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???? 模擬退火算法來(lái)源于固體退火原理，將固體加溫至充分高，再讓其徐徐冷卻，加溫時(shí)，固體內(nèi)部粒子隨溫升變?yōu)闊o(wú)序狀，內(nèi)能增大，而徐徐冷卻時(shí)粒子漸趨有序，在每個(gè)溫度都達(dá)到平衡態(tài)，最后在常溫時(shí)達(dá)到基態(tài)，內(nèi)能減為最小。根據(jù)Metropolis準(zhǔn)則，粒子在溫度T時(shí)趨于平衡的概率為e-ΔE/(kT)，其中E為溫度T時(shí)的內(nèi)能，ΔE為其改變量，k為Boltzmann常數(shù)。用固體退火模擬組合優(yōu)化問(wèn)題，將內(nèi)能E模擬為目標(biāo)函數(shù)值f，溫度T演化成控制參數(shù)t，即得到解組合優(yōu)化問(wèn)題的模擬退火算法：由初始解i和控制參數(shù)初值t開(kāi)始，對(duì)當(dāng)前解重復(fù)“產(chǎn)生新解→計(jì)算目標(biāo)函數(shù)差→接受或舍棄”的迭代，并逐步衰減t值，算法終止時(shí)的當(dāng)前解即為所得近似最優(yōu)解，這是基于蒙特卡羅迭代求解法的一種啟發(fā)式隨機(jī)搜索過(guò)程。退火過(guò)程由冷卻進(jìn)度表(Cooling Schedule)控制，包括控制參數(shù)的初值t及其衰減因子Δt、每個(gè)t值時(shí)的迭代次數(shù)L和停止條件S。
3.5.1 模擬退火算法的模型
模擬退火算法可以分解為解空間、目標(biāo)函數(shù)和初始解三部分。
模擬退火的基本思想:
(1) 初始化：初始溫度T(充分大)，初始解狀態(tài)S(是算法迭代的起點(diǎn))， 每個(gè)T值的迭代次數(shù)L
(2) 對(duì)k=1，……，L做第(3)至第6步：
(3) 產(chǎn)生新解S′
(4) 計(jì)算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)為評(píng)價(jià)函數(shù)
(5) 若Δt′<0則接受S′作為新的當(dāng)前解，否則以概率exp(-Δt′/T)接受S′作為新的當(dāng)前解.
(6) 如果滿足終止條件則輸出當(dāng)前解作為最優(yōu)解，結(jié)束程序。
終止條件通常取為連續(xù)若干個(gè)新解都沒(méi)有被接受時(shí)終止算法。
(7) T逐漸減少，且T->0，然后轉(zhuǎn)第2步。
算法對(duì)應(yīng)動(dòng)態(tài)演示圖：
模擬退火算法新解的產(chǎn)生和接受可分為如下四個(gè)步驟：
第一步是由一個(gè)產(chǎn)生函數(shù)從當(dāng)前解產(chǎn)生一個(gè)位于解空間的新解；為便于后續(xù)的計(jì)算和接受，減少算法耗時(shí)，通常選擇由當(dāng)前新解經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單地變換即可產(chǎn)生新解的方法，如對(duì)構(gòu)成新解的全部或部分元素進(jìn)行置換、互換等，注意到產(chǎn)生新解的變換方法決定了當(dāng)前新解的鄰域結(jié)構(gòu)，因而對(duì)冷卻進(jìn)度表的選取有一定的影響。
第二步是計(jì)算與新解所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)差。因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)差僅由變換部分產(chǎn)生，所以目標(biāo)函數(shù)差的計(jì)算最好按增量計(jì)算。事實(shí)表明，對(duì)大多數(shù)應(yīng)用而言，這是計(jì)算目標(biāo)函數(shù)差的最快方法。
第三步是判斷新解是否被接受,判斷的依據(jù)是一個(gè)接受準(zhǔn)則，最常用的接受準(zhǔn)則是Metropo1is準(zhǔn)則: 若Δt′<0則接受S′作為新的當(dāng)前解S，否則以概率exp(-Δt′/T)接受S′作為新的當(dāng)前解S。
第四步是當(dāng)新解被確定接受時(shí)，用新解代替當(dāng)前解，這只需將當(dāng)前解中對(duì)應(yīng)于產(chǎn)生新解時(shí)的變換部分予以實(shí)現(xiàn)，同時(shí)修正目標(biāo)函數(shù)值即可。此時(shí)，當(dāng)前解實(shí)現(xiàn)了一次迭代。可在此基礎(chǔ)上開(kāi)始下一輪試驗(yàn)。而當(dāng)新解被判定為舍棄時(shí)，則在原當(dāng)前解的基礎(chǔ)上繼續(xù)下一輪試驗(yàn)。
模擬退火算法與初始值無(wú)關(guān)，算法求得的解與初始解狀態(tài)S(是算法迭代的起點(diǎn))無(wú)關(guān)；模擬退火算法具有漸近收斂性，已在理論上被證明是一種以概率l 收斂于全局最優(yōu)解的全局優(yōu)化算法；模擬退火算法具有并行性。
3.5.2 模擬退火算法的簡(jiǎn)單應(yīng)用
作為模擬退火算法應(yīng)用，討論貨郎擔(dān)問(wèn)題(Travelling Salesman Problem，簡(jiǎn)記為T(mén)SP)：設(shè)有n個(gè)城市，用數(shù)碼1,…,n代表。城市i和城市j之間的距離為d(i，j) i, j=1,…,n．TSP問(wèn)題是要找遍訪每個(gè)域市恰好一次的一條回路，且其路徑總長(zhǎng)度為最短.。
求解TSP的模擬退火算法模型可描述如下：
解空間 解空間S是遍訪每個(gè)城市恰好一次的所有回路，是{1，……，n}的所有循環(huán)排列的集合，S中的成員記為(w1,w2 ,……，wn)，并記wn+1= w1。初始解可選為(1，……，n)
目標(biāo)函數(shù) 此時(shí)的目標(biāo)函數(shù)即為訪問(wèn)所有城市的路徑總長(zhǎng)度或稱(chēng)為代價(jià)函數(shù)：
我們要求此代價(jià)函數(shù)的最小值。
新解的產(chǎn)生 隨機(jī)產(chǎn)生1和n之間的兩相異數(shù)k和m，若k
(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)
變?yōu)?#xff1a;
(w1, w2 ,…，wm , wm-1 ,…，wk+1 , wk ,…，wn).
如果是k>m，則將
(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)
變?yōu)?#xff1a;
(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk).
上述變換方法可簡(jiǎn)單說(shuō)成是“逆轉(zhuǎn)中間或者逆轉(zhuǎn)兩端”。
也可以采用其他的變換方法，有些變換有獨(dú)特的優(yōu)越性，有時(shí)也將它們交替使用，得到一種更好方法。
代價(jià)函數(shù)差 設(shè)將(w1, w2 ,……，wn)變換為(u1, u2 ,……，un), 則代價(jià)函數(shù)差為：
根據(jù)上述分析，可寫(xiě)出用模擬退火算法求解TSP問(wèn)題的偽程序：
Procedure TSPSA:
begin
init-of-T; { T為初始溫度}
S={1，……，n}; {S為初始值}
termination=false;
while termination=false
begin
for i=1 to L do
begin
generate(S′form S); { 從當(dāng)前回路S產(chǎn)生新回路S′}
Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)為路徑總長(zhǎng)}
IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])
S=S′;
IF the-halt-condition-is-TRUE THEN
termination=true;
End;
T_lower;
End;
End
模擬退火算法的應(yīng)用很廣泛，可以較高的效率求解最大截問(wèn)題(Max Cut Problem)、0-1背包問(wèn)題(Zero One Knapsack Problem)、圖著色問(wèn)題(Graph Colouring Problem)、調(diào)度問(wèn)題(Scheduling Problem)等等。
3.5.3 模擬退火算法的參數(shù)控制問(wèn)題
模擬退火算法的應(yīng)用很廣泛，可以求解NP完全問(wèn)題，但其參數(shù)難以控制，其主要問(wèn)題有以下三點(diǎn)：
(1) 溫度T的初始值設(shè)置問(wèn)題。
溫度T的初始值設(shè)置是影響模擬退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始溫度高，則搜索到全局最優(yōu)解的可能性大，但因此要花費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間；反之，則可節(jié)約計(jì)算時(shí)間，但全局搜索性能可能受到影響。實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，初始溫度一般需要依據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行若干次調(diào)整。
(2) 退火速度問(wèn)題。
模擬退火算法的全局搜索性能也與退火速度密切相關(guān)。一般來(lái)說(shuō)，同一溫度下的“充分”搜索(退火)是相當(dāng)必要的，但這需要計(jì)算時(shí)間。實(shí)際應(yīng)用中，要針對(duì)具體問(wèn)題的性質(zhì)和特征設(shè)置合理的退火平衡條件。
(3) 溫度管理問(wèn)題。
溫度管理問(wèn)題也是模擬退火算法難以處理的問(wèn)題之一。實(shí)際應(yīng)用中，由于必須考慮計(jì)算復(fù)雜度的切實(shí)可行性等問(wèn)題，常采用如下所示的降溫方式：
T(t+1)＝k×T(t)
式中k為正的略小于1.00的常數(shù)，t為降溫的次數(shù)
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