整理一下矩陣論學(xué)習(xí)中的相關(guān)概念。從正交矩陣開(kāi)始

正交矩陣

定義1 稱n階方陣A是正交矩陣，若

正交矩陣有幾個(gè)重要性質(zhì)：

A的逆等于A的轉(zhuǎn)置，即

A的行列式為±1，即

A的行（列）向量組為n維單位正交向量組

上述3個(gè)性質(zhì)可以看做是正交矩陣的判定準(zhǔn)則，我們可以通過(guò)上述準(zhǔn)則簡(jiǎn)單地判斷一個(gè)矩陣是否是正交矩陣。下面，我們將從線性變換的角度，來(lái)看正交矩陣還有哪些獨(dú)特的性質(zhì)。首先給出正交變換的定義：

定義2 歐氏空間V的線性變換T稱為正交變換，若

，有 。

注意，正交變換在任意標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交陣，這也是我們通過(guò)正交矩陣研究正交變換的理論基礎(chǔ)。

我們知道，線性變換在不同基下的矩陣一般是不同的，但滿足相似條件。因此，我們可以通過(guò)矩陣的相似不變量來(lái)對(duì)正交變換進(jìn)行分類。正交變換有兩種特殊的類型，分別是旋轉(zhuǎn)變換和鏡像變換，它們的區(qū)別也正好可以對(duì)應(yīng)于兩類不同的正交矩陣，它們具有不同的行列式取值。

旋轉(zhuǎn)矩陣

首先我們來(lái)看旋轉(zhuǎn)矩陣。旋轉(zhuǎn)矩陣（Rotation matrix）是在乘以一個(gè)向量的時(shí)候，改變向量的方向但不改變向量長(zhǎng)度的矩陣。對(duì)于旋轉(zhuǎn)矩陣，我們有：

性質(zhì)1 一個(gè)矩陣是旋轉(zhuǎn)矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)它是正交矩陣并且它的行列式是1。

旋轉(zhuǎn)矩陣的行列式為1，那么它的特征值等于多少呢？我們知道矩陣的行列式等于特征值的乘積，即

那么旋轉(zhuǎn)矩陣的特征值可以有以下多種情況：

全為1，即恒等變換，它也看成是一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換，只不過(guò)旋轉(zhuǎn)的角度是零。

1和-1，且-1的個(gè)數(shù)必須為偶數(shù)。

除了包含實(shí)數(shù)特征值1或-1，還包含非實(shí)數(shù)的特征值。這種情況下，可以證明，非實(shí)數(shù)的特征值總是成對(duì)出現(xiàn)的，即如果 是一個(gè)特征值，那么它的共軛 也是特征值，且滿足 。

這里引用維基百科中關(guān)于旋轉(zhuǎn)矩陣的一個(gè)表述：“旋轉(zhuǎn)矩陣不包括反演，反演可以把右手坐標(biāo)系改變成左手坐標(biāo)系或反之。所有旋轉(zhuǎn)加上反演形成了正交矩陣的集合?！边@里的反演，就是我們所說(shuō)的鏡像。也就是說(shuō)，偶數(shù)個(gè)-1的特征值保證了旋轉(zhuǎn)矩陣不會(huì)將右手坐標(biāo)系變?yōu)樽笫肿鴺?biāo)系（或反之），這是旋轉(zhuǎn)變換與鏡像變換的根本區(qū)別。

根據(jù)上面的分析，下面兩個(gè)關(guān)于正交矩陣的性質(zhì)就非常容易理解了：

性質(zhì)2 若

是正交矩陣A的一個(gè)特征值，則 也是A的一個(gè)特征值，且有

性質(zhì)3 若奇數(shù)階正交矩陣的行列式

，則1是A的一個(gè)特征值。

鏡像變換矩陣

接下來(lái)，我們來(lái)看第二類正交矩陣，鏡像變換矩陣（Reflection matrix），或Householder矩陣。Householder矩陣對(duì)應(yīng)的正交變換稱為鏡像變換，它是一類在n維空間中沿n-1維平面做的一種線性變換。這個(gè)n-1維平面通常記為

，將其單位法向量記為 。如果 已知（一般來(lái)說(shuō)這是問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)），我們可以通過(guò) 來(lái)構(gòu)造鏡像矩陣，計(jì)算公式為：

注意，這里的單位法向量

是一個(gè)列向量。

Householder矩陣有n-1個(gè)特征值為1，余下一個(gè)特征值為-1。下面給出證明：設(shè)矩陣

的特征值為 ，則Householder矩陣 的特征值必為 又 是秩為1的冪等矩陣，可知它的特征值是 ，所以， 的特征值是

Householder矩陣同時(shí)是對(duì)稱矩陣。既正交又對(duì)稱的矩陣有一個(gè)特殊性質(zhì)是它的冪為I，即

.

根據(jù)上面的分析，下面關(guān)于正交矩陣的性質(zhì)就非常容易理解了：

性質(zhì)4 若正交矩陣的行列式

，則-1是A的一個(gè)特征值。

正交矩陣的幾個(gè)一般性質(zhì)

了解了兩種特殊的正交矩陣，我們來(lái)看一下正交矩陣幾個(gè)更一般的性質(zhì)。

性質(zhì)5 若A為正交矩陣，

是矩陣A的特征值，則 也是A的一個(gè)特征值。

證明：由

，因?yàn)檎痪仃嚍閷?shí)矩陣， ，又因?yàn)? ，因此 ，即 也是A的一個(gè)特征值。

性質(zhì)6 若正交矩陣A的特征值為實(shí)數(shù)，則A一定為對(duì)稱矩陣。

這個(gè)性質(zhì)的證明需要用到Schur定理，即任意方陣A都可以酉相似于上三角陣R，且這個(gè)上三角陣R的對(duì)角元素為矩陣A的特征值

.

證明：由Schur定理，A的特征值為實(shí)數(shù)，A可正交相似于上三角陣R，即

，對(duì)其轉(zhuǎn)置，兩式相乘得 ，注意到 ，于是得到 ，可知R為對(duì)角陣，因此

也可以通過(guò)正規(guī)矩陣來(lái)證明：A是正交矩陣

A是正規(guī)矩陣 A可酉對(duì)角化，又特征值為實(shí)數(shù) A為Hermite矩陣 A為實(shí)對(duì)稱矩陣。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵相乘取共轭_正交矩阵学习小结的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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