羅素悖論和正則公理
假如我們?cè)赯F集合論里加入這么一條公理：
概括公理:設(shè)對(duì)于每一個(gè)對(duì)象$x$,我們都有一個(gè)依賴于$x$的性質(zhì)$P(x)$,則存在一個(gè)集合$\{x|P(x)\mbox{成立}\}$.使得$$y\in\{x|P(x)\mbox{成立}\}\Leftrightarrow P(y)\mbox{成立}$$.
這看上去是一條很好的公理,在高中教科書中事實(shí)上也是這么表述一個(gè)集合的.如果這條公理加入不會(huì)導(dǎo)致矛盾,那么集合論的公理體系會(huì)大大簡(jiǎn)化,具體會(huì)怎麼簡(jiǎn)化見下面.
1.該公理等價(jià)于命題
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存在一個(gè)由一切對(duì)象組成的集合.
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證明：$\Rightarrow $根據(jù)概括公理,存在集合$\{x|x$是對(duì)象$\}$.
$\Leftarrow$已知$\{x|x$是對(duì)象$\}$存在，結(jié)合分離公理,可知集合$\{x|x$是對(duì)象且$x$滿足性質(zhì)$P(x)\}$存在.
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2.利用概括公理可以證明ZF集合論裏的空集存在公理:我們讓$P(x)$是一個(gè)假命題,即可得到一個(gè)空集.
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而且,易得,利用概括公理能推出ZF公理裏的分離公理和代替公理(怎麼推?)可見，如果引入概括公理真的沒有矛盾的話，那簡(jiǎn)直太好了.可惜天底下沒有這麼好的事情,概括公理能引出一個(gè)很大的矛盾,叫羅素悖論:
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羅素悖論說,根據(jù)概括公理，存在這麼這麼一個(gè)集合$A$，$A$以所有不屬於自己的集合爲(wèi)元素.比如,$\{1,2,\{1,2\}\}$不屬於自己,因此$\{1,2,\{1,2\}\}$屬於集合$A$.然後,羅素問道:集合A屬於自己?jiǎn)?
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我們知道,根據(jù)ZF集合論裏的公理1 ,可知只有兩種情況,要麼A屬於自己,要麼A不屬於自己.易得兩種情形都導(dǎo)致矛盾(爲(wèi)什麼?)可見,引入概括公理是不合適的.因此概括公理可以被廢除.
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然 而僅僅是廢除概括公理還是不夠的.因爲(wèi)廢除了概括公理,羅素悖論依然可以存在,只是“存在的根據(jù)消失了”(之所以說「存在的根據(jù)消失了」是因爲(wèi)一旦廢除概 括公理,所有不屬於自己的集合便不一定能形成一個(gè)集合).爲(wèi)此,我們要用一個(gè)公理徹底否定羅素悖論.這個(gè)公理就是正則公理:
若A是非空集合，則A中必含有元素，該元素或者不是集合，若是集合，則與A不相交.
我們來看看,如果缺失了正則公理,會(huì)發(fā)生什麼情況:我們就能構(gòu)造一個(gè)非空集合 $A$ ,$A$ 的所有元素都是集合,且屬於A的集合都與$A$相交.則必有
$$\cdots A_5\in A_4\in A_3\in A_2\in A_1\in A$$
其中$A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,\cdots$都是$A$的元素,且它們都是集合.這樣,我們就發(fā)現(xiàn)集合$A$是一個(gè)“沒有底”的砂鍋,這簡(jiǎn)直是怪物,而不是我們所喜歡的集合.由此可見正則公理的重要性.
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有了正則公理後,羅素悖論就徹底不合法了,因爲(wèi)根據(jù)正則公理容易推出每個(gè)集合都不屬於自身(怎麼推?)，因此羅素悖論裏問$A$是不是屬於自身就沒什麼意思了.正則公理也能否定下面這樣的情況的合法性：
集合$A$,$B$,$A\in B$,$B\in A$.
這種情況,從直覺上看,也是一種“沒有底的砂鍋”，下面我們來看看正則公理是怎麼排除這種情況的.構(gòu)造一個(gè)集合$\{A,B\}$(根據(jù)的是axiom of pair),我們知道,$A$和$\{A,B\}$相交,$B$和$\{A,B\}$也相交.這與正則公理矛盾.
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正則公理的一個(gè)應(yīng)用(感謝哆嗒網(wǎng)網(wǎng)主雷霆):
所有單元素集(singleton set)形成的類不是一個(gè)集合.
這是因?yàn)?#xff0c;假如所有單元素集形成一個(gè)集合$A$.那么根據(jù)“集合能作為一個(gè)元素”這條公理，$\{A\}$也是一個(gè)單元素集.則$\{A\}\in A$.這與正則公理矛盾.
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總結(jié)
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