傳統的計算快速傅里葉變換的Cooley-Tukey算法效率極高，因其主要由蝶形運算構成，所以代碼形式也非常簡單，只是需要將輸入或者輸出按照位反轉的方式重新排序。

這個重新排序的步驟并不是必須的。Clive Temperton于1991年在Self-Sorting In-Place Fast Fourier Transforms一文中給出了適用于混合基數的原地FFT算法，不需要對輸入或輸出重新排序。本文將介紹這種算法的原理并給出基數2（Radix-2）情況下的具體構造和C++實現。作為FFT算法研究成果的集大成者，FFTW已應用了這種算法。

FFT7071專欄?fourier.v.ariant.cn

預備：內存中的矩陣轉置

設x[t]為一個長度為M*N的向量，t也可表示為Ma+b。以M=5,N=3為例，x[0…14]={101, 102, 103,…, 115}，如果將x視作一個5行3列的矩陣，那么a列b行的矩陣元素即是x[Ma+b]：

a= 0, 1, 2 b=0 101 106 111 b=1 102 107 112 b=2 103 108 113 b=3 104 109 114 b=4 105 110 115

將這個矩陣轉置，不難發現轉置后的y[0…14]={101, 106, 111, 102,…, 110, 115}

a= 0, 1, 2, 3, 4 b=0 101 102 103 104 105 b=1 106 107 108 109 110 b=2 111 112 113 114 115

y與x的關系是y[Nb+a]=x[Ma+b]。這個轉置變換也可以用一個置換矩陣P表示：y=Px。

展開：DFT變換式

記長度為

的信號為 ， 為 的離散傅里葉變換，并且設：

展開DFT變換得到以下表達式：

其中

， 。

利用

用y代換x并繼續展開單位根的冪，其中 ：

上式的求和等價于：

其中大括號內的求和相當于將y中的元素從地址0開始每相鄰的N個為一組總共M個長度為N的DFT。如果將y看作M行N列的矩陣，這是對每一列的變換，變換的結果依次乘以

，這時剩下的一個求和相當于對y的每一行單獨的DFT。

至此，長度為MN的變換分解為了長度為M和N的兩遍短變換。如果上式中不將第一遍DFT的結果乘以

，結果將是M*N的2維DFT。需要注意的是，變換y可以使上式的兩遍DFT均在原地進行，如果變換的是x，為保持變換結果的順序正確，必須以轉置的形式寫回第一遍短變換的結果。

題外話：將中間結果寫到另一處存儲區x'，并且以x'為輸入做第二遍變換，結果寫回x，如此往復可以解決變換無法在原地進行的問題，這即是Stockham FFT算法。但是如此一來FFT需要額外的等于x長度的內存，即需要額外O(N)的空間。因為置換群中的元素均可分解為2置換，也就是對換的乘積，置換矩陣也可做如此分解，將轉置操作變換成一系列對換，從而可在原地進行，僅需要O(1)額外空間。然而轉置只能分解為數量巨大的對換，這種操作的效率不高。這也預示著，充分利用內存中數據的對換，可以保持O(1)的額外空間需求，同時使FFT在原地進行且順序正確。

展開：DFT變換矩陣和素因子算法

運用上文得出的分解到DFT的矩陣形式：

實際變換的是y（也就是轉置的x），第一遍DFT作于相鄰的N個元素（每列），將結果逐個乘以一個旋轉因子，再變換間隔為N的每組元素（每行），這個過程對應DFT矩陣的一種分解，也就是素因子分解FFT算法的基本構造：

其中W為下標相應長度的DFT矩陣；P為x[Ma+b]轉置到y[Nb+a]的置換矩陣；I為M或N階的單位矩陣；D為M*N階對角矩陣，第bN+d行對角線上的值為exp(2πibd/(MN))。?是矩陣的Kronecker積，定義如下：

例如：

Kronecker積滿足結合律：

滿足“混合乘積”性質：

以

為例：

繼續分解

：

運用“混合乘積”的性質將上式拆分為矩陣積：

對于長度為

的DFT矩陣分解，設：

可以得到：

這種分解正是時間抽取（DIT）基數2（Radix-2）的Cooley-Tukey算法，下文中只考慮此種FFT，頻率抽取（DIF）在附錄中討論。

已知T對應Cooley-Tukey算法每次迭代在整個輸入向量上的所有蝶形運算，上式中的

為2行8列到8行2列的矩陣轉置，作用是將x[2b+a]的值變換到x[8a+b]，其中 ， 。觀察8a+b和2b+a的二進制表示：2^3 2^2 2^1 2^0 [b] [b] [b] [a] = 2b+a [a] [b] [b] [b] = 8a+b

可知

的作用是將 的地址t二進制位向右環移1位。 的作用是保持t的最高1位不變，t的余下三位向右環移1位，因此經過所有的 變換：2^3 2^2 2^1 2^0 [k3] [k2] [k1] [k0] [k0] [k3] [k2] [k1] - P16 [k0] [k1] [k3] [k2] - P8 [k0] [k1] [k2] [k3] - P4

很明顯T之前所有

矩陣的乘積是輸入數據翻轉對應地址二進制位的置換矩陣。

對換：蝶形運算和對換

設DFT的長度為N，則x[t]中的t在二進制下有N位，定義

為對換 和 的置換矩陣， 由 對換二進制位中低位i和高位N-i-1得到。可以用一系列Q的乘積取代P的乘積：

的效果同樣完全反轉二進制位：2^3 2^2 2^1 2^0 [k3] [k2] [k1] [k0] [k0] [k2] [k1] [k3] - Q03 [k0] [k1] [k2] [k3] - Q12

在N=2M或2M+1的情況下：

轉置P無法簡單地在原地計算，而Q僅包含數量較少的對換，因此可以在原地完成。目前為止以T和Q組成的DFT矩陣W分解仍然表示先重排數據再開始蝶形運算的迭代，如果將T和Q結合起來，就能省略重排數據的操作，但是這要求T和Q可交換。為了證明這一點，首先需要求出Q的表達式。

觀察

翻轉二進制最高位和最低位的操作：0000 0000 0001 -> 1000 0010 0010 0011 -> 1010 0100 0100 0101 -> 1100 0110 0110 0111 -> 1110 1000 -> 0001 1001 1001 1010 -> 0011 1011 1011 1100 -> 0101 1101 1101 1110 -> 0111 1111 1111

可以發現

的作用是將前一半數中的奇數 和 對換。因此：

這里

是 階置換矩陣，對換 和 ， 由 交換二進制的最高位和最低位得到。

在為二進制數添加前綴的操作下

的作用是不變的：00000 00000 10000 10000 00001 -> 01000 10001 -> 11000 00010 00010 10010 10010 00011 -> 01010 10011 -> 11010 00100 00100 10100 10100 00101 -> 01100 10101 -> 11100 00110 00110 10110 10110 00111 -> 01110 10111 -> 11110 01000 -> 00001 11000 -> 10001 01001 01001 11001 11001 01010 -> 00011 11010 -> 10011 01011 01011 11011 11011 01100 -> 00101 11100 -> 10101 01101 01101 11101 11101 01110 -> 00111 11110 -> 10111 01111 01111 11111 11111

因此對于N位二進制數：

為二進制數添加后綴的操作使

作用于全部后綴，可得出：

設

，現在可以將 展開：

因此對于所有的

， 和 可交換。這使 可以寫為：

已知一次蝶形運算的迭代

的作用是：將兩個長度為 的DFT結果作為奇偶兩部分，合并為長度為 的DFT結果，這樣的奇偶對共有 個。

令

中單個蝶形運算的偶、奇兩個輸入分別是 和 ， 會將 與 對換。取 ，則 將與 對換。在 的情況下， 與 分別是另一蝶形運算的偶、奇輸入。

可見

中，輸入數據地址相差 的兩個蝶形運算是成對的，第一個蝶形運算的奇數項輸入與第二個蝶形運算的偶數項輸入對換。如下圖所示：

下圖中畫出來N=16的基數2變換，輸入和輸出的順序均是正確的；圖中用顏色標出了某些蝶形運算，使蝶形運算的配對更清晰。注意其中成對蝶形運算的4個輸入輸出均在原地，并且與傳統Cooley-Tukey算法相比沒有計算量的差別。

下圖是作為對比的傳統Cooley-Tukey算法。

附錄：本文算法的C++實現

/* copyright 2020, github.com/zhxxch, all rights reserved. */ #include <complex> #include <iterator> #include <cmath> #include <cassert> #include <cstddef> template<typename iter_t> #if __cplusplus > 201703L requires std::random_access_iterator<iter_t> #endifinline void fft_in_place(iter_t arr_begin,iter_t arr_end, const bool is_inverse) {using cplx_t = typename std::iterator_traits<iter_t>::value_type;using real_t = typename cplx_t::value_type;const size_t length= std::distance(arr_begin, arr_end);assert("requires length = pow(2,n)"&& (length & (length - 1)) == 0);constexpr real_t pi= 3.141592653589793238462643383;size_t sub_ft_size = 1;size_t num_sub_ft = length / sub_ft_size;size_t num_sub_ft_pair = num_sub_ft / 2;for(; sub_ft_size < num_sub_ft_pair;sub_ft_size *= 2, num_sub_ft /= 2,num_sub_ft_pair /= 2) {for(size_t coupled_group_pos = 0;coupled_group_pos < length;coupled_group_pos += 2 * num_sub_ft_pair) {for(size_t sub_ft_pos = coupled_group_pos;sub_ft_pos< coupled_group_pos + num_sub_ft_pair;sub_ft_pos += 2 * sub_ft_size) {for(size_t i = sub_ft_pos, nth_pow = 0;i < sub_ft_pos + sub_ft_size;i++, nth_pow += num_sub_ft_pair) {const cplx_t W = exp((is_inverse ? 1. : -1.)* cplx_t(0, 2 * nth_pow * pi)/ (real_t)length);const cplx_t parit00= arr_begin[i];const cplx_t parit01= arr_begin[num_sub_ft_pair+ i]* W;const cplx_t parit10= arr_begin[i + sub_ft_size];const cplx_t parit11= arr_begin[num_sub_ft_pair + i+ sub_ft_size]* W;arr_begin[i] = parit00 + parit01;arr_begin[i + sub_ft_size]= parit00 - parit01;arr_begin[num_sub_ft_pair + i]= parit10 + parit11;arr_begin[num_sub_ft_pair + i+ sub_ft_size]= parit10 - parit11;}}}}for(; sub_ft_size < length; sub_ft_size *= 2,num_sub_ft /= 2, num_sub_ft_pair /= 2) {for(size_t sub_ft_pos = 0; sub_ft_pos < length;sub_ft_pos += 2 * sub_ft_size) {for(size_t i = sub_ft_pos, nth_pow = 0;i < sub_ft_pos + sub_ft_size;i++, nth_pow += num_sub_ft_pair) {const cplx_t parit1= arr_begin[i + sub_ft_size]* exp((is_inverse ? 1. : -1.)* cplx_t(0, 2 * nth_pow * pi)/ (real_t)length);const cplx_t parit0 = arr_begin[i];arr_begin[i] = parit0 + parit1;arr_begin[i + sub_ft_size]= parit0 - parit1;}}} }

使用方法-FFT

fft_in_place(arr.begin(), arr.end(), 0);

使用方法-IFFT

fft_in_place(arr.begin(), arr.end(), 1);

arr的長度必須是2的冪。

附錄：時間抽取與頻率抽取

以

為例，頻率抽取的FFT算法中：

換為使用Q表達的形式則為：

因此Q作用于蝶形運算的輸出。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的基4fft算法的蝶形图_原地且自动整序的FFT算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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