理解矩阵 的一些评论
【一些評(píng)論】
三篇都看過，這是第一次發(fā)表評(píng)論。
孟巖關(guān)于矩陣、變換、坐標(biāo)系的闡述，有些地方確實(shí)很直觀。
不過這種直觀有某些局限性。就是說在某一個(gè)應(yīng)用方面這樣來理解和思考會(huì)很直觀。普遍看來一些對(duì)概念的理解不具備“普適性”。
不過，課本上的數(shù)學(xué)用于都很抽象很枯燥，也正是這種抽象的語言，才精準(zhǔn)的描述了人類對(duì)數(shù)學(xué)某些局部理解的精微。這些描述的語言可能可以有更完善的改進(jìn)，就像編寫的程序有些地方的語句可以改得更巧妙更堅(jiān)固一樣。孟巖對(duì)矩陣?yán)斫獾倪@種描述的改進(jìn)是出于處理計(jì)算機(jī)圖形學(xué)當(dāng)中要用到各種變換而進(jìn)行深入思考的結(jié)果。總的說來有閃光的地方。也有使用起來不是那么靈光的詞語。
比如說矩陣就是運(yùn)動(dòng)。這樣理解相對(duì)有些狹隘。
不過總體看來還是瑕不掩瑜的。
數(shù)學(xué)書上的語言是經(jīng)過千錘百煉的。也容許我們每個(gè)人按自己的理解方式來理解。那么數(shù)學(xué)書上這種描述就是一個(gè)好的語言。它言辭很單調(diào)枯燥，可是道理是對(duì)的。那么就看你怎樣對(duì)它加工，使它明確、使它華麗、使它完美。使它更易于理解和使用。這個(gè)過程也就是一個(gè)人學(xué)懂了數(shù)學(xué)的過程。
綜述說完了。
時(shí)間有限，說點(diǎn)我的理解作為交流。
向量，不是線代一來就給的是n維的嗎？
我們一般可以最多思考出一個(gè)3維向量在3維空間里頭有多長，指向那個(gè)方向。所以n維的一來，頭都大了。思考不出來。很抽象。
其實(shí)先輩們老聰明了。你n維不是很抽象嗎。我不是一下子想象不出來你一個(gè)n維向量在n維空間是個(gè)什么模樣嗎？咱直接把每一維的長度挨個(gè)兒排成一個(gè)柱狀圖不就可以準(zhǔn)確的想象出它的形象了嗎。像一根根長短不一的石柱樹立在平地上排成一排。第一根石柱高3米，那么這個(gè)向量的第1維就是3 。第二根石柱高8米，向量的第2維就是8，以此類推。這樣就抓住了n維向量的本質(zhì)：我可以準(zhǔn)確的描述它——n維向量。
好了，兩個(gè)n維向量就是兩幅柱狀圖。m個(gè)n維向量就是m幅柱狀圖。
當(dāng)然，課本上空間太小，不適合畫很多圖。所以就直接寫一排數(shù)字分別代表每一維柱子的高度。就是我們常看見的：(3 , 8 , 2 , -1 , 5)這種形式。它是一個(gè)5維向量，而且用柱狀圖很容易想出它的形象。
用“柱狀圖”來思考向量的運(yùn)算還很方便。
下一步，就是定義向量之間的運(yùn)算：
兩個(gè)柱狀圖
( 3 , 8 , 2 ,-1 , 5 )
( 1 ,-3 , 2 , 4 , 1 )
一上一下每一維都對(duì)齊。每個(gè)分量分別相加，又得到一個(gè)柱狀圖。
( 4 , 5 , 4 , 3 , 6 )
這叫兩個(gè)向量的“和”。
兩個(gè)柱狀圖
( 3 , 2 , 2 ,-1 , 5 )
( 1 ,-3 , 2 , 4 , 1 )
一上一下每一維都對(duì)齊。每個(gè)分量分別相乘，又得到一個(gè)柱狀圖。
( 3 ,-6 , 4 ,-4 , 5 )
然后再吧所有分量都疊加起來。得到一個(gè)數(shù)：2 。這叫兩個(gè)向量的“內(nèi)積”。
一個(gè)柱狀圖
( 3 , 1 , 2 ,-1 , 5 )
每一維都乘上相同的一個(gè)數(shù) 3。又得到一個(gè)柱狀圖。
( 9 , 3 , 6 ,-3 ,15 )
這叫向量的數(shù)乘。這個(gè)運(yùn)算在向量空間當(dāng)中稱作外作用，因?yàn)樵诹硗庖粋€(gè)數(shù)域當(dāng)中取了一個(gè)3過來。上面兩個(gè)運(yùn)算都是內(nèi)作用。
然后根據(jù)內(nèi)積的概念就可以定義向量的范數(shù)和判別兩個(gè)向量是否正交。以及向量之間的相關(guān)性等等。
把向量的每個(gè)分量的數(shù)域擴(kuò)充一下，分量為復(fù)數(shù)的可以定義復(fù)向量。
分量為m維向量的可以定義維矩陣。
向量的分量之間不是1維、2維、3維這么按自然數(shù)排布下去的。比如，來個(gè)第1.2維、第2.6321維等可以擴(kuò)充到“分維”，這個(gè)按下不表。
向量的分量之間按實(shí)數(shù)關(guān)系排布的，就是一元函數(shù)。所以孟巖說過，一般的一元函數(shù)都是無窮維的向量。而且這個(gè)向量也滿足上面3中運(yùn)算規(guī)則。比如兩個(gè)函數(shù)疊加——向量的加法，一個(gè)數(shù)乘上一個(gè)函數(shù)——向量的數(shù)乘，兩個(gè)函數(shù)在相同的定義域內(nèi)積分——向量的內(nèi)積（孟巖所說“一個(gè)對(duì)象可以表達(dá)為無窮多個(gè)合理選擇的對(duì)象的線性和。”可以在這里和下面的卷積處找到印證）。
如果再給向量定義兩個(gè)運(yùn)算方法叫做移位和反折。移位，就是柱狀圖的柱子一起往左或者一起往右移動(dòng)n個(gè)單元格（注意，這里和一元函數(shù)那里其實(shí)隱含的添加了一個(gè)概念，就是柱子們之間現(xiàn)在有序了，不是單純向量里面的不注重順序的柱子），那么就可以引申出更豐富的內(nèi)涵。比如移位空出來的直接填0還是循環(huán)移位等等。當(dāng)然有多種方式就靠我們自己去定義，最后檢驗(yàn)一下如果能夠“自圓其說”就是好理論。
反折，就是以當(dāng)中某一個(gè)分量的位置為中心。或者以某兩個(gè)分量之間的位置維中心。一排柱子以這個(gè)中心轉(zhuǎn)180度。
有了移位和反折這種運(yùn)算。那么兩個(gè)函數(shù)就多了一種有用的運(yùn)算：卷積。信號(hào)系統(tǒng)和數(shù)字信號(hào)處理里面用得很多。這個(gè)按下不表。
如果柱狀圖的每一個(gè)柱子的高度都不是常數(shù)，都是變化的，并且都是隨著某一個(gè)變量變化的，那么可以說整個(gè)柱狀圖都是隨著這個(gè)變量變化的。那么這個(gè)柱狀圖就不是“常”柱狀圖，而是“變”柱狀圖。就是說這個(gè)n維的矢量不是“常矢量”，而是“變矢量”，簡稱“變矢”。說白了就是你給我一個(gè)變量，我還你n個(gè)函數(shù)值。這就打破了課本上之前所學(xué)的函數(shù)只能是一一映射（一射一）或多射一（多元函數(shù)有多個(gè)自變量，但每次給定多個(gè)變量時(shí)，只能得到一個(gè)函數(shù)值）。從而實(shí)現(xiàn)了一射多。你給定一個(gè)自變量，我第一個(gè)分量是一個(gè)值，第二個(gè)分量又是一個(gè)值，第三個(gè)……；說白了一個(gè)矢量函數(shù)是由n個(gè)一射一的函數(shù)組成的，它們自變量相同，得到的函數(shù)值不一定相同（呵呵，這也能叫一射多）。
演繹一下：如果柱狀圖的每根柱子都是隨著相同的多個(gè)自變量變化的。那么就是多射多了。
多元單值函數(shù)（多射一），自變量就可以看作是一個(gè)向量。這種函數(shù)就可以看作是在一個(gè)向量空間當(dāng)中取一個(gè)向量來，就映射出一個(gè)單純的數(shù)值（數(shù)量）。向量空間的內(nèi)積運(yùn)算就是一個(gè)例子。
多射多的函數(shù)，就可以看作是取一個(gè)m維向量來，就映射出一個(gè)n維向量的值。——這就是向量的“變換”。或者叫做不同的向量空間之間的“映射”。
更進(jìn)一步，如果這個(gè)“變換”是線性變換。
并且給定了定義域（原象空間，也就是取m維向量的地方）和值域（象空間，也就是得到的n維向量所在的集合）的基之后；再說一遍：如果給定了這種線性變換的定義域空間的基和值域空間的基之后，這個(gè)變換就可以用一個(gè)矩陣來表示。就是孟巖所說的Ma = b。寫成Mx = y。x是m維的。y是n維的。
再把一元函數(shù)當(dāng)中的導(dǎo)數(shù)的概念拉進(jìn)來。一個(gè)一元函數(shù)隨著自變量簡單有序的變化（說白了就是遞增或遞減）從而函數(shù)值產(chǎn)生了變化（即使不變也再把一元函數(shù)當(dāng)中的導(dǎo)數(shù)的概念拉進(jìn)來。一個(gè)一元函數(shù)隨著自變量簡單有序的變化（說白了就是遞增或遞減）從而函數(shù)值產(chǎn)生了變化（即使不變也是一種變化，就跟哲學(xué)當(dāng)中靜止也是一種特殊的運(yùn)動(dòng)一樣）。把前后兩個(gè)函數(shù)值相減再除以自變量的變化量。然后再強(qiáng)調(diào)自變量的變化很小（就是去求極限）。就得到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
同樣，一個(gè)變矢（一射多）隨著自己的一個(gè)自變量變化，也就能n個(gè)分量的變化。一求變化率的極限就是n個(gè)導(dǎo)函數(shù)。所以變矢的導(dǎo)數(shù)是矢量。
同樣，一個(gè)多射一的函數(shù)f(Z)，設(shè)Z是一個(gè)n維向量。隨著Z的一點(diǎn)小小的變化（即每個(gè)每個(gè)分量都有小小的變化，即使某些分量沒變化也是一種變化，就跟哲學(xué)當(dāng)中靜止也是一種特殊的運(yùn)動(dòng)一樣），函數(shù)值也有變化。每個(gè)分量的變化量可能不相同。有的大有的小。函數(shù)值變化量只有一個(gè)。所以，函數(shù)值變化量針對(duì)每個(gè)分量的變化率是不同的。那么函數(shù)值針對(duì)n個(gè)分量的變化率就有n個(gè)。所以多元函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)就是梯度。
好了，時(shí)間不早了，草草收尾。
歡迎指出謬誤。
最后盛贊孟巖兄！
[ccss01 發(fā)表于2007-12-03]
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很高興看到你承認(rèn)你的文章是"粗糙放肆".
最好的矩陣概述是那位“東陽”同學(xué)老師的回答
矩陣是什么？
1. 矩陣只是一堆數(shù)，如果不對(duì)這堆數(shù)建立一些運(yùn)算規(guī)則。
2. 矩陣是一列向量，如果每一列向量列舉了對(duì)同一個(gè)客觀事物的多個(gè)方面的觀察值。
3. 矩陣是一個(gè)圖像，它的每一的元素代表相對(duì)位置的像素值，
4. 矩陣是一個(gè)線形變換，它可以將一些向量變換為另一些向量。
所以要回答“矩陣是什么”，取決于你從什么角度去看它。
[當(dāng)然東陽同學(xué)在轉(zhuǎn)述中用詞不是很準(zhǔn)確...但是大意還是很清楚了.]
就好像"64"這個(gè)數(shù)是什么一樣,你可以看成十進(jìn)制的64，也可以看成ASCII的"A"，也可以看成IA32的匯編的某個(gè)指令，可以看成其他系統(tǒng)的匯編指令.至于是什么,"取決于你從什么角度去看它"...
從應(yīng)用角度上，矩陣就是工具。
至于是什么樣的工具，就要看你的應(yīng)用了。根據(jù)應(yīng)用，根據(jù)矩陣運(yùn)算規(guī)則，建立矩陣。
例如：計(jì)算機(jī)3D圖形學(xué)中，建立旋轉(zhuǎn)矩陣時(shí)，我們不但要考慮到是要繞哪個(gè)軸旋轉(zhuǎn)，還要考慮到是用行向量還是列向量。
要下班了，不多說了......拜個(gè)早年。。。。
[xuanyuanhaobo 發(fā)表于2008-02-05 ]
1. 以前從來不在網(wǎng)上發(fā)表言論的我,今天好興奮特別注冊(cè)想說幾句,最近一直在學(xué)習(xí)線性代數(shù),其實(shí)知道矩陣啊,行列式都有幾何意義的,天天想啊看啊,為什么呢,因?yàn)橐院笙胗?工科的線性代數(shù)確實(shí)不怎么好,一大堆定義就不說什么意思,其他數(shù)學(xué)書大概也都這樣,所以中國絕大部分書差啊!只會(huì)行列式矩陣運(yùn)算,你以后根本不能靈活運(yùn)用,個(gè)人覺得更多的去關(guān)注他的物理意義吧,看了上面作者發(fā)的文章,真的理解了很多,雖然還是有些糊涂,不過第三篇多看幾遍也許就會(huì)明白,最近一直想一個(gè)問題,比如看見一個(gè)矩陣你可以把它想成n唯空間的一個(gè)線性變換在一組基下的矩陣,這個(gè)線性變換在另外一組基下也有一個(gè)矩陣,這兩個(gè)矩陣相似.所以通過特征值就會(huì)找到另外一組基,線性變化在這個(gè)基下盡量簡化,最簡單的可能就是對(duì)角矩陣了把.所以一個(gè)矩陣就對(duì)一個(gè)線性變換,可是我在想啊,兩個(gè)基的過渡矩陣又怎么理解呢?過渡矩陣也是矩陣啊.難道把一組基變到另外一個(gè)基嗎?頭都暈了.慢慢理解吧!也許老師說的把矩陣?yán)斫鉃樽鴺?biāo)系后就可以理解過渡矩陣.以后好好看看畫畫..不過老師說的矩陣的行列式我最近找到一點(diǎn)東些可以理解,在解析幾何里面的混合積可以理解三唯行列式,矩陣不是有三行嗎?要是建立一個(gè)三個(gè)坐標(biāo)的空間坐標(biāo)系,然后把三唯矩陣每一行理解為坐標(biāo)系下面的三個(gè)點(diǎn),然后想像從原點(diǎn)到三個(gè)點(diǎn)有三個(gè)向量,有方向的箭頭,那么行列式就是這三個(gè)箭頭形成的一個(gè)體積的體積,因?yàn)橄蛄炕旌戏e就是體積,所以自然可以把n行的那種想成n唯空間的n個(gè)點(diǎn),也許行列式就是體積吧,有興趣的朋友我們討論哈矩陣,共同進(jìn)步哈,我的qq317316685,我想學(xué)好矩陣
2. 在這個(gè)《理解矩陣》的系列里，我試圖用一種新的“啟發(fā)式”的方法來討論數(shù)學(xué)，這種方法不是一開始就要說絕對(duì)正確的話，不是以不犯錯(cuò)誤為目的，而是以有益于讀者理解為目的，為了直覺性，我不惜一開始犯一些錯(cuò)誤，比如給出一些數(shù)學(xué)概念的不那么嚴(yán)格、但是容易理解的定義，然后在后面的過程中不斷地修正這個(gè)定義，最后到達(dá)“正確”。你會(huì)看到，我在《理解矩陣（二）》中已經(jīng)修正了矩陣的意義。還沒有完，在第三部分中我會(huì)再次修正其意義，以后可能還要再修正一次，才會(huì)達(dá)到讓任何人跳不出錯(cuò)的地步。我當(dāng)然可以一開始就給出一個(gè)絕對(duì)正確的定義，抄書就是了，最容易不過。但是直覺性就不存在了，讀者也就理解不了了。
同樣的，空間的定義也會(huì)在后面的系列中修正。事實(shí)上，把空間定義為容納運(yùn)動(dòng)的容器肯定是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?#xff0c;你說的度量空間不能容納運(yùn)動(dòng)，我還能找到一些不能容納運(yùn)動(dòng)的空間，比如概率論里有樣本空間，也不能容納運(yùn)動(dòng)。但是沒關(guān)系，現(xiàn)在先這樣說，對(duì)于習(xí)慣了三維空間的普通讀者來說容易理解，以后再進(jìn)一步抽象，人家也就跟得上了。如果一上來就拿非常抽象的概念說事，你有信心讀者能明白么
？讀者不明白，就不愿意看，不愿意想，你寫得再偉光正，又有什么用呢？
當(dāng)然，我應(yīng)該在整個(gè)系列開始的時(shí)候說明這一點(diǎn)，免得別人看了一半就以為明白了，把半成品當(dāng)成寶。這是我的疏忽，感謝你指出。
“啟發(fā)式”的方法來討論數(shù)學(xué) 精彩
3. 我覺得研究生期間有兩門數(shù)學(xué)課是必須要學(xué)的（必修的數(shù)值分析和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)之外）：一門是泛函分析，另外一門是矩陣論。
矩陣論的重要性工作時(shí)間長了就能慢慢體會(huì)到，但是大家一般對(duì)泛函分析不太了解，所以也就很難認(rèn)識(shí)到其重要性了。事實(shí)上，泛函分析雖然很抽象，很難直接應(yīng)用到工作當(dāng)中去，但是可以幫助我們對(duì)很多問題有一個(gè)更本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。舉兩個(gè)例子：說到采樣，大家的第一反應(yīng)肯定是一個(gè)詞“2倍”（采樣定理）。學(xué)得比較扎實(shí)的，可能還會(huì)把為什么是2倍解釋清楚。但我對(duì)采樣的理解是：采樣實(shí)際上是在進(jìn)行正交分解，采樣值不過是在一組正交基下分解的系數(shù)。如果原信號(hào)屬于該組正交基所張成的線性子空間，那么該信號(hào)就能無失真的恢復(fù)（滿足采樣定理）。學(xué)過信號(hào)處理的朋友，你知道這組正交基是什么嗎？:)第二個(gè)例子是關(guān)于為什么傅里葉變換在線性系統(tǒng)理論中如此重要？答案可能五花八門，但我認(rèn)為我的理解是比較深入的：原因是傅里葉基是所有線性時(shí)不變算子的特征向量（和本文聯(lián)系起來了）。這句話解釋起來比較費(fèi)工夫，但是傅里葉變換能和特征向量聯(lián)系起來，大家一定感覺很有趣吧。
4. （1）關(guān)于這里把向量說成“點(diǎn)”
我不明白你這里說的“向量和點(diǎn)的概念不同”是什么意思，概念當(dāng)然是不同的，但是在向量空間中存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而在我這篇文章的上下文中好像是可以混為一談的。而且，我在這里說的一個(gè)點(diǎn)，其實(shí)是抽象的點(diǎn)，或者說是一個(gè)對(duì)象，一個(gè)向量對(duì)象。我們說在概率論的樣本空間中的一個(gè)基本事件也是一個(gè)點(diǎn)，所以這里所說的“點(diǎn)”是一個(gè)抽象概念。
不過還是感謝你指出，這屬于我敘述中的不嚴(yán)格。有必要的話以后修改。
至于你說計(jì)算機(jī)圖形學(xué)使用射影變換，有道理，我對(duì)于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)不了解，只是看了一些相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，犯錯(cuò)誤是難免的。我看的那本教材是講CAD的，仿射變換就夠了。你說要用射影變換，當(dāng)然是對(duì)的，在產(chǎn)生有景深的、有透視效果的真實(shí)感圖形，就要用到射影變換。不過，如果再往上說的話，如果要產(chǎn)生哈哈鏡效果，還需要使用拓?fù)渥儞Q。所以...
（2）關(guān)于相似與相抵的問題
你肯定是對(duì)矩陣輪比較熟，所以一上來就使一個(gè)殺招。[1, 0; 0, 1]是一個(gè)單位矩陣，只跟自己相似。矩陣相似的問題還是有一點(diǎn)內(nèi)容的，我的觀點(diǎn)是不要在建立概念階段帶出那么多細(xì)節(jié)來干擾思路，等到概念建立起來之后（哪怕一開始建立的是不那嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母拍?#xff09;再修正。
我希望徹底回答你這個(gè)問題，但還是不太有把握，其實(shí)這已經(jīng)觸及到了我對(duì)這個(gè)課題的認(rèn)識(shí)邊緣了，所以如果你有更深入的研究，希望指教。
回答上面的問題：
（3） vector = point 1 - point 2 是有方向的， 而點(diǎn)是孤立。 點(diǎn)p和向量 v 對(duì)應(yīng)是建立在： v = p - origin, 但是不能說 v 就是 p。 這一點(diǎn)是嚴(yán)格的。 當(dāng)然你在文中 只是想闡述一些概念，可以不用這么嚴(yán)格。
（4） 對(duì)于線性空間基的變換，你的理解是錯(cuò)誤的。該變換不涉及相似。你可以參考線性代數(shù)書。
你對(duì)空間變換，矩陣變換的開始抽象理解很好，但是還是需要靜下心來理解里面的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。 對(duì)你開始研究圖形學(xué)會(huì)很有幫助。
5. 關(guān)于哲學(xué)，我覺得愛因斯坦總結(jié)的再透徹也沒有了：
Philosophy is like a mother who gave birth to and endowed all the other sciences. Therefore one should not scorn her in her nakedness and poverty, but should hope; rather, that part of her Don Quixote ideal will live on in her children so that they do not sink into philistinism.
與50位技術(shù)專家面對(duì)面20年技術(shù)見證，附贈(zèng)技術(shù)全景圖總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的理解矩阵 的一些评论的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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