矩陣論記號(hào)約定?zhuanlan.zhihu.com

外積與復(fù)合矩陣

• 設(shè) ，則 ；
• [Gram行列式] ，其中 ；
• 。

證明：直接計(jì)算可得

設(shè)

構(gòu)成 的規(guī)范正交基，記 。

• 構(gòu)成規(guī)范正交基；注意 。

證明：任取

，有

• 設(shè) ，任給規(guī)范正交基 和 ，對(duì)于 有 ，其中 ；
• 復(fù)合矩陣 是外冪 的矩陣表示；
• ；特別地，若 ，則 。

證明：任取

，有

設(shè)

，則

• [乘性] ；
• [Cauchy-Binet公式] 對(duì) 成立。

證明：由

可得 。

• 設(shè) 的奇異值為 ，其中 ，則 ；從而 。
• 若 ，設(shè) 的特征值為 ，則 ；從而[Sylvester-Franke] 。

證明：注意

和 ，只需考慮方陣情形。取可逆矩陣 使得 為Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，于是 ；容易驗(yàn)證上三角矩陣的情形。

• 記 的特征多項(xiàng)式為 ，則 。

證明：展開

即知 。

特征值/奇異值的乘積型受控

• [Horn^[1]] 將 的奇異值(計(jì)入 )排列為 ，則 ；
• 類比于Karamata不等式的證明過程，由 單調(diào)性可得 。

證明：任取

，有

最后，

。

• [Weyl] 設(shè) 的特征值和奇異值分別為 和 ，則 ；
• 從而 。

證明：任取

，由譜半徑性質(zhì)可得 。最后， 。

Hodge對(duì)偶與高次伴隨矩陣

注意到

，嘗試定義同構(gòu)(Hodge星算子) ，適合 ，其中 表示 的體積單位；只需對(duì) 定義 ，其中 映射為 的逆序數(shù)。易見 ，且對(duì) 有 和 。

• 設(shè) ，則 ，其中 是 的代數(shù)余子式；
• 伴隨矩陣 是 的矩陣表示；
• 由 可得 。

證明：任取

，有

• ；
• 若 可逆，則 。

證明：應(yīng)用Laplace展開[任取

，有 ]即可。

參考

^https://wj32.org/wp/2015/12/29/horns-inequality-for-singular-values-via-exterior-algebra/

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵为奇异工作精度_外积与复合矩阵，特征值/奇异值的乘积型受控，Hodge对偶与伴随矩阵...的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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