問(wèn)題描述:

?????? 給定一個(gè)十進(jìn)制整數(shù)N,求出從1到N的所有整數(shù)中出現(xiàn)”1”的個(gè)數(shù)。?

????? 例如：N=2，1,2出現(xiàn)了1個(gè)“1”。

???????? ?? N=12，1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。出現(xiàn)了5個(gè)“1”。

問(wèn)題求解：

解法一：

???????最直接的方法就是從1開始遍歷到N，將其中每一個(gè)數(shù)中含有“1”的個(gè)數(shù)加起來(lái)，就得到了問(wèn)題的解。

???? ?代碼如下：

public long CountOne3(long n)
? ? ? ? {
? ? ? ? ? ? long i = 0,j = 1;
? ? ? ? ? ? long count = 0;
? ? ? ? ? ? for (i = 0; i <= n; i++)
? ? ? ? ? ? {
? ? ? ? ? ? ? ? j = i;
? ? ? ? ? ? ? ? while (j != 0)
? ? ? ? ? ? ? ? {
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? if (j % 10 == 1)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? count++;
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? j = j / 10;
? ? ? ? ? ? ? ? }
? ? ? ? ? ? }
? ? ? ? ? ? return count;
? ? ? ? }

此方法簡(jiǎn)單，容易理解，但它的問(wèn)題是效率，時(shí)間復(fù)雜度為O（N * lgN），N比較大的時(shí)候，需要耗費(fèi)很長(zhǎng)的時(shí)間。

解法二：

?????????我們重新分析下這個(gè)問(wèn)題，對(duì)于任意一個(gè)個(gè)位數(shù)n，只要n>=1,它就包含一個(gè)“1”；n<1，即n=0時(shí)，則包含的“1”的個(gè)數(shù)為0。于是我們考慮用分治的思想將任意一個(gè)n位數(shù)不斷縮小規(guī)模分解成許多個(gè)個(gè)位數(shù)，這樣求解就很方便。

??????? 但是，我們?cè)撊绾谓档鸵?guī)模？仔細(xì)分析，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)n位數(shù)中“1”的個(gè)位可以分解為兩個(gè)n-1位數(shù)中“1”的個(gè)數(shù)的和加上一個(gè)與最高位數(shù)相關(guān)的常數(shù)C。例如，f(12) = f(10 - 1) + f(12 - 10) + 3,其中3是表示最高位為1的數(shù)字個(gè)數(shù)，這里就是10,11,12；f(132)=f(100 -1) + f(132 - 100) + 33，33代表最高位為1的數(shù)字的個(gè)數(shù)，這里就是100~132；f(232) = 2*f(100 - 1) + f(32) + 100，因?yàn)?32大于199，所以它包括了所有最高位為1的數(shù)字即100~199，共100個(gè)。

??????? 綜上，我們分析得出，最后加的常數(shù)C只跟最高位n1是否為1有關(guān)，當(dāng)最高位為1時(shí)，常數(shù)C為原數(shù)字N去掉最高位后剩下的數(shù)字+1，當(dāng)最高位為1時(shí)，常數(shù)C為10bit，其中bit為N的位數(shù)-1，如N=12時(shí)，bit=1，N=232時(shí)，bit=2。

?????? 于是，我們可以列出遞歸方程如下：

?????? if(n1 == 1)

?????????? f(n) = f(10bit-1) + f(n - 10bit)? + n - 10bit+ 1;

?????? else

?????????? f(n) = n1*f(10bit-1) + f(n – n1*10bit) + 10bit;

?????? 遞歸的出口條件為：

?????? if(1<n<10)? return 1;

????? ?else if (n == 0) return 0;

?????? 基于此，編寫如下代碼：

???

public long CountOne(long n)
? ? ? ? {?
? ? ? ? ? ? long count = 0;
? ? ? ? ? ? if (n == 0)
? ? ? ? ? ? ? ? count = 0;
? ? ? ? ? ? else if (n > 1 && n < 10)
? ? ? ? ? ? ? ? count = ?1;
? ? ? ? ? ? else
? ? ? ? ? ? {
? ? ? ? ? ? ? ? long highest = n;//表示最高位的數(shù)字
? ? ? ? ? ? ? ? ?int bit = 0;
? ? ? ? ? ? ? ? while (highest >= 10)
? ? ? ? ? ? ? ? {
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? highest = highest / 10;
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? bit++;
? ? ? ? ? ? ? ? }

? ? ? ? ? ? ? ? int weight = (int)Math.Pow(10, bit);//代表最高位的權(quán)重，即最高位一個(gè)1代表的大小
? ? ? ? ? ? ? ? ?if (highest == 1)
? ? ? ? ? ? ? ? {
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? count = CountOne(weight - 1)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + CountOne(n - weight)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + n - weight + 1;
? ? ? ? ? ? ? ? }
? ? ? ? ? ? ? ? else
? ? ? ? ? ? ? ? {
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? count = highest * CountOne(weight - 1)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + CountOne(n - highest * weight)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + weight;
? ? ? ? ? ? ? ? }
? ? ? ? ? ? }
? ? ? ? ? ? return count;
? ? ? ? }

此算法的優(yōu)點(diǎn)是不用遍歷1~N就可以得到f(N)。經(jīng)過(guò)我測(cè)試，此算法的運(yùn)算速度比解法一快了許多許多，數(shù)字在1010內(nèi)時(shí)，算法都可以在毫秒級(jí)內(nèi)結(jié)束，而解法一在計(jì)算109時(shí)，時(shí)間超過(guò)了5分鐘。但此算法有一個(gè)顯著的缺點(diǎn)就是當(dāng)數(shù)字超過(guò)1010時(shí)會(huì)導(dǎo)致堆棧溢出，無(wú)法計(jì)算。

??????? 還有就是，我嘗試了許久也沒有計(jì)算出此算法的時(shí)間復(fù)雜度到底是多少，似乎是O（lg2N），我并不確定，希望知道的高手能給予解答。

?

解法三：

??????? ?解法二告訴我們1~ N中“1”的個(gè)數(shù)跟最高位有關(guān)，那我們換個(gè)角度思考，給定一個(gè)N，我們分析1~N中的數(shù)在每一位上出現(xiàn)1的次數(shù)的和，看看每一位上“1”出現(xiàn)的個(gè)數(shù)的和由什么決定。

???????1位數(shù)的情況：

?????? 在解法二中已經(jīng)分析過(guò)，大于等于1的時(shí)候，有1個(gè)，小于1就沒有。

???????2位數(shù)的情況：

?????? N=13,個(gè)位數(shù)出現(xiàn)的1的次數(shù)為2，分別為1和11，十位數(shù)出現(xiàn)1的次數(shù)為4，分別為10,11,12,13，所以f(N) = 2+4。

?????? N=23,個(gè)位數(shù)出現(xiàn)的1的次數(shù)為3，分別為1，11，21，十位數(shù)出現(xiàn)1的次數(shù)為10，分別為10~19，f(N)=3+10。

?????? 由此我們發(fā)現(xiàn)，個(gè)位數(shù)出現(xiàn)1的次數(shù)不僅和個(gè)位數(shù)有關(guān)，和十位數(shù)也有關(guān)，如果個(gè)位數(shù)大于等于1，則個(gè)位數(shù)出現(xiàn)1的次數(shù)為十位數(shù)的數(shù)字加1；如果個(gè)位數(shù)為0，個(gè)位數(shù)出現(xiàn)1的次數(shù)等于十位數(shù)數(shù)字。而十位數(shù)上出現(xiàn)1的次數(shù)也不僅和十位數(shù)相關(guān)，也和個(gè)位數(shù)相關(guān)：如果十位數(shù)字等于1，則十位數(shù)上出現(xiàn)1的次數(shù)為個(gè)位數(shù)的數(shù)字加1，假如十位數(shù)大于1，則十位數(shù)上出現(xiàn)1的次數(shù)為10。

???????3位數(shù)的情況:

?????? N=123

?????? 個(gè)位出現(xiàn)1的個(gè)數(shù)為13:1,11,21，…，91,101,111,121

?????? 十位出現(xiàn)1的個(gè)數(shù)為20:10~19,110~119

?????? 百位出現(xiàn)1的個(gè)數(shù)為24:100~123

???????我們可以繼續(xù)分析4位數(shù)，5位數(shù)，推導(dǎo)出下面一般情況：?

?????? 假設(shè)N，我們要計(jì)算百位上出現(xiàn)1的次數(shù)，將由三部分決定：百位上的數(shù)字，百位以上的數(shù)字，百位一下的數(shù)字。

?????? 如果百位上的數(shù)字為0，則百位上出現(xiàn)1的次數(shù)僅由更高位決定，比如12013，百位出現(xiàn)1的情況為100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，共1200個(gè)。等于更高位數(shù)字乘以當(dāng)前位數(shù)，即12 * 100。

?????? 如果百位上的數(shù)字大于1，則百位上出現(xiàn)1的次數(shù)僅由更高位決定，比如12213，百位出現(xiàn)1的情況為100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，12100~12199共1300個(gè)。等于更高位數(shù)字加1乘以當(dāng)前位數(shù)，即（12 + 1）*100。

????????如果百位上的數(shù)字為1，則百位上出現(xiàn)1的次數(shù)不僅受更高位影響，還受低位影響。例如12113，受高位影響出現(xiàn)1的情況：100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，共1200個(gè)，但它還受低位影響，出現(xiàn)1的情況是12100~12113，共114個(gè)，等于低位數(shù)字113+1。

?????? 綜合以上分析，寫出如下代碼：

public long CountOne2(long n)
? ? ? ? {
? ? ? ? ? ? long count = 0;
? ? ? ? ? ? long i = 1;
? ? ? ? ? ? long current = 0,after = 0,before = 0;
? ? ? ? ? ? while((n / i) != 0)
? ? ? ? ? ? { ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ? ? ? current = (n / i) % 10;
? ? ? ? ? ? ? ? before = n / (i * 10);
? ? ? ? ? ? ? ? after = n - (n / i) * i;

? ? ? ? ? ? ? ? if (current > 1)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? count = count + (before + 1) * i;
? ? ? ? ? ? ? ? else if (current == 0)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? count = count + before * i;
? ? ? ? ? ? ? ? else if(current == 1)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? count = count + before * i + after + 1;

? ? ? ? ? ? ? ? i = i * 10;
? ? ? ? ? ? }
? ? ? ? ? ? return count;
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? }

?此算法的時(shí)間復(fù)雜度僅為O(lgN)，且沒有遞歸保存現(xiàn)場(chǎng)的消耗和堆棧溢出的問(wèn)題。

???? 不知道各位看官是否還有更高效的算法拿出來(lái)分享呢？

?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的编程之美系列之三——计算1的个数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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