為什么矩陣的跡等于特征值之和

求$n$ 階矩陣 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}$ 的特征值
$$\det (\lambda I?A)=\left|\begin{array}{cccc}\lambda ?a_{11}& ?a_{12}& \dots & ?a_{1n}\\ ?a_{21}& \lambda ?a_{22}& \dots & ?a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ ?a_{n1}& ?a_{n2}& \dots & \lambda ?a_{nn}\end{array}\right|$$

由行列式的展開法則可得特征多項式
$$\begin{array}{rlr}\phi (\lambda )& =\det (\lambda I?A)& \\ & ={\lambda }^n?\left(a_{11}+a_{22}+?+a_m\right){\lambda }^{n?1}+& ?+(?1{)}^n\det \mathbf{A}\end{array}$$
同時，$\det (\lambda I?A)$ 有$\mathrm{n}$ 個根，它們就是 $\mathrm{n}$個特征值，也就是說
$$\det (\lambda I?A)=\left(\lambda ?{\lambda }_1\right)\left(\lambda ?{\lambda }_2\right)\dots \left(\lambda ?{\lambda }_n\right)$$

那么，
$${\lambda }_1{\lambda }_2?{\lambda }_n=\det \mathbf{A}$$
$$\mathrm{tr}\mathbf{A}=\sum _{i=1}^n{a}_{iu}$$
參考：
[1] https://www.zhihu.com/question/267405336
[2] 《矩陣論》 程云鵬 張凱院

總結

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