一. 什么時候使用

Barbalat引理常用于非線性系統中的非自治系統（不一定非要顯含 $t$，也可以是含噪聲的，只要包含動態就可以）。

二. 為什么使用

首先討論函數及其導數的漸進特性。

問題：以下結論成立嗎？
$$\begin{array}{l}\dot{f}(t)\to 0,t\to \infty ?f(t)\to \text{?const?},t\to \infty \\ f(t)\to \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},t\to \infty ?\dot{f}(t)\to 0,t\to \infty \end{array}$$
答案：不一定成立。
反例1：
$$\begin{array}{l}f(t)=\sin \ln t,t>0\\ \dot{f}(t)=\frac{\cos \ln t}{t}\to 0,t\to \infty \end{array}$$
反例2：
$$\begin{array}{l}f(t)={\mathrm{e}}^{?t}\sin {\mathrm{e}}^{2t}\\ \dot{f}(t)=?{\mathrm{e}}^{?t}\sin {\mathrm{e}}^{2t}+2{\mathrm{e}}^t\cos {\mathrm{e}}^{2t}\end{array}$$

因此，需要需要加限制條件。

三. Barbalat引理

引理 $2.5$ 如果連續可導函數 $f(t)$， 當 $t\to \infty$ 時，具有有限的極限值，且 $\dot{f}(t)$ 是一致連續的，則有
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\dot{f}(t)=0$$
成立。

什么是一致連續，可以簡單理解成在連續的基礎上，其函數的斜率不能大到無窮，比如說 $f(t)=\frac{1}{t},t>0$就不是一致連續。具體理解可以點擊這里。

也就是說，一致連續的一個充分條件是導數有界。

推論 $2.3$ 如果可導函數 $f(t)$，當 $t\to \infty$ 時，具有有限的極限值，且 $\ddot{f}(t)$ 有界，則當 $t\to \infty$ 時，$\dot{f}(t)\to 0$ 成立。

引理 $2.6$ 一個標量函數 $V(t,\mathbf{x}),$ 如果滿足
(1) $V(t,\mathbf{x})$ 下有界
(2) $\dot{V}(t,\mathbf{x})$ 半負定
(3) $\dot{V}(t,\mathbf{x})$ 關于時間 $t$ 一致連續 （或者 $\ddot{V}(t,\mathbf{x})$有界）
則當 $t\to \infty$ 時,有 $\dot{V}(t,\mathbf{x})\to 0$ 成立。

一個例子：

四. 其他形式的芭芭拉引理

參考文獻：https://arxiv.org/pdf/1411.1611.pdf

總結

以上是生活随笔為你收集整理的20210101 Barbalat引理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。