17世紀(jì)后期，牛頓、萊布尼茨創(chuàng)立微積分學(xué)，成為解決眾多問題的重要而有力的工具，并在實(shí)際應(yīng)用中獲得了巨大成功，然而，微積分學(xué)產(chǎn)生伊始，迎來的并非全是掌聲，在當(dāng)時它還遭到了許多人的強(qiáng)烈攻擊和指責(zé)，原因在于當(dāng)時的微積分主要建立在無窮小分析之上，而無窮小后來證明是包含邏輯矛盾的.

1734年，大主教喬治·貝克萊，以“渺小的哲學(xué)家”之名出版了一本標(biāo)題很長的書<<分析學(xué)家或一篇致一位不信神數(shù)學(xué)家的論文，其中審查一下近代分析學(xué)的對象、原則及論斷是不是比宗教的神秘、信仰的要點(diǎn)有更清晰的表達(dá)，或更明顯的推理>>.

在這本書中，貝克萊對牛頓的理論進(jìn)行了攻擊，例如他指責(zé)牛頓，為計(jì)算比如說x的導(dǎo)數(shù)，先將取一個不為0的增量Δx，由(x + Δx)2 ? x2，得到2xΔx + (Δx)2 ，后再被Δx除，得到2x + Δx，最后突然令Δx = 0 ，求得導(dǎo)數(shù)為2x ，這是“依靠雙重錯誤得到了不科學(xué)卻正確的結(jié)果”，因?yàn)闊o窮小量在牛頓的理論中一會兒說是零，一會兒又說不是零，因此，貝克萊嘲笑無窮小量是“已死量的幽靈”，貝克萊的攻擊雖說出自維護(hù)神學(xué)的目的，但卻真正抓住了牛頓理論中的缺陷，是切中要害的.

數(shù)學(xué)史上把貝克萊的問題稱之為“貝克萊悖論”，籠統(tǒng)地說，貝克萊悖論可以表述為“無窮小量究竟是否為0”的問題：就無窮小量在當(dāng)時實(shí)際應(yīng)用而言，它必須既是0，又不是0，但從形式邏輯而言，這無疑是一個矛盾.

首先在有ε-δ語言這套說法之前，關(guān)于極限、微分這些概念是不嚴(yán)密的，因?yàn)檫@些東西是從物理的運(yùn)動學(xué)中來的，由牛頓等人在研究物理的運(yùn)動問題時提出，是同運(yùn)行相關(guān)的概念聯(lián)系在一起的，所以導(dǎo)致了對極限的認(rèn)識不清，當(dāng)時的英國主教喬治·貝克萊就批評牛頓的流數(shù)觀念，比如說在求微分的時候，牛頓首先給出x一個增量△x，然后又讓△x是零，這違背了“背反律”，就是說既然開始定義了△x是一個增量，那么△x就不能為0（不然增什么量呢？），然后在求微分時又讓△x成為了零，這不是相互矛盾了嗎？還有依靠“忽略高階無窮小消除誤差”的做法是“錯誤互相抵償”，仔細(xì)想想，還是挺有道理的，既然要用直線來逼近曲線，那么忽略掉了高階無窮小，焉知是否會帶來更多的誤差呢？其次，還有對函數(shù)什么條件下才是可微的沒有清晰嚴(yán)密的認(rèn)識，導(dǎo)致很多的混亂，比如一開始大家都以為只要函數(shù)是連續(xù)的則函數(shù)就是可微的，結(jié)果后來魏爾斯特拉斯構(gòu)造出了一個處處連續(xù)但處處不可微的函數(shù)才推翻了人們的直觀認(rèn)識，更早另外有人也構(gòu)造出了這樣的函數(shù)，但沒有什么影響，然后魏爾斯特拉斯才用這套ε-δ語言來對數(shù)學(xué)分析進(jìn)行嚴(yán)密化，從而使得數(shù)學(xué)分析才有了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，瀝清了前人的各種錯誤觀念，使得數(shù)學(xué)分析真正成為了整個現(xiàn)代物理的基礎(chǔ).

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總結(jié)

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