網(wǎng)格自適應的目標是：修正網(wǎng)格以更有效地解決問題。通常，我們希望使用盡可能少的單元來獲得精確的解；并希望在不太重要的區(qū)域使用較粗糙的網(wǎng)格，而在感興趣的區(qū)域使用較精細的網(wǎng)格。有時，我們甚至可能會考慮各向異性單元。從 5.4 版本開始， COMSOL 軟件內置了增強工具以適應網(wǎng)格的變化。今天，讓我們來看看在 COMSOL 軟件中，如何使用網(wǎng)格自適應方法實現(xiàn)更高效的計算。

確定所需網(wǎng)格單元的大小

為了調整網(wǎng)格，我們必須知道實際所需的網(wǎng)格單元大小。但是，在實際工作中，需要進行大量的研究才能找到合適的尺寸。在 COMSOL Multiphysics 中，我們可以在研究中使用?自適應和誤差估計?功能(用于穩(wěn)態(tài)和特征值問題)，基于內置誤差估計自動調整網(wǎng)格。在 COMSOL 軟件中可以靈活地進行網(wǎng)格自適應，而不只是局限于內置誤差估計。比如，我們可以先在粗網(wǎng)格上求解一個較簡單的問題，然后基于該解通過計算的表達式來控制一個較難問題的單元尺寸。另外，還可以使用導入的插值函數(shù)或任何函數(shù)。本文不涉及這方面內容，而是假設我們已經隱式或顯式地知道所需的單元大小是 x，y 和(在 3D 中)z 的函數(shù)。這意味著網(wǎng)格單元邊長由該邊中點坐標的函數(shù)表達式確定。通常，不可能完全滿足此要求，即使是一個三角形也需要滿足三角形不等式。但是，請記住：尺寸表達式表示空間中每個點上所需的單元邊長。

根據(jù)尺寸大小函數(shù)適應網(wǎng)格的 2 種方法

在 COMSOL Multiphysics 中，從?網(wǎng)格?節(jié)點開始工作時，有 2 種本質上不同的方法來構建適應尺寸大小函數(shù)的網(wǎng)格。第一種方法，我們可以在網(wǎng)格劃分序列中使用大小表達式?屬性來改變生成網(wǎng)格的大小。如果我們使用研究里的網(wǎng)格自適應，則相當于選擇了?重建網(wǎng)格?選項，其中的自由網(wǎng)格生成器(自由三角形網(wǎng)格，自由四邊形網(wǎng)格和自由四面體網(wǎng)格)會考慮這個尺寸大小。另一方面，結構化方法(例如映射?和掃掠，和某種程度上的邊界層)忽略了大小表達式屬性(根據(jù)定義，結構化網(wǎng)格不能遵循大小可變的字段)。簡單來說，就是如果我們構建的是結構化網(wǎng)格，則可能無法使用此方法。另一種方法是使用?自適應?操作。此操作通過單元細化和粗化修改現(xiàn)有的網(wǎng)格。我們可以在具有任何單元類型的網(wǎng)格上以及在導入的網(wǎng)格上使用自適應操作。這是一種更強大的方法，并且能夠更好地遵循指定的大小表達式。但是，結果通常不如從頭開始生成的網(wǎng)格平滑。下面，我們將詳細討論這兩種方法，看看結果有何不同。

使用大小表達式屬性

如前所述，使用大小表達式屬性方法通常能獲得高質量的網(wǎng)格。但是，如果它產生的單元質量較差，則可能不遵守所需的大小(例如，進行快速大小轉換時)。有關網(wǎng)格質量的討論，請閱讀 COMSOL 官網(wǎng)的博客文章：如何檢查 COMSOL Multiphysics? 中的網(wǎng)格。由于網(wǎng)格在每一次適應時是從零開始構建的，因此對于復雜的幾何形狀而言，此過程可能很耗時。使用大小表達式屬性對圓形幾何的三角形網(wǎng)格應用一個表達式，結果具有高質量的網(wǎng)格單元和平滑的尺寸過渡。如果我們具有已知的大小表達式(例如，全局插值函數(shù))，則在背景柵格上進行計算通常會很方便(在上圖中的柵格基礎上計算)。我們需要確保柵格分辨率足夠高以捕獲大小表達式描述的所有特征。當大小表達式取決于已知的空間變化量(例如材料)時，我們可以使用初始表達式計算選項。之后，可以使用模型中的任何表達式。軟件將會在求解前計算表達式(對應于獲取求解步驟的初始值命令，可用于研究步驟)。我們還可以指定某個研究步，因為一些表達式的值取決于研究。最后，我們還可以在現(xiàn)有解上計算。表達式類型為錯誤指示器?用于內置錯誤估計，但我們也可以使用任何大小表達式——這可能依賴于現(xiàn)有的解。例如，我們可能想在應力較大的地方細化網(wǎng)格。

使用自適應操作

另一種方法是基于現(xiàn)有的網(wǎng)格，對其進行修改以匹配所需的大小。這就是自適應?操作的作用。它適用于所有尺寸，也可作用于導入的網(wǎng)格。它的許多選項和輸入字段與大小表達式?屬性相同。該操作有三種適應方法：最長邊細化，常規(guī)細化?和通用修改。兩種細化方法是基于單元邊的二等分法，由于這些單元邊太長，保留了所有現(xiàn)有的網(wǎng)格頂點，因此這些方法無法粗化網(wǎng)格。自 5.4 版本開始，COMSOL Multiphysics 軟件內置了通用修改?方法。顧名思義，即是以非常通用的方式修改網(wǎng)格：

• 單元可以細化
• 如果網(wǎng)格太細，可以刪除頂點以粗化網(wǎng)格
• 單元可以修改，網(wǎng)格頂點可以移動，以提高網(wǎng)格質量

使用自適應操作的通用修改方法，對 大小表達式屬性應用同一表達式。雖然對于大多數(shù)應用而言，網(wǎng)格單元質量足夠高，但是大小過渡不如從頭開始生成的網(wǎng)格平滑。如果將適應方法更改為最長邊細化，則結果如下所示。將太長的邊一分為二，直到網(wǎng)格被充分細化。此網(wǎng)格操作非常快，但是即使輸入網(wǎng)格的質量很高，該方法通常會產生低質量網(wǎng)格單元。與上述模型相同，但是將自適應方法設置為?最長邊細化。這里，我們可以看到原始三角形形狀產生的圖案。

支持所有單元類型

自適應?操作可用于所有單元類型的網(wǎng)格，也可以作用于結構化網(wǎng)格域(雖然，網(wǎng)格自適應后通常不再是結構化)。但是，當在復雜單元(二維中的四邊形，三維中的六面體、棱柱、錐形)中使用此方法時，我們必須要小心，因為結果可能很差。下面，我們來看看在這種情況下單元尺寸大小是如何過渡的。在二維模型中，三角形插入到四邊形網(wǎng)格中。上：圓形幾何中默認的自由四邊形網(wǎng)格。以最大角度質量對單元進行著色。下：網(wǎng)格適應為與上面相同的大小表達式后的結果。請注意在尺寸過渡區(qū)域中三角形是如何使用的。在三維結構中，通常將四面體和錐體用于尺寸過渡區(qū)域，在合適時也可以插入其他單元類型。下圖顯示了具有粗糙六面體網(wǎng)格的圓柱體，該圓柱體使用?0.02 + z*z 表達式進行適應。適應前后的圓柱體網(wǎng)格。

邊界層網(wǎng)格的網(wǎng)格自適應

在以上所有示例中，指定的尺寸大小函數(shù)代表各向同性單元的大小；也就是說，一個理想形狀單元的所有邊都具有(大約)相同的長度。如果我們需要適應的網(wǎng)格是各向異性的(例如，沿邊界伸展的邊界層網(wǎng)格)，則自適應會朝著各向同性方向修改網(wǎng)格。邊界層單元甚至可能被完全刪除！這不是我們想要的結果。一種解決方法是禁止粗化，則邊界層會被保留。上：以原點為中心的矩形，含邊界層網(wǎng)格。中：適應方法為通用修改， 大小表達式?0.04 + x*x。由于粗化操作，邊界層被刪除。下：禁用粗化操作的適應結果，邊界層被保留。

構建各向異性網(wǎng)格

自適應?操作也可用于各向異性適應。各向異性網(wǎng)格單元是理想單元沿某個方向拉伸的單元。這種網(wǎng)格在 CFD 計算中很常見，一個典型的例子就是邊界層網(wǎng)格。如果要進行各向異性適應，首先，選擇?各向異性度量?作為表達式類型。然后，我們需要指定 2×2(二維)或 3×3(三維)對稱矩陣。此操作意味著：代表單元邊的向量在該點被矩陣轉換，并測量了轉換向量的長度。如果長度小于 1.0，則認為它太短。如果長度大于 1.0，則認為它太長。該措施用于控制適應。下圖顯示了如何使用此方法。使用三角形單元剖分網(wǎng)格控制域。應用各向異性適應方法。此時，度量由常數(shù)矩陣?指定。通過自由三角形網(wǎng)格對周圍的區(qū)域進行網(wǎng)格剖分將網(wǎng)格控制域合并到較大的域中。

結語

綜上，我們展示了如何使用 COMSOL Multiphysics 中的網(wǎng)格自適應工具來創(chuàng)建適合特定目的的網(wǎng)格。一種方法是選擇網(wǎng)格?節(jié)點中的大小表達式?屬性，用于控制生成三角形和四面體網(wǎng)格的大小，通常可以得到平滑且質量較高的網(wǎng)格。另一個方法是使用自適應操作，該操作會修改現(xiàn)有的網(wǎng)格。網(wǎng)格自適應是一個功能強大的工具，可以修改任何類型的網(wǎng)格也能生成各向異性網(wǎng)格單元。

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總結

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