本文不講旋轉(zhuǎn)矩陣導(dǎo)數(shù)的證明，直接講其中一種推導(dǎo)過程。

對象：姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣

坐標(biāo)系定義：

本體坐標(biāo)系 ${\mathcal{F}}_B$，

參考坐標(biāo)系 ${\mathcal{F}}_R$

歐拉旋轉(zhuǎn)定理：

${\mathcal{F}}_B$ 相對于 ${\mathcal{F}}_R$ 的旋轉(zhuǎn)可以表示成繞某一個單位軸 $\mathbf{e}$ 旋轉(zhuǎn) $\phi$

相關(guān)定義：

旋轉(zhuǎn)矩陣 $R$：從 ${\mathcal{F}}_R$ 到 ${\mathcal{F}}_B$ 的姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣，其大小為$R=\cos \phi I_3+\left(1?\cos \phi \right)\mathbf{e}{\mathbf{e}}^{\mathrm{T}}?\sin \phi {\mathbf{e}}^{\times }$。

旋轉(zhuǎn)角速度 $\mathbf{\omega }$：${\mathcal{F}}_B$ 相對于 ${\mathcal{F}}_R$ 的旋轉(zhuǎn)角速度在 ${\mathcal{F}}_B$ 上的投影，其大小為 $\mathbf{\omega }=\omega \mathbf{e}$， 其中 $\omega$ 為 $\mathbf{\omega }$ 的轉(zhuǎn)速大小。

${\mathbf{e}}^{\times }=?\begin{array}{ccc}0& ?e_3& e_2\\ e_3& 0& ?e_1\\ ?e_2& e_1& 0\end{array}?$。

旋轉(zhuǎn)矩陣導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)過程：

在 $t$ 時刻，存在極小的時間段 $\Delta t$ 的旋轉(zhuǎn)可以滿足：
$$\mathbf{R}(t+\Delta t)=\mathbf{R}(\Delta t)\mathbf{R}(t)$$
其中，根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣的定義，可以得：
$$\mathbf{R}(\Delta t)=\cos \Delta \phi I_3+\left(1?\cos \Delta \phi \right)\mathbf{e}{\mathbf{e}}^{\mathrm{T}}?\sin \Delta \phi {\mathbf{e}}^{\times }$$
根據(jù)極限的思想，在極小的 $\Delta t$ 中產(chǎn)生的 $\Delta \phi$ 也是極小的，那么也就是說
$$\cos \Delta \phi =1\text{and}\sin \Delta \phi =\Delta \phi$$
將其帶入 $\mathbf{R}(\Delta t)$ 的表達(dá)式，可以得到
$$\mathbf{R}(\Delta t)=I_3?\Delta \phi {\mathbf{e}}^{\times }$$

$$\begin{array}{rl}\frac{d\mathbf{R}}{dt}& =\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\mathbf{R}(t+\Delta t)?\mathbf{R}(t)}{\Delta t}\\ & =\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\mathbf{R}(t)?\Delta \phi {\mathbf{e}}^{\times }\mathbf{R}(t)?\mathbf{R}(t)}{\Delta t}\\ & =\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{?\Delta \phi {\mathbf{e}}^{\times }\mathbf{R}(t)}{\Delta t}\\ & =\underset{\Delta t\to 0}{\lim }?\omega {\mathbf{e}}^{\times }\mathbf{R}(t)\\ & =?{\mathbf{\omega }}^{\times }\mathbf{R}\end{array}$$

結(jié)論：$\dot{\mathbf{R}}=?{\mathbf{\omega }}^{\times }\mathbf{R}$

參考文獻(xiàn)：章仁為. 衛(wèi)星軌道姿態(tài)動力學(xué)與控制. 5.3節(jié)姿態(tài)運(yùn)動學(xué)方程

總結(jié)

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