【OpenCV 例程200篇】75. Numpy 实现图像傅里叶变换
【OpenCV 例程200篇】75. Numpy 實現圖像傅里葉變換
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2.3 二維離散傅里葉變換(DFT)
對于二維圖像處理,通常使用 x,yx, yx,y 表示離散的空間域坐標變量,用 u,vu,vu,v 表示離散的頻率域變量。二維離散傅里葉變換(DFT)和反變換(IDFT)為:
F(u,v)=∑x=0M?1∑y=0N?1f(x,y)e?j2π(ux/M+vy/N)f(x,y)=1MN∑u=0M?1∑v=0N?1F(u,v)ej2π(ux/M+vy/N)\begin{aligned} F(u,v) &= \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x,y) e^{-j 2\pi (ux/M+vy/N)}\\ f(x,y) &= \frac{1}{MN} \sum_{u=0}^{M-1} \sum_{v=0}^{N-1} F(u,v) e^{j 2\pi (ux/M+vy/N)} \end{aligned} F(u,v)f(x,y)?=x=0∑M?1?y=0∑N?1?f(x,y)e?j2π(ux/M+vy/N)=MN1?u=0∑M?1?v=0∑N?1?F(u,v)ej2π(ux/M+vy/N)?
二維離散傅里葉變換也可以用極坐標表示:
F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)=∣F(u,v)∣ej?(u,v)F(u,v) = R(u,v) + j I(u,v) = |F(u,v)| e^{j \phi (u,v)} F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)=∣F(u,v)∣ej?(u,v)
傅里葉頻譜(Fourier spectrum)為:
∣F(u,v)∣=[R2(u,v)+I2(u,v)]1/2|F(u,v)| = [R^2(u,v) + I^2(u,v)]^{1/2} ∣F(u,v)∣=[R2(u,v)+I2(u,v)]1/2
傅里葉相位譜(Fourier phase spectrum)為:
?(u,v)=arctan[I(u,v)/R(u,v)]\phi (u,v) = arctan[I(u,v)/R(u,v)] ?(u,v)=arctan[I(u,v)/R(u,v)]
傅里葉功率譜(Fourier power spectrum)為:
P(u,v)=∣F(u,v)∣2=R2(u,v)+I2(u,v)P(u,v) = |F(u,v)|^2 = R^2(u,v) + I^2(u,v) P(u,v)=∣F(u,v)∣2=R2(u,v)+I2(u,v)
空間取樣和頻率間隔是相互對應的,頻率域所對應的離散變量間的間隔為:Δu=1/MΔT,Δv=1/NΔZ\Delta u = 1/M \Delta T,\Delta v = 1/N \Delta ZΔu=1/MΔT,Δv=1/NΔZ。即:頻域中樣本之間的間隔,與空間樣本之間的間隔及樣本數量的乘積成反比。
空間域濾波器和頻率域濾波器也是相互對應的,二維卷積定理是在空間域和頻率域濾波之間建立等價關系的紐帶:
(f?h)(x,y)?(F?H)(u,v)(f \star h)(x,y) \Leftrightarrow (F \cdot H)(u,v) (f?h)(x,y)?(F?H)(u,v)
這表明 F 和 H 分別是 f 和 h 的傅里葉變換;f 和 h 的空間卷積的傅里葉變換,是它們的變換的乘積。
因此,計算兩個函數的空間卷積,可以直接在空間域計算,也可以在頻率域計算:先計算每個函數的傅里葉變換,再對兩個變換相乘,最后進行傅里葉反變換轉換回空間域。
也就是說,空間域濾波器和頻率域濾波器實際上是相互對應的,有些空間域濾波器在頻率域通過傅里葉變換實現會更方便、更快速。
2.4 Numpy 實現圖像傅里葉變換
Numpy 中的 np.fft.fft2() 函數可以實現圖像的傅里葉變換 。
函數說明:
numpy.fft.fft2(a, s=None, axes=(- 2, - 1), norm=None) → out參數說明:
- a:輸入數組,一維或多維數組,可以是復數形式
- s:輸出數組的形狀(每個變換軸的長度),對應于 fft(x,n) 中的 n,可選項
- out:輸出數組,復數形式的一維或多維數組(complex ndarray)
注意事項:
經過 np.fft.fft2() 函數實現傅里葉變換得到的圖片頻譜信息,幅度譜的最大值(低頻分量)在左上角 (0,0) 處。為了便于觀察,通常用 np.fft.fftshift() 函數將低頻分量移動到頻域圖像的中心位置。
函數說明:
numpy.fft.fftshift(x, axes=None) → y參數說明:
- x:輸入數組,一維或多維數組
- axes:整數,或輸入數組形狀的元組,用于指定移動的軸,可選項
- y:輸出數組
例程 8.10:二維圖像的離散傅里葉變換(Numpy)
# 8.10:Numpy 實現二維離散傅里葉變換normalize = lambda x: (x - x.min()) / (x.max() - x.min() + 1e-6)imgGray = cv2.imread("../images/Fig0424a.tif", flags=0) # flags=0 讀取為灰度圖像# imgGray = cv2.imread("../images/imgBall.png", flags=1) # flags=0 讀取為灰度圖像# 傅里葉變換# fft = np.fft.fft2(imgGray.astype(np.float32))fft = np.fft.fft2(imgGray) # np.fft.fft2 實現傅里葉變換# 非中心化,計算幅度譜和相位譜ampSpectrum = np.sqrt(np.power(fft.real, 2) + np.power(fft.imag, 2)) # 幅度譜print("ampSpectrum max={}, min={}".format(ampSpectrum.max(), ampSpectrum.min()))# phase = np.arctan2(fft.imag, fft.real) # 計算相位角(弧度制)# phiSpectrum = phase / np.pi*180 # 將相位角轉換為 [-180, 180]phiSpectrum = np.angle(fft)# 中心化,將低頻分量移動到頻域圖像的中心fftShift = np.fft.fftshift(fft) # 將低頻分量移動到頻域圖像的中心# 中心化后的幅度譜ampSpeShift = np.sqrt(np.power(fftShift.real, 2) + np.power(fftShift.imag, 2))ampShiftNorm = np.uint8(normalize(ampSpeShift)*255) # 歸一化為 [0,255]# 幅度譜做對數變換ampSpeLog = np.log(1 + ampSpeShift) # 幅度譜做對數變換以便于顯示ampSpeLog = np.uint8(normalize(ampSpeLog)*255) # 歸一化為 [0,255]# np.fft.ifft2 實現圖像的逆傅里葉變換invShift = np.fft.ifftshift(fftShift) # 將低頻逆轉換回圖像四角imgIfft = np.fft.ifft2(invShift) # 逆傅里葉變換,返回值是復數數組imgRebuild = np.abs(imgIfft) # 將復數數組調整至灰度空間plt.figure(figsize=(9, 6))plt.subplot(231), plt.title("Original image"), plt.axis('off')plt.imshow(imgGray, cmap='gray')plt.subplot(232), plt.title("FFT phase spectrum"), plt.axis('off')plt.imshow(phiSpectrum, cmap='gray')plt.subplot(233), plt.title("Rebuild image with IFFT"), plt.axis('off')plt.imshow(imgRebuild, cmap='gray')plt.subplot(234), plt.title("FFT amplitude spectrum"), plt.axis('off')plt.imshow(ampSpectrum, cmap='gray')plt.subplot(235), plt.title("FFT-shift amplitude"), plt.axis('off')plt.imshow(ampSpeShift, cmap='gray')plt.subplot(236), plt.title("Log-trans of FFT amp"), plt.axis('off')plt.imshow(ampSpeLog, cmap='gray')plt.tight_layout()plt.show()程序說明:
圖中未中心化的幅度譜(FFT amp spe)也并不是完全黑色,在圖像的四角位置都有微小的亮區域,但是很難觀察到,這也是對幅度譜進行中心化處理(fftShift)的原因。
(本節完)
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總結
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