博弈問題
若你想仔細(xì)學(xué)習(xí)博弈論，我強(qiáng)烈推薦加利福尼亞大學(xué)的Thomas S. Ferguson教授精心撰寫并免費(fèi)提供的這份教材，它使我受益太多。（如果你的英文水平不足以閱讀它，我只能說，恐怕你還沒到需要看“博弈論”的時候。）

Nim游戲是博弈論中最經(jīng)典的模型（之一？），它又有著十分簡單的規(guī)則和無比優(yōu)美的結(jié)論，由這個游戲開始了解博弈論恐怕是最合適不過了。

Nim游戲是組合游戲(Combinatorial Games)的一種，準(zhǔn)確來說，屬于“Impartial Combinatorial Games”（以下簡稱ICG）。滿足以下條件的游戲是ICG（可能不太嚴(yán)謹(jǐn)）：1、有兩名選手；2、兩名選手交替對游戲進(jìn)行移動(move)，每次一步，選手可以在（一般而言）有限的合法移動集合中任選一種進(jìn)行移動；3、對于游戲的任何一種可能的局面，合法的移動集合只取決于這個局面本身，不取決于輪到哪名選手操作、以前的任何操作、骰子的點(diǎn)數(shù)或者其它什么因素； 4、如果輪到某名選手移動，且這個局面的合法的移動集合為空（也就是說此時無法進(jìn)行移動），則這名選手負(fù)。根據(jù)這個定義，很多日常的游戲并非ICG。例如象棋就不滿足條件3，因?yàn)榧t方只能移動紅子，黑方只能移動黑子，合法的移動集合取決于輪到哪名選手操作。

通常的Nim游戲的定義是這樣的：有若干堆石子，每堆石子的數(shù)量都是有限的，合法的移動是“選擇一堆石子并拿走若干顆（不能不拿）”，如果輪到某個人時所有的石子堆都已經(jīng)被拿空了，則判負(fù)（因?yàn)樗丝虥]有任何合法的移動）。

這游戲看上去有點(diǎn)復(fù)雜，先從簡單情況開始研究吧。如果輪到你的時候，只剩下一堆石子，那么此時的必勝策略肯定是把這堆石子全部拿完一顆也不給對手剩，然后對手就輸了。如果剩下兩堆不相等的石子，必勝策略是通過取多的一堆的石子將兩堆石子變得相等，以后如果對手在某一堆里拿若干顆，你就可以在另一堆中拿同樣多的顆數(shù)，直至勝利。如果你面對的是兩堆相等的石子，那么此時你是沒有任何必勝策略的，反而對手可以遵循上面的策略保證必勝。如果是三堆石子……好像已經(jīng)很難分析了，看來我們必須要借助一些其它好用的（最好是程式化的）分析方法了，或者說，我們最好能夠設(shè)計(jì)出一種在有必勝策略時就能找到必勝策略的算法。

定義P-position和N-position，其中P代表Previous，N代表Next。直觀的說，上一次move的人有必勝策略的局面是P- position，也就是“后手可保證必勝”或者“先手必敗”，現(xiàn)在輪到move的人有必勝策略的局面是N-position，也就是“先手可保證必勝”。更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x是：1.無法進(jìn)行任何移動的局面（也就是terminal position）是P-position；2.可以移動到P-position的局面是N-position；3.所有移動都導(dǎo)致N-position 的局面是P-position。

按照這個定義，如果局面不可能重現(xiàn)，或者說positions的集合可以進(jìn)行拓?fù)渑判?#xff0c;那么每個position或者是P-position或者是N-position，而且可以通過定義計(jì)算出來。

以Nim游戲?yàn)槔齺磉M(jìn)行一下計(jì)算。比如說我剛才說當(dāng)只有兩堆石子且兩堆石子數(shù)量相等時后手有必勝策略，也就是這是一個P-position，下面我們依靠定義證明一下(3,3)是一個P-position。首先(3,3)的子局面（也就是通過合法移動可以導(dǎo)致的局面）有(0,3)(1,3)(2,3)（顯然交換石子堆的位置不影響其性質(zhì)，所以把(x,y)和(y,x)看成同一種局面），只需要計(jì)算出這三種局面的性質(zhì)就可以了。 (0,3)的子局面有(0,0)、(0,1)、(0,2)，其中(0,0)顯然是P-position，所以(0,3)是N-position（只要找到一個是P-position的子局面就能說明是N-position）。(1,3)的后繼中(1,1)是P-position（因?yàn)?1,1)的唯一子局面(0,1)是N-position），所以(1,3)也是N-position。同樣可以證明(2,3)是N-position。所以(3,3)的所有子局面都是N-position，它就是P-position。通過一點(diǎn)簡單的數(shù)學(xué)歸納，可以嚴(yán)格的證明“有兩堆石子時的局面是P-position當(dāng)且僅當(dāng)這兩堆石子的數(shù)目相等”。

根據(jù)上面這個過程，可以得到一個遞歸的算法——對于當(dāng)前的局面，遞歸計(jì)算它的所有子局面的性質(zhì)，如果存在某個子局面是P-position，那么向這個子局面的移動就是必勝策略。當(dāng)然，可能你已經(jīng)敏銳地看出有大量的重疊子問題，所以可以用DP或者記憶化搜索的方法以提高效率。但問題是，利用這個算法，對于某個Nim游戲的局面(a1,a2,...,an)來說，要想判斷它的性質(zhì)以及找出必勝策略，需要計(jì)算O(a1*a2*...*an)個局面的性質(zhì)，不管怎樣記憶化都無法降低這個時間復(fù)雜度。所以我們需要更高效的判斷Nim游戲的局面的性質(zhì)的方法。

直接說結(jié)論好了。(Bouton's Theorem)對于一個Nim游戲的局面(a1,a2,...,an)，它是P-position當(dāng)且僅當(dāng)a1^a2^...^an=0，其中^表示異或(xor)運(yùn)算。怎么樣，是不是很神奇？我看到它的時候也覺得很神奇，完全沒有道理的和異或運(yùn)算扯上了關(guān)系。但這個定理的證明卻也不復(fù)雜，基本上就是按照兩種position的證明來的。

根據(jù)定義，證明一種判斷position的性質(zhì)的方法的正確性，只需證明三個命題： 1、這個判斷將所有terminal position判為P-position；2、根據(jù)這個判斷被判為N-position的局面一定可以移動到某個P-position；3、根據(jù)這個判斷被判為P-position的局面無法移動到某個P-position。

第一個命題顯然，terminal position只有一個，就是全0，異或仍然是0。

第二個命題，對于某個局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^...^an!=0，一定存在某個合法的移動，將ai改變成ai'后滿足 a1^a2^...^ai'^...^an=0。不妨設(shè)a1^a2^...^an=k，則一定存在某個ai，它的二進(jìn)制表示在k的最高位上是1（否則k的最高位那個1是怎么得到的）。這時ai^k<ai一定成立。則我們可以將ai改變成ai'=ai^k，此時 a1^a2^...^ai'^...^an=a1^a2^...^an^k=0。

第三個命題，對于某個局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^...^an=0，一定不存在某個合法的移動，將ai改變成ai'后滿足 a1^a2^...^ai'^...^an=0。因?yàn)楫惢蜻\(yùn)算滿足消去率，由a1^a2^...^an=a1^a2^...^ai'^...^an可以得到ai=ai'。所以將ai改變成ai'不是一個合法的移動。證畢。

根據(jù)這個定理，我們可以在O(n)的時間內(nèi)判斷一個Nim的局面的性質(zhì)，且如果它是N-position，也可以在O(n)的時間內(nèi)找到所有的必勝策略。Nim問題就這樣基本上完美的解決了。

在下一節(jié)“Sprague-Grundy函數(shù)”中，我們將面對更多與Nim游戲有關(guān)的變種，還會看到Nim游戲的a1^a2^...^an這個值更廣泛的意義。敬請期待。


上一期的文章里我們仔細(xì)研究了Nim游戲，并且了解了找出必勝策略的方法。但如果把Nim的規(guī)則略加改變，你還能很快找出必勝策略嗎？比如說：有n堆石子，每次可以從第1堆石子里取1顆、2顆或3顆，可以從第2堆石子里取奇數(shù)顆，可以從第3堆及以后石子里取任意顆……這時看上去問題復(fù)雜了很多，但相信你如果掌握了本節(jié)的內(nèi)容，類似的千變?nèi)f化的問題都是不成問題的。

現(xiàn)在我們來研究一個看上去似乎更為一般的游戲：給定一個有向無環(huán)圖和一個起始頂點(diǎn)上的一枚棋子，兩名選手交替的將這枚棋子沿有向邊進(jìn)行移動，無法移動者判負(fù)。事實(shí)上，這個游戲可以認(rèn)為是所有Impartial Combinatorial Games的抽象模型。也就是說，任何一個ICG都可以通過把每個局面看成一個頂點(diǎn)，對每個局面和它的子局面連一條有向邊來抽象成這個“有向圖游戲”。下面我們就在有向無環(huán)圖的頂點(diǎn)上定義Sprague-Garundy函數(shù)。

首先定義mex(minimal excludant)運(yùn)算，這是施加于一個集合的運(yùn)算，表示最小的不屬于這個集合的非負(fù)整數(shù)。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

對于一個給定的有向無環(huán)圖，定義關(guān)于圖的每個頂點(diǎn)的Sprague-Garundy函數(shù)g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后繼 }。

來看一下SG函數(shù)的性質(zhì)。首先，所有的terminal position所對應(yīng)的頂點(diǎn)，也就是沒有出邊的頂點(diǎn)，其SG值為0，因?yàn)樗暮罄^集合是空集。然后對于一個g(x)=0的頂點(diǎn)x，它的所有后繼y都滿足 g(y)!=0。對于一個g(x)!=0的頂點(diǎn)，必定存在一個后繼y滿足g(y)=0。

以上這三句話表明，頂點(diǎn)x所代表的postion是P-position當(dāng)且僅當(dāng)g(x)=0（跟P-positioin/N-position的定義的那三句話是完全對應(yīng)的）。我們通過計(jì)算有向無環(huán)圖的每個頂點(diǎn)的SG值，就可以對每種局面找到必勝策略了。但SG函數(shù)的用途遠(yuǎn)沒有這樣簡單。如果將有向圖游戲變復(fù)雜一點(diǎn)，比如說，有向圖上并不是只有一枚棋子，而是有n枚棋子，每次可以任選一顆進(jìn)行移動，這時，怎樣找到必勝策略呢？

讓我們再來考慮一下頂點(diǎn)的SG值的意義。當(dāng)g(x)=k時，表明對于任意一個0<=i<k，都存在x的一個后繼y滿足g(y)=i。也就是說，當(dāng)某枚棋子的SG值是k時，我們可以把它變成0、變成1、……、變成k-1，但絕對不能保持k不變。不知道你能不能根據(jù)這個聯(lián)想到Nim游戲，Nim 游戲的規(guī)則就是：每次選擇一堆數(shù)量為k的石子，可以把它變成0、變成1、……、變成k-1，但絕對不能保持k不變。這表明，如果將n枚棋子所在的頂點(diǎn)的 SG值看作n堆相應(yīng)數(shù)量的石子，那么這個Nim游戲的每個必勝策略都對應(yīng)于原來這n枚棋子的必勝策略！

對于n個棋子，設(shè)它們對應(yīng)的頂點(diǎn)的SG值分別為(a1,a2,...,an)，再設(shè)局面(a1,a2,...,an)時的Nim游戲的一種必勝策略是把 ai變成k，那么原游戲的一種必勝策略就是把第i枚棋子移動到一個SG值為k的頂點(diǎn)。這聽上去有點(diǎn)過于神奇——怎么繞了一圈又回到Nim游戲上了。

其實(shí)我們還是只要證明這種多棋子的有向圖游戲的局面是P-position當(dāng)且僅當(dāng)所有棋子所在的位置的SG函數(shù)的異或?yàn)?。這個證明與上節(jié)的Bouton's Theorem幾乎是完全相同的，只需要適當(dāng)?shù)母膸讉€名詞就行了。

剛才，我為了使問題看上去更容易一些，認(rèn)為n枚棋子是在一個有向圖上移動。但如果不是在一個有向圖上，而是每個棋子在一個有向圖上，每次可以任選一個棋子（也就是任選一個有向圖）進(jìn)行移動，這樣也不會給結(jié)論帶來任何變化。

所以我們可以定義有向圖游戲的和(Sum of Graph Games)：設(shè)G1、G2、……、Gn是n個有向圖游戲，定義游戲G是G1、G2、……、Gn的和(Sum)，游戲G的移動規(guī)則是：任選一個子游戲Gi 并移動上面的棋子。Sprague-Grundy Theorem就是：g(G)=g(G1)^g(G2)^...^g(Gn)。也就是說，游戲的和的SG函數(shù)值是它的所有子游戲的SG函數(shù)值的異或。

再考慮在本文一開頭的一句話：任何一個ICG都可以抽象成一個有向圖游戲。所以“SG函數(shù)”和“游戲的和”的概念就不是局限于有向圖游戲。我們給每個 ICG的每個position定義SG值，也可以定義n個ICG的和。所以說當(dāng)我們面對由n個游戲組合成的一個游戲時，只需對于每個游戲找出求它的每個局面的SG值的方法，就可以把這些SG值全部看成Nim的石子堆，然后依照找Nim的必勝策略的方法來找這個游戲的必勝策略了！

回到本文開頭的問題。有n堆石子，每次可以從第1堆石子里取1顆、2顆或3顆，可以從第2堆石子里取奇數(shù)顆，可以從第3堆及以后石子里取任意顆……我們可以把它看作3個子游戲，第1個子游戲只有一堆石子，每次可以取1、2、3顆，很容易看出x顆石子的局面的SG值是x%4。第2個子游戲也是只有一堆石子，每次可以取奇數(shù)顆，經(jīng)過簡單的畫圖可以知道這個游戲有x顆石子時的SG值是x%2。第3個游戲有n-2堆石子，就是一個Nim游戲。對于原游戲的每個局面，把三個子游戲的SG值異或一下就得到了整個游戲的SG值，然后就可以根據(jù)這個SG值判斷是否有必勝策略以及做出決策了。其實(shí)看作3個子游戲還是保守了些，干脆看作n個子游戲，其中第1、2個子游戲如上所述，第3個及以后的子游戲都是“1堆石子，每次取幾顆都可以”，稱為“任取石子游戲”，這個超簡單的游戲有x顆石子的SG值顯然就是x。其實(shí)，n堆石子的Nim游戲本身不就是n個“任取石子游戲”的和嗎？

所以，對于我們來說，SG函數(shù)與“游戲的和”的概念不是讓我們?nèi)ソM合、制造稀奇古怪的游戲，而是把遇到的看上去有些復(fù)雜的游戲試圖分成若干個子游戲，對于每個比原游戲簡化很多的子游戲找出它的SG函數(shù)，然后全部異或起來就得到了原游戲的SG函數(shù)，就可以解決原游戲了。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的（转）博弈问题与SG函数的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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