如果對任一 $n\times n$ 階非奇異矩陣 $\mathbf{A}$ 與任意兩個 $n\times m$ 階矩陣 $\mathbf{B}$ 和 $\mathbf{C}$, 且矩陣 $\left(\mathbf{A}+{\mathbf{B}\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\right)$ 與 $\left(\mathbf{I}+{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{?1}\mathbf{B}\right)$ 是非奇異的, 則矩陣恒等式
$${\left(\mathbf{A}+\mathbf{B}{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\right)}^{?1}={\mathbf{A}}^{?1}?{\mathbf{A}}^{?1}\mathbf{B}{\left(\mathbf{I}+{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{?1}\mathbf{B}\right)}^{?1}{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{?1}$$成立。

證明：
定義下列 $n\times n$ 階矩陣:
$$\mathbf{D}=\mathbf{A}+\mathbf{B}{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}$$根據假定，$D$ 是非奇異的, 可用 $D^{?1}$ 左乘上式，得
$${\mathbf{D}}^{?1}\mathbf{D}=\mathbf{I}={\mathbf{D}}^{?1}\mathbf{A}+{\mathbf{D}}^{?1}{\mathbf{B}\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}$$用 $A^{?1}$ 右乘上式，得
$${\mathbf{A}}^{?1}={\mathbf{D}}^{?1}+{\mathbf{D}}^{?1}{\mathbf{B}\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{?1}$$或
$${\mathbf{D}}^{?1}\mathbf{B}{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{?1}={\mathbf{A}}^{?1}?{\mathbf{D}}^{?1}$$用 $\mathbf{B}$ 右乘上式兩邊，得
$${\mathbf{A}}^{?1}\mathbf{B}={\mathbf{D}}^{?1}\mathbf{B}+{\mathbf{D}}^{?1}\mathbf{B}{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{?1}\mathbf{B}={\mathbf{D}}^{?1}\mathbf{B}\left(\mathbf{I}+{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{?1}\mathbf{B}\right)$$因為已假定矩陣 $\left(\mathbf{I}+{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{?1}\mathbf{B}\right)$ 是非奇異的, 可用 ${\left(\mathbf{I}+{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{?1}\mathbf{B}\right)}^{?1}$ 右乘上式，得
$${\mathbf{D}}^{?1}\mathbf{B}={\mathbf{A}}^{?1}\mathbf{B}{\left(\mathbf{I}+{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{?1}\mathbf{B}\right)}^{?1}$$用 ${\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{?1}$ 右乘上式，得
$${\mathbf{D}}^{?1}\mathbf{B}{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{?1}={\mathbf{A}}^{?1}\mathbf{B}{\left(\mathbf{I}+{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{?1}\mathbf{B}\right)}^{?1}{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{?1}$$進一步$${\mathbf{A}}^{?1}?{\mathbf{D}}^{?1}={\mathbf{A}}^{?1}\mathbf{B}{\left(\mathbf{I}+{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{?1}\mathbf{B}\right)}^{?1}{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{?1}$$ 或 $${\mathbf{D}}^{?1}={\mathbf{A}}^{?1}?{\mathbf{A}}^{?1}\mathbf{B}{\left(\mathbf{I}+{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{?1}\mathbf{B}\right)}^{?1}{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{?1}$$但 $\mathbf{D}=\mathbf{A}+\mathbf{B}{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}$，因此有$${\left(\mathbf{A}+\mathbf{B}{C}^{\mathrm{T}}\right)}^{?1}={\mathbf{A}}^{?1}?{\mathbf{A}}^{?1}\mathbf{B}{\left(\mathbf{I}+{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{?1}\mathbf{B}\right)}^{?1}{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{?1}$$證畢。

總結

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