行文思路：最小二乘法原理介紹

利用 leastsq() 函數(shù)進(jìn)行最小二乘法擬合

擬合注意事項(xiàng)

利用curve_fit 進(jìn)行最小二乘法擬合

總結(jié)：

參考文獻(xiàn)

實(shí)現(xiàn)代碼

一，最小二乘法擬合

最小二乘法是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。優(yōu)化是找到最小值或等式的數(shù)值解的問題。而線性回歸就是要求樣本回歸函數(shù)盡可能好地?cái)M合目標(biāo)函數(shù)值，也就是說，這條直線應(yīng)該盡可能的處于樣本數(shù)據(jù)的中心位置。因此，選擇最佳擬合曲線的標(biāo)準(zhǔn)可以確定為：使總的擬合誤差（即總殘差）達(dá)到最小。

假設(shè)有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi，yi ), 事先知道它們之間應(yīng)該滿足某函數(shù)關(guān)系yi=f(xi)，通過這些已知信息，需要確定函數(shù)f的一些參數(shù)。例如，如果函數(shù)f是線性函數(shù)f(x)=kx+b, 那么參數(shù) k和b就是需要確定的值。

如果用p表示函數(shù)中需要確定的參數(shù)，那么目標(biāo)就是找到一組p,使得下面的函數(shù)S的值最小：

當(dāng)誤差最小的時(shí)候可以理解為此時(shí)的系數(shù)為最佳的擬合狀態(tài)。

scipy.optimization 子模塊提供了函數(shù)最小值(標(biāo)量或多維)、曲線擬合和尋找等式的根的有用算法。在optimize模塊中可以使用 leastsq() 對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘擬合計(jì)算。leastsq() 函數(shù)傳入誤差計(jì)算函數(shù)和初始值，該初始值將作為誤差計(jì)算函數(shù)的第一個(gè)參數(shù)傳入。計(jì)算的結(jié)果是一個(gè)包含兩個(gè)元素的元組，第一個(gè)元素是一個(gè)數(shù)組，表示擬合后的參數(shù)；第二個(gè)元素如果等于1、2、3、4中的其中一個(gè)整數(shù)，則擬合成功，否則將會(huì)返回 mesg。下面是官方的文檔介紹，只截取了主要的參數(shù)部分。

代碼實(shí)現(xiàn)：

1，導(dǎo)入模塊：

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.optimize import leastsq

2，一元二次方程的參數(shù)擬合，首先創(chuàng)建擬合數(shù)據(jù)。

x = np.linspace(-10,10,100) # 創(chuàng)建時(shí)間序列

p_value = [-2,5,10] # 原始數(shù)據(jù)的參數(shù)

noise = np.random.randn(len(x)) # 創(chuàng)建隨機(jī)噪聲

y = Fun(p_value,x)+noise*2 # 加上噪聲的序列

3，通過函數(shù)定義擬合函數(shù)的形式。

這里可以擬合任意的函數(shù)形式，這要能把它的表達(dá)式給出。

def Fun(p,x): # 定義擬合函數(shù)形式

a1,a2,a3 = p

return a1*x**2+a2*x+a3

4，定義殘差項(xiàng)。

一般最小二乘法是求擬合函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)差的平方，這里之所以沒有平方是應(yīng)為在擬合函數(shù)的內(nèi)部進(jìn)行，這里不顯式的表示。

def error (p,x,y): # 擬合殘差

return Fun(p,x)-y

5， 進(jìn)行擬合。

其中參數(shù)p0 為最小二乘法擬合的初值，初值的選取對(duì)于擬合時(shí)間和計(jì)算量影響很大，有事并對(duì)結(jié)果產(chǎn)生一定的影響。args() 中是除了初始值之外error() 中的所有參數(shù)的集合輸入。

para =leastsq(error, p0, args=(x,y)) # 進(jìn)行擬合

y_fitted = Fun (para[0],x) # 畫出擬合后的曲線

返回參數(shù)為一個(gè)包含擬合后參數(shù)的元組，可以通過中括號(hào)[] 取值的方式得到。

6，完整的代碼如下：

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.optimize import leastsq

def Fun(p,x): # 定義擬合函數(shù)形式

a1,a2,a3 = p

return a1*x**2+a2*x+a3

def error (p,x,y): # 擬合殘差

return Fun(p,x)-y

def main():

x = np.linspace(-10,10,100) # 創(chuàng)建時(shí)間序列

p_value = [-2,5,10] # 原始數(shù)據(jù)的參數(shù)

noise = np.random.randn(len(x)) # 創(chuàng)建隨機(jī)噪聲

y = Fun(p_value,x)+noise*2 # 加上噪聲的序列

p0 = [0.1,-0.01,100] # 擬合的初始參數(shù)設(shè)置

para =leastsq(error, p0, args=(x,y)) # 進(jìn)行擬合

y_fitted = Fun (para[0],x) # 畫出擬合后的曲線

plt.figure

plt.plot(x,y,'r', label = 'Original curve')

plt.plot(x,y_fitted,'-b', label ='Fitted curve')

plt.legend()

plt.show()

print (para[0])

if __name__=='__main__':

main()

最終擬合的參數(shù)結(jié)果：

[-1.99437662 5.03789895 10.00150115]

二， 使用curve_fit() 進(jìn)行擬合

Note：使用 curve_fit()，主要的區(qū)別在于擬合函數(shù)的定義不同

def Fun(x, a1,a2,a3): # 定義擬合函數(shù)形式

return a1*x**2+a2*x+a3

完整的代碼：

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.optimize import curve_fit

def Fun(x,a1,a2,a3): # 定義擬合函數(shù)形式

return a1*x**2+a2*x+a3

def error (p,x,y): # 擬合殘差

return Fun(p,x)-y

def main():

x = np.linspace(-10,10,100) # 創(chuàng)建時(shí)間序列

a1,a2,a3 = [-2,5,10] # 原始數(shù)據(jù)的參數(shù)

noise = np.random.randn(len(x)) # 創(chuàng)建隨機(jī)噪聲

y = Fun(x,a1,a2,a3)+noise*2 # 加上噪聲的序列

para,pcov=curve_fit(Fun,x,y)

y_fitted = Fun(x,para[0],para[1],para[2]) # 畫出擬合后的曲線

plt.figure

plt.plot(x,y,'r', label = 'Original curve')

plt.plot(x,y_fitted,'-b', label ='Fitted curve')

plt.legend()

plt.show()

print (para)

if __name__=='__main__':

main()

擬合結(jié)果

最終的擬合結(jié)果參數(shù)為：

[-2.00309373 5.00945061 10.30565526]

三， 多項(xiàng)式擬合

代碼實(shí)現(xiàn)：

def main():

x = np.linspace(-10,10,100) # 創(chuàng)建時(shí)間序列

a1,a2,a3 = [-2,5,10] # 原始數(shù)據(jù)的參數(shù)

noise = np.random.randn(len(x)) # 創(chuàng)建隨機(jī)噪聲

y = Fun(x,a1,a2,a3)+noise*2 # 加上噪聲的序列

plt.plot(x,y)

para=np.polyfit(x, y, deg = 2)

y_fitted = Fun(x,para[0],para[1],para[2])

plt.figure

plt.plot(x,y,'ro', label = 'Original curve')

plt.plot(x,y_fitted,'-b', label ='Fitted curve')

plt.legend()

plt.show()

print(para)

if __name__=='__main__':

main()

擬合結(jié)果為：

[-2.00532192 5.01626878 10.07612899]

總結(jié)：

本文主要講了最小二乘法擬合曲線的實(shí)現(xiàn)方法，使用 leastsq() 和 curve_fit()，最后講解了多項(xiàng)式的擬合poly.fit(). 最小二乘法的兩個(gè)擬合大體的步驟是一樣的，定義擬合范式，傳入擬合參數(shù)，開始擬合得出擬合結(jié)果。對(duì)于簡(jiǎn)單的擬合函數(shù)兩者的差別很小，但是復(fù)雜的，需要具體的分析。文章還會(huì)繼續(xù)的分析擬合結(jié)果的含義，讓我們對(duì)擬合的結(jié)果有更加透徹的理解，隨心擬合。

參考文獻(xiàn)：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的python拟合函数_Python-最小二乘法曲线拟合的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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