本文不講四元數的定義，直接講操作實例和代碼。

對象：剛體姿態

坐標系定義：

本體坐標系 $B$，

參考坐標系 $R$，

慣性坐標系 $I$

涉及四元數定義：
$\mathbf{q}=\left[\begin{array}{l}{q}_0\\ {\mathbf{q}}_v\end{array}\right]$表示$R\to B$的四元數（也就是 $B$ 相對于 $R$），
${\mathbf{q}}^{\prime }=\left[\begin{array}{l}{q}_0^{\prime }\\ {\mathbf{q}}_v^{\prime }\end{array}\right]$表示$I\to R$的四元數（也就是 $R$ 相對于 $I$），
${\mathbf{q}}^{\prime \prime }=\left[\begin{array}{l}{q}_0^{\prime \prime }\\ {\mathbf{q}}_v^{\prime \prime }\end{array}\right]$表示$I\to B$的四元數（也就是 $B$ 相對于 $I$）。

定義：
$\mathbf{q}$ 的逆表示為 $\bar{\mathbf{q}}=\left[\begin{array}{r}{q}_0\\ ?{\mathbf{q}}_v\end{array}\right]$

四元數乘法（從左向右）：

【$I\to B$的四元數】 = 【$I\to R$的四元數】 $?$ 【$R\to B$的四元數】
$${\mathbf{q}}^{\prime \prime }={\mathbf{q}}^{\prime }?\mathbf{q}=\left[\begin{array}{l}{q}_0^{\prime }?q_0?{\mathbf{q}}_v^{\prime }?{\mathbf{q}}_v\\ q_0^{\prime }?{\mathbf{q}}_v+q_0?{\mathbf{q}}_v^{\prime }+{\mathbf{q}}_v^{\prime }\times {\mathbf{q}}_v\end{array}\right]$$

【$R\to B$的四元數】 = 【$R\to I$的四元數】 $?$ 【$I\to B$的四元數】
$$\mathbf{q}={\bar{\mathbf{q}}}^{\prime }?{\mathbf{q}}^{\prime \prime }=\left[\begin{array}{l}{q}_0^{\prime }?q_0^{\prime \prime }+{\mathbf{q}}_v^{\prime }?{\mathbf{q}}_v^{\prime \prime }\\ q_0^{\prime }?{\mathbf{q}}_v^{\prime \prime }?q_0^{\prime \prime }?{\mathbf{q}}_v^{\prime }?{\mathbf{q}}_v^{\prime }\times {\mathbf{q}}_v^{\prime \prime }\end{array}\right]$$

相應四元數旋轉矩陣（從右向左）：

【$I\to B$的旋轉矩陣】 = 【$R\to B$的旋轉矩陣】 $\times$ 【$I\to R$的旋轉矩陣】
$$\mathbf{A}({\mathbf{q}}^{\prime \prime })=\mathbf{A}(\mathbf{q})\mathbf{A}({\mathbf{q}}^{\prime })$$

其中
$$\begin{array}{l}\mathbf{A}(\mathbf{q})=\left(q_0^2?{\mathbf{q}}_v^{\mathrm{T}}{\mathbf{q}}_v\right)\mathbf{I}+2{\mathbf{q}}_v{\mathbf{q}}_v^{\mathrm{T}}?2q_0\left[{\mathbf{q}}_v\times \right]\\ =?\begin{array}{lll}2\left(q_0^2+q_1^2\right)?1& 2\left(q_1{q}_2+q_0{q}_3\right)& 2\left(q_1{q}_3?q_0{q}_2\right)\\ 2\left(q_1{q}_2?q_0{q}_3\right)& 2\left(q_0^2+q_2^2\right)?1& 2\left(q_2{q}_3+q_0{q}_1\right)\\ 2\left(q_1{q}_3+q_0{q}_2\right)& 2\left(q_2{q}_3?q_0{q}_1\right)& 2\left(q_0^2+q_3^2\right)?1\end{array}?\end{array}$$
或者
$$\mathbf{A}(\mathbf{q})=\mathbf{I}?2q_0\left[{\mathbf{q}}_v\times \right]+2\left[{\mathbf{q}}_v\times \right]\left[{\mathbf{q}}_v\times \right]$$
和
$$\begin{array}{r}\left[{\mathbf{q}}_v\times \right]=?\begin{array}{ccc}0& ?q_3& q_2\\ q_3& 0& ?q_1\\ ?q_2& q_1& 0\end{array}?\end{array}$$

Matlab代碼

function L = TransMatrix(quat) quat_0=quat(1);quat_1=quat(2);quat_2=quat(3);quat_3=quat(4); L = [2*(quat_0^2+quat_1^2)-1 2*(quat_1*quat_2+quat_0*quat_3) 2*(quat_1*quat_3-quat_0*quat_2); ...2*(quat_1*quat_2-quat_0*quat_3) 2*(quat_0^2+quat_2^2)-1 2*(quat_2*quat_3+quat_0*quat_1); ...2*(quat_1*quat_3+quat_0*quat_2) 2*(quat_2*quat_3-quat_0*quat_1) 2*(quat_0^2+quat_3^2)-1]; end

四元數的一些性質：

${\mathbf{q}}_v{\mathbf{q}}_v^{\mathrm{T}}?{\mathbf{q}}_v^{\mathrm{T}}{\mathbf{q}}_v\mathbf{I}=\left[{\mathbf{q}}_v\times \right]\left[{\mathbf{q}}_v\times \right]$

旋轉矩陣$\mathbf{A}(\mathbf{q})$的特征值是：$2q_0^2?1?2q_0{\left(q_0^2?1\right)}^{\frac{1}{2}}$，$2q_0^2?1+2q_0{\left(q_0^2?1\right)}^{\frac{1}{2}}$，和$1$.

對于$\mathbf{q}=\left[\begin{array}{l}{q}_0\\ {\mathbf{q}}_v\end{array}\right]$，當$q_0=0$時，則有${\mathbf{q}}_v^T{\mathbf{q}}_v=1$，也可以推出$${\mathbf{q}}_v{\mathbf{q}}_v^T?{\mathbf{q}}_v^{\times }{\mathbf{q}}_v^{\times }=\mathbf{I}$$

$\left[\begin{array}{r}{q}_0\\ {\mathbf{q}}_v\end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{r}?q_0\\ ?{\mathbf{q}}_v\end{array}\right]$表示同樣的姿態，$\left[\begin{array}{r}?q_0\\ {\mathbf{q}}_v\end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{r}{q}_0\\ ?{\mathbf{q}}_v\end{array}\right]$表示同樣的姿態。

四元數的代數性質：${\mathbf{q}}_a^T({\mathbf{q}}_b?{\mathbf{q}}_c)={\mathbf{q}}_c^T({\mathbf{q}}_b^{?}?{\mathbf{q}}_a)={\mathbf{q}}_b^T({\mathbf{q}}_a?{\mathbf{q}}_c^{?})$

$\text{Vec}({\mathbf{b}}^{?}?\mathbf{a})=?\text{Vec}({\mathbf{a}}^{?}?\mathbf{b})$

$$\text{?for?any?}\mathbf{x}\in {\mathbf{R}}^3,\mathbf{A}\in {\mathbf{R}}^{3\times 3}\text{,?and?}\mathbf{R}\in \mathrm{S}\mathrm{O}\text{?(3)?}$$
$$\begin{array}{rl}& \mathrm{tr}\left(\mathbf{A}(\mathbf{x}{)}^{\wedge }\right)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left[(\mathbf{x}{)}^{\wedge }\left(\mathbf{A}?{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\right)\right]=?{\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}{\left(\mathbf{A}?{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\right)}^{\vee }\\ & (\mathbf{x}{)}^{\wedge }\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}(\mathbf{x}{)}^{\wedge }={\left[\left(\mathrm{tr}(\mathbf{A}){\mathbf{I}}_3?\mathbf{A}\right)\mathbf{x}\right]}^{\wedge }\\ & \mathbf{R}(\mathbf{x}{)}^{\wedge }{\mathbf{R}}^{\mathrm{T}}=(\mathbf{R}\mathbf{x}{)}^{\wedge }\end{array}$$

${}^{\wedge }$也就是上面的叉乘算子，${}^{\vee }$是其逆算子

與50位技術專家面對面20年技術見證，附贈技術全景圖

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2020-10-13 四元数用法（不讲原理，只讲计算规则）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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