maskGaussdftTrans = dftShift * maskGauss2 # 修改傅里葉變換實現濾波dftTransAmp = cv2.magnitude(dftTrans[:,:,0], dftTrans[:,:,1]) # 幅度譜，中心化dftTransLog = np.log(1 + dftTransAmp) # 幅度譜對數變換，以便于顯示plt.subplot(246), plt.axis('off'), plt.title("DFT Trans")plt.imshow(dftTransLog, cmap='gray')# 通過傅里葉逆變換返回空間域ishift = np.fft.ifftshift(dftTrans) # 將低頻逆轉換回圖像四角idft = cv2.idft(ishift) # 逆傅里葉變換idftMag = cv2.magnitude(idft[:,:,0], idft[:,:,1]) # 重建圖像plt.subplot(247), plt.axis('off'), plt.title("IDFT rebuild")plt.imshow(idftMag, cmap='gray')imgRebuild = idftMag[:H, :W]plt.subplot(248), plt.axis('off'), plt.title("DFT filtered")plt.imshow(imgRebuild, cmap='gray')plt.tight_layout()plt.show()

（本節完）

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總結

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