Description

作為一個生活散漫的人，小Z每天早上都要耗費很久從一堆五顏六色的襪子中找出一雙來穿。終于有一天，小Z再也無法忍受這惱人的找襪子過程，于是他決定聽天由命……
具體來說，小Z把這N只襪子從1到N編號，然后從編號L到R(L 盡管小Z并不在意兩只襪子是不是完整的一雙，甚至不在意兩只襪子是否一左一右，他卻很在意襪子的顏色，畢竟穿兩只不同色的襪子會很尷尬。
你的任務便是告訴小Z，他有多大的概率抽到兩只顏色相同的襪子。當然，小Z希望這個概率盡量高，所以他可能會詢問多個(L,R)以方便自己選擇。

Input

輸入文件第一行包含兩個正整數N和M。N為襪子的數量，M為小Z所提的詢問的數量。接下來一行包含N個正整數Ci，其中Ci表示第i只襪子的顏色，相同的顏色用相同的數字表示。再接下來M行，每行兩個正整數L，R表示一個詢問。

Output

包含M行，對于每個詢問在一行中輸出分數A/B表示從該詢問的區(qū)間[L,R]中隨機抽出兩只襪子顏色相同的概率。若該概率為0則輸出0/1，否則輸出的A/B必須為最簡分數。（詳見樣例）

Sample Input

6 4

1 2 3 3 3 2

2 6

1 3

3 5

1 6

Sample Output

2/5

0/1

1/1

4/15

【樣例解釋】

詢問1：共C(5,2)=10種可能，其中抽出兩個2有1種可能，抽出兩個3有3種可能，概率為(1+3)/10=4/10=2/5。

詢問2：共C(3,2)=3種可能，無法抽到顏色相同的襪子，概率為0/3=0/1。

詢問3：共C(3,2)=3種可能，均為抽出兩個3，概率為3/3=1/1。

注：上述C(a, b)表示組合數，組合數C(a, b)等價于在a個不同的物品中選取b個的選取方案數。

【數據規(guī)模和約定】

30%的數據中 N,M ≤ 5000；

60%的數據中 N,M ≤ 25000；

100%的數據中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。

Solution

• 這題是 莫隊算法 的經典例題！（“優(yōu)雅的暴力”）

• 莫隊算法 是一種離線處理的算法，可以離線處理各種區(qū)間問題，由國家隊隊長莫濤發(fā)明。

• 我用的是分塊的處理，時間復雜度是嚴格的 O(N?N??√) ，比暴力的 O(N2) 優(yōu)得多。

• 算法通過區(qū)間 [l，r] 的答案轉移到區(qū)間 [l+1，r] 和 [l，r+1] ，避免了很多冗余運算。

• 先離線，按以下順序排序再處理：

• 按 左端點所在的塊的編號 為 第一關鍵字；
• 按 右端點的位置 為 第二關鍵字。

• 這樣最多有 N??√ 個塊，同一個塊中指針又最多從左到右移動 N 次，

• 所以時間復雜度就保證了是 O(N?N??√) 的了。

• 那么回歸本題，如何運用莫隊算法求出答案呢？

• 記 num[i] 表示顏色為 i 在區(qū)間中出現的次數。

• 記 ans[i] 表示在第 i 個詢問中符合條件的抽襪子的方案數。

• 再記 cnt[i] 表示在第 i 個詢問中抽襪子的總方案數，那么顯然有：（排序前）cnt[i]=(a[i].r?a[i].l+1)?(a[i].r?a[i].l)/2

• 那么我們只需求出 ans 數組，就能得到答案了。把詢問按上述順序排序。

• 令初始區(qū)間為：l=a[1].l ， r=a[1].l?1 。

• 于是我們通過區(qū)間的左右移動，“暴力”算出后一個期間的答案即可。

• 注意期間維護 num 數組，同時得到目標的 ans 數組。

• 最后輸出時算出分子分母的 Gcd（最大公約數） ，除后輸出即可滿足題意。

Code

#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; const int N=50001; struct data {int l,r,p,id; }a[N]; int c[N],ans[N],cnt[N],num[N]; inline int read() {int X=0,w=1; char ch=0;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}while(ch>='0' && ch<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+ch-'0',ch=getchar();return X*w; } inline bool cmp(data x,data y) {return x.id<y.id || x.id==y.id && x.r<y.r; } inline int gcd(int x,int y) {return !y?x:gcd(y,x%y); } int main() {int n=read(),q=read(),m=sqrt(n);for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=read();for(int i=1;i<=q;i++){a[i].l=read(),a[i].r=read();a[a[i].p=i].id=a[i].l/m;cnt[i]=(long long)(a[i].r-a[i].l+1)*(a[i].r-a[i].l)/2;}sort(a+1,a+1+q,cmp);int l=a[1].l,r=l-1;for(int i=1,sum=0;i<=q;i++){while(l>a[i].l) sum+=num[c[--l]]++;while(r<a[i].r) sum+=num[c[++r]]++;while(l<a[i].l) sum-=--num[c[l++]];while(r>a[i].r) sum-=--num[c[r--]];ans[a[i].p]=sum;}for(int i=1;i<=q;i++){int x=gcd(ans[i],cnt[i]);printf("%d/%d\n",ans[i]/x,cnt[i]/x);}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的BZOJ 2038: [2009国家集训队]小Z的袜子（莫队算法例题）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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