本文學(xué)習(xí)視頻地址：https://www.bilibili.com/video/av68228488?p=10

課堂PPT以及本人學(xué)習(xí)代碼已上傳。

本文學(xué)習(xí)內(nèi)容：

多項(xiàng)式的微分和積分

數(shù)值的微分和積分

目錄

多項(xiàng)式的表示方法

polyval()

polyder()

16分鐘練習(xí)

conv()

polyint()

Numerical Differentiation

39分鐘練習(xí)

45分鐘練習(xí)

47分鐘練習(xí)

多次積分

數(shù)值積分

Midpoint rule ：

Trapezoid rule

Function Handles(@)

創(chuàng)建函數(shù)句柄

匿名函數(shù)

多項(xiàng)式的表示方法

例如： f(x)=x^3-2x-5;

也就是 x^3 的系數(shù)為1， x^2的系數(shù)為0， x 的系數(shù)為 -2， 常數(shù)為-5；

所以 p=[1 0 -2 -5];

polyval()

y?= polyval(p,x)?計(jì)算多項(xiàng)式?p?在?x?的每個(gè)點(diǎn)處的值。參數(shù)?p?是長(zhǎng)度為?n+1?的向量，其元素是?n?次多項(xiàng)式的系數(shù)(降冪排序)：

p(x)=p1^xn+p2^(xn?1)+...+pn^x+pn+1.

雖然可以為不同目的使用?polyint、polyder?和?polyfit?等函數(shù)計(jì)算?p?中的多項(xiàng)式系數(shù)，但您也可以為系數(shù)指定任何向量。

要以矩陣方式計(jì)算多項(xiàng)式，請(qǐng)改用polyvalm。

[y,delta] = polyval(p,x,S)?使用?polyfit?生成的可選輸出結(jié)構(gòu)體?S?來生成誤差估計(jì)值。delta?是使用?p(x)?預(yù)測(cè)?x?處的未來觀測(cè)值時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)誤差估計(jì)值。

clear all; %6分鐘練習(xí)

clc;

a=[9,-5,3,7]; %構(gòu)建多項(xiàng)式的系數(shù)

x=-2:0.01:5;

f=polyval(a,x); %計(jì)算多項(xiàng)式 f在每個(gè)x 點(diǎn)的值

plot(x,f,'LineWidth',2,'Color','red'); %用圖表示出來

xlabel('x'); ylabel('f(x)');

set(gca,'FontSize',14);

polyder()

多項(xiàng)式微分

clear all; %11分鐘練習(xí)

clc;

p=[5 0 -2 0 1];

polyder(p) %f'(p)

polyval(polyder(p),7) % f'(7)

16分鐘練習(xí)

做出來和老師的不一樣。有的彈幕說是p=[5 -7 5 10];? ?這里想不通。

conv()

w = conv(u,v)?返回向量?u?和?v?的卷積。如果?u?和?v?是多項(xiàng)式系數(shù)的向量，對(duì)其卷積與將這兩個(gè)多項(xiàng)式相乘等效。

w = conv(u,v,shape)?返回如?shape?指定的卷積的分段。例如，conv(u,v,'same')?僅返回與?u?等大小的卷積的中心部分，而?conv(u,v,'valid')?僅返回計(jì)算的沒有補(bǔ)零邊緣的卷積部分。

clear all; %16分鐘練習(xí)

clc;

p=[20 -7 5 10];

q=[4 12 -3];

x=-2:0.01:1;

f=conv(p,q); %如果是兩個(gè)相乘的是行向量，則可以直接使用 conv()

a=polyval(f,x); %計(jì)算 f(x)的值

b=polyval(polyder(f),x); %計(jì)算 f'(x)的值

plot(x,a,'--b',x,b,'red','LineWidth',2);

xlabel('x');

legend('f(x)',"(f'(x))")

polyint()

多項(xiàng)式積分

q?= polyint(p,k)?使用積分常量?k?返回?p?中系數(shù)所表示的多項(xiàng)式積分。

q?= polyint(p)?假定積分常量?k = 0。

clear all; %22分鐘練習(xí)

p=[5 0 -2 0 1];

x=-2:0.01:8

polyint(p,3) %求積分，常數(shù)指定為3

f=polyval(polyint(p,3),x); %計(jì)算積分的值

plot(x,f);

polyval(polyint(p,3),7) %求x=7時(shí)積分的值

Numerical Differentiation

diff()

差分和近似導(dǎo)數(shù)

Y?= diff(X)?計(jì)算沿大小不等于 1 的第一個(gè)數(shù)組維度的?X?相鄰元素之間的差分：

如果?X?是長(zhǎng)度為?m?的向量，則?Y = diff(X)?返回長(zhǎng)度為?m-1?的向量。Y?的元素是?X?相鄰元素之間的差分。 Y = [X(2)-X(1) X(3)-X(2) ... X(m)-X(m-1)]

如果?X?是不為空的非向量 p×m 矩陣，則?Y = diff(X)?返回大小為 (p-1)×m 的矩陣，其元素是?X?的行之間的差分。 Y = [X(2,:)-X(1,:); X(3,:)-X(2,:); ... X(p,:)-X(p-1,:)]

如果?X?是 0×0 的空矩陣，則?Y = diff(X)?返回 0×0 的空矩陣。

Y?= diff(X,n)?通過遞歸應(yīng)用?diff(X)?運(yùn)算符?n?次來計(jì)算第 n 個(gè)差分。在實(shí)際操作中，這表示?diff(X,2)?與?diff(diff(X))?相同。

Y?= diff(X,n,dim)?是沿?dim?指定的維計(jì)算的第 n 個(gè)差分。dim?輸入是一個(gè)正整數(shù)標(biāo)量。

clear all; %30分鐘練習(xí)

f=[1 2 5 2 1];

diff(f) %diff()返回的是 [2-1 5-2 2-5 1-2]

x=[1 2]; %因?yàn)橐笮甭?#xff0c;所以根據(jù)坐標(biāo)，將X和Y的坐標(biāo)重新規(guī)劃

y=[5 7];

slope=diff(y)./diff(x) %這里用點(diǎn)乘，以防x 和 y是多個(gè)數(shù)據(jù)的矩陣

clear all; %34分鐘練習(xí)

% x=0:pi/50:2*pi;

% f=sin(x);

% g=polyder(f); %這里不能用polyder(),因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)是多項(xiàng)式求導(dǎo)，并不是連續(xù)函數(shù)

% polyval(g,x)

x0=pi/2; h=0.1;

x=[x0 x0+h];

y=[sin(x0) sin(x0+h)];

m=diff(y)./diff(x)

39分鐘練習(xí)

x0=pi/2; h=0.1; %39分鐘練習(xí)

for i=1:6

x=[x0 x0+h];

y=[sin(x0) sin(x0+h)];

m(i)=diff(y)./diff(x);

h=h/10;

end

format long

m

45分鐘練習(xí)

%%

h=0.5; x=0:h:2*pi; %45分鐘練習(xí)

y=sin(x);

m=diff(y)./diff(x);

plot(x,y);

x(length(x))=[]; %彈幕大神，把x的最后一項(xiàng)設(shè)置為空。以此和plot()匹配

hold on

plot(x,m)

%%

h=0.5; x=0:h:2*pi; %另一個(gè)方法

y=sin(x);

m=diff(y)./diff(x);

plot(x,y);

hold on

plot(x(:,1:end-1),m) %這里用到end的一個(gè)用法：索引

%x(:,1:end-1), 冒號(hào)是表示所有行，因?yàn)樵诘谝粋€(gè)屬性里，第二個(gè)1：end-1 表示 從第一列到倒數(shù)第二列。

使用?end?訪問矩陣?A?的最后一行。

A = magic(3)

A = 3×3

8 1 6

3 5 7

4 9 2

B = A(end,1:end) %這里第一個(gè)end 是最后一行， 第二個(gè) 1：end 是指列從第1列到最后一列

B = 1×3

4 9 2

具體可以查看：https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/matlab_oop/object-end-indexing.html

不過我沒看懂。

clear all; %46分鐘練習(xí)

g=colormap(lines); %首先是將內(nèi)置的colormap(lines)賦值給了g, lines是里面內(nèi)置的一種線的顏色矩陣

hold on;

for i=1:4

x=0:power(10,-i):pi; % power()是按元素爾冪函數(shù)，這里是10^(-i)

y=sin(x); m=diff(y)./diff(x);

plot(x(:,1:end-1),m,'Color',g(i,:)); %一共有4條線，依次取了lines里面第1行到第4行的顏色

end

hold off;

set(gca,'xlim',[0 pi/2]);

set(gca,'ylim',[0 1.2]);

set(gca,'FontSize',18);

set(gca,'XTick',0:pi/4:pi/2);

set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/4','\pi/2'});

h=legend('h=0.1','h=0.01','h=0.001','h=0.0001');

set(h,'FontName','Times New Roman');

box on;

C = power(A,B)?是執(zhí)行?A.^B?的替代方法，但很少使用。它可以啟用類的運(yùn)算符重載。

47分鐘練習(xí)

這里exp(x)? ; 就是e^x;

clc;

clear all; %47分鐘練習(xí)

g=colormap(flag);

hold on;

for i=1:3

x=0:power(10,-i):2*pi;

y=exp(-x).*sin(x.^2/2);

m=diff(y)./diff(x);

plot(x(:,1:end-1),m,'Color',g(i,:));

end

plot(x,y,'Color',g(4,:));

hold off;

xlim([0 2*pi]);

set(gca,'FontSize',20);

set(gca,'XTick',0:pi/2:2*pi);

set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/2','\pi','3\pi/2','2\pi'});

legend('h=0.1','h=0.01','h=0.01','h=0.001','y(x)');

xlabel('x');

ylabel('y');

box on;

多次積分

思路是先算出一次的積分，再用一次的積分再求積分。

clear all; clc; %49分鐘練習(xí)

x=-2:0.005:2;

y=x.^3;

m=diff(y)./diff(x);

m2=diff(m)./diff(x(:,1:end-1));

plot(x,y,x(1:end-1),m,x(:,1:end-2),m2);

數(shù)值積分

區(qū)間積分也就是求面積。有兩種方法：

Midpoint rule ：

就是取中間點(diǎn)。在這個(gè)方法里面 h，也就是寬度是一定的。只有高度不一樣。高度也就是f(x)的值 。

下面的圖，老師講了怎么獲取這個(gè)中間點(diǎn)的辦法。第1個(gè) x 矩陣是從x1開始，第二個(gè)矩陣是從x2開始，這兩個(gè)相加除2就是中間點(diǎn)。

clear all; clc; %59分鐘練習(xí)

h=0.05; x=0:h:2;

midpoint=(x(1:end-1)+x(2:end))./2; %求積分也就是求面積，算出每個(gè)中間點(diǎn)

y=4*midpoint.^3; % 用中間點(diǎn)帶入到積分中，得出y值；

s=sum(h*y) %求出用寬度 h和高度 y的乘積并相加

%如果要精度更高，可以把 h 取小

Trapezoid rule

是用梯形的辦法求出來。

Q = trapz(Y)?通過梯形法計(jì)算?Y?的近似積分(采用單位間距)。Y?的大小確定求積分所沿用的維度：

如果?Y?為向量，則?trapz(Y)?是?Y?的近似積分。

如果?Y?為矩陣，則?trapz(Y)?對(duì)每列求積分并返回積分值的行向量。

如果?Y?為多維數(shù)組，則?trapz(Y)?對(duì)其大小不等于 1 的第一個(gè)維度求積分。該維度的大小變?yōu)?1，而其他維度的大小保持不變。

clear all; clc; %62分鐘練習(xí)

h=0.05; x=0:h:2;

y=4*x.^3;

s=h*trapz(y) %trapz()來計(jì)算梯形數(shù)值積分

%%

clear all; clc; %64分鐘練習(xí)

h=0.05; x=0:h:2;

y=4*x.^3;

trapezoid=(y(1:end-1)+y(2:end))/2;

s=h*sum(trapezoid)

辛普森的方法會(huì)準(zhǔn)確一點(diǎn)，公式不會(huì)。大家自行百度。

三種方法的比較：

Function Handles(@)

句柄就像是一個(gè)指向一個(gè)函數(shù)的指針，在使用的時(shí)候利用這個(gè)指針指向其它函數(shù)，就可以調(diào)用。

例如： f=sin(x); 如果我要在函數(shù)g() 里用 f時(shí)，那么就要用指針去指向sin(x). 如下： g(@f,...)

創(chuàng)建函數(shù)句柄

通過在函數(shù)名稱前添加一個(gè)?@?符號(hào)來為函數(shù)創(chuàng)建句柄。例如，如果您有一個(gè)名為?myfunction?的函數(shù)，請(qǐng)按如下所示創(chuàng)建一個(gè)名為?f?的句柄：

f = @myfunction;

使用句柄調(diào)用函數(shù)的方式與直接調(diào)用函數(shù)一樣。例如，假設(shè)您有一個(gè)名為?computeSquare?的函數(shù)，該函數(shù)定義為：

function y = computeSquare(x)

y = x.^2;

end

創(chuàng)建句柄并調(diào)用該函數(shù)以計(jì)算 4 的平方。

f = @computeSquare; %%相當(dāng)于調(diào)用

a = 4;

b = f(a)

b =

16

匿名函數(shù)

您可以創(chuàng)建指向匿名函數(shù)的句柄。匿名函數(shù)是基于單行表達(dá)式的 MATLAB 函數(shù)，不需要程序文件。構(gòu)造指向匿名函數(shù)的句柄，方法是定義?anonymous_function?函數(shù)主體，以及指向匿名函數(shù)?arglist?的以逗號(hào)分隔的輸入?yún)?shù)列表。語法為：

h = @(arglist) anonymous_function

也就是在 (arglist) 里寫未知寫， 后面緊跟著寫函數(shù)

例如，創(chuàng)建一個(gè)指向用于計(jì)算平方數(shù)的匿名函數(shù)的句柄?sqr，并使用其句柄調(diào)用該匿名函數(shù)。

sqr = @(n) n.^2;

x = sqr(3)

x =

9

clear all; clc; %75分鐘練習(xí)

y=@(x) 1./(x.^3-2*x-5); %%有一個(gè)輸入數(shù)

integral(y,0,2)

f=@(x,y) y.*sin(x)+x.*cos(y); %%有兩個(gè)輸入數(shù)

integral2(f,pi,2*pi,0,pi)

f=@(x,y,z) y.*sin(x)+z.*cos(y); %%有三個(gè)輸入數(shù)

integral3(f,0,pi,0,1,-1,1)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的MATLAB设置x为0到10所有数,MATLAB教学_10数值微积分的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。