【目标检测】二、Fast R-CNN与SVD
1.流程
（1） 空間金字塔池化（spatial pyramid pooling，SPP）
原理：
（2）Fast-RCNN
2.數學概念
這么多個全連接層，必然存在計算的性能問題，讓數學家們蠢蠢欲動——基于奇異值分解（singular value decomposition，SVD）的全連接層計算加速方法。
降維（dimensionality reduction）處理主要方式：
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主成分分析 Principal Component Analysis，PCA |
下文補充 |
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因子分析 Factor Analysis |
假設觀察的數據當中存在一個隱變量（latent variable），這些數據是由隱變量和噪聲的線性組合而成，如果能找到隱變量，就可以減少觀察數據當中噪聲而達到降維效果。 |
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獨立成分分析 Independent Component Analysis，ICA |
假設一批數據是由多個數據源混合在一起的，這些數據源應該是相互獨立，沒有關系，若能找到有幾批數據源就可以達到降維效果。 |
（1）PCA
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（以下若有誤請指正） 解n元一次的方程，得到基礎解系是“基”，所有通解都可以用基礎解系的向量線性表出。 假設解線性方程（n個特征列）中，初等變換后得到化簡系數的矩陣，得到了矩陣的秩r，那么n-r得到n個變量中r個受到約束后剩下的n-r個自由變量。 可以這樣理解，基礎解系是基，由向量組成（是約束下的解的坐標系） 求得的自由變量就是這個基的軸，形如(1,0,0)，(0,1,0)這樣表示的三維坐標軸一樣，設第一個軸是(1,0,…,0)，第一個軸是(0,1,…,0)，第n個軸是(0,0,…,1)，得到了這些軸在m維坐標系中的方向（m=r）。每一個自由變量是基的一條軸。 如果能求到特征值和特征向量，再通過形如Av=λv的高維到低維映射，就能達到降維效果，即：矩陣A的數據在特征向量基中的表示。 其中，特征值個數=矩陣的秩，一個特征值帶著一個特征向量。 這個思路下，PCA可以這樣下手： 找到一個基空間（其軸的數目取數據特征列數），確定從原數據的行數據映射（點乘）到基空間的數值，這個數值就是降維結果。 而怎么確定基空間（軸的方向、長度是什么）， 從幾何上看，是希望找到一條線，它覆蓋最大差異的數據，然后再找覆蓋次大差異數據的線，以此類推。 |
方差公式σ（Sigma，大寫Σ，小寫σ）：
拓展至協方差公式，從某種程度來說，方差也是x的協方差：
協方差矩陣Σ [2]，是對稱矩陣：
PCA實現 [3]：
from numpy import *
def pca(dataMat, topNfeat = 999): # shape (m, n), (t)
meanVals = mean(dataMat, axis=0) # 求得平均值
# 求新空間向量（特征向量）
meanRemoved = dataMat - meanVals
covMat = cov(meanRemoved, rowvar=0) # 求協方差矩陣
eigVals, eigVects = linalg.eig(mat(covMat)) # 求協方差矩陣的特征值及特征向量，shape (1, n) , (n, n)
eigValInd = argsort(eigVals) # 特征值排序，shape (1, n)
eigValInd = eigValInd[:-(topNfeat+1):-1] # 取特征值最大的前N個，shape (1, t)
redEigVects = eigVects[:,eigValInd] # 特征值對應的特征向量，shape (n, t)
# 將數據轉換到新空間
lowDDataMat = meanRemoved @ redEigVects # 到低維的映射，其中@是點乘運算符， shape (m,n) (n,t) -> (m,t)
reconMat = (lowDDataMat @ redEigVects.T) + meanVals # 數據還原 shape (m, t) (t, n) -> (m, n)
return lowDDataMat, reconMat
（2）奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）
在大量數據下的PCA計算代價是很大的，這個時候常用SVD做矩陣分解以減少計算量。
SVD是常用的降維手段，它可以通過隱性語義索引（Latent Semantic Indexing，LSI，或者隱性語義分析Latent Semantic Analysis，LSA）應用到搜索和信息檢索、推薦引擎等。（它希望在搜索一個詞時，能把同義詞映射為同一概念）
Σ(sigma)是一個矩陣，只有對角元素，其它元素為0。它的值就是原數據矩陣Data的奇異值，取Data的特征值開方 ，并且按從大到小的排序。
實現的類庫：
import numpy as np
U, Sigma, Vt = np.linalg.svd(np.array([[1,1],[7,7]]))
U,Sigma,Vt >>> (array([[-0.14142136, -0.98994949],
[-0.98994949, 0.14142136]]),
array([10., 0.]),
array([[-0.70710678, -0.70710678],
[-0.70710678, 0.70710678]]))
注，在大矩陣計算中，計算結果會有些許偏差，這和計算的具體實現相關，但數量級上是不變的，也即：
作矩陣分解的話，可以嘗試還原矩陣，當然這是在小數據上的測試，證明一下分解的可行性，以及導致誤差的可能：
import numpy as np
data = np.array([
[1,1,1,0,0],
[2,2,2,0,0],
[5,5,5,0,0],
[1,1,0,2,2],
[0,0,0,3,3],
[1,1,1,0,0],
[0,0,0,1,1]
])
U, Sigma, Vt = np.linalg.svd(data)
#print('sigma:', Sigma)
sig3 = [[Sigma[0],0,0],[0,Sigma[1],0],[0,0,Sigma[2]]]
sig3 = np.array(sig3)
U[:,:3]@Sig3@Vt[:3,:] # 多個矩陣點乘，除了numpy.linalg.multi_dot和reduce的寫法，numpy（在python 3.5以后）重載了@運算符，A@B直接就是A和B的矩陣乘法。 >>>array([[ 1.00000000e+00, 1.00000000e+00, 1.00000000e+00, -2.85152832e-16, -2.94802231e-16],
[ 2.00000000e+00, 2.00000000e+00, 2.00000000e+00, -1.48291534e-16, -1.67590333e-16],
[ 5.00000000e+00, 5.00000000e+00, 5.00000000e+00, 1.05859966e-16, 5.77213899e-17],
[ 1.00000000e+00, 1.00000000e+00, -1.05947783e-15, 2.00000000e+00, 2.00000000e+00],
[ 1.73854477e-16, 4.09482862e-16, -8.23917306e-16, 3.00000000e+00, 3.00000000e+00],
[ 1.00000000e+00, 1.00000000e+00, 1.00000000e+00, -6.80558595e-17, -7.77052588e-17],
[ 4.44607724e-17, 1.29942461e-16, -2.79696374e-16, 1.00000000e+00, 1.00000000e+00]])
還原當中的Σ只取了3項，這個3如何確定？
一種方式：求得所有奇異值的平方和*0.9作為閾值，再逐個計算奇異值平方和累加到閾值數目為止，以此來確定矩陣Σ的大小；
另一種方式：直接由數據情況來確定，比如說直接指定2000或3000。
SVD的圖像壓縮示例：
def imgCompress(numSV=3, thresh=0.8):
myl = []
for line in open('0_5.txt').readlines():
newRow = []
for i in range(32):
newRow.append(int(line[i]))
myl.append(newRow)
myMat = mat(myl)
print "****original matrix******"
printMat(myMat, thresh)
U,Sigma,VT = la.svd(myMat)
SigRecon = mat(zeros((numSV, numSV))) for k in range(numSV):#construct diagonal matrix from vector
SigRecon[k,k] = Sigma[k] reconMat = U[:,:numSV]@SigRecon@VT[:numSV,:] print "****reconstructed matrix using %d singular values******" % numSV
printMat(reconMat, thresh)
imgTest.txt 內容：
00000000000000110000000000000000
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關于SVD的推理/原理，暫且擱置。
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線性代數有感： 它真的有很多性質，最后接觸已經近乎三年前了，也都忘了，不過遇到也不怕吧，它花里胡哨總歸是為了線性計算；它恁多的性質都是為了計算方便， 此處我只追求，我能get到其型，具體計算就不深入。 |
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資料：
[2] 協方差相關 https://zhuanlan.zhihu.com/p/37609917
[3]Peter Harrington著《機器學習實戰》
杜鵬、諶(chen2)明、蘇統華 編著《深度學習與目標檢測》
總結
以上是生活随笔為你收集整理的【目标检测】二、Fast R-CNN与SVD的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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