?PaperWeekly 原創 ·?作者 |?蘇劍林

單位 |?追一科技

研究方向 |?NLP、神經網絡

在本博客中，已經多次討論過梯度懲罰相關內容了。從形式上來看，梯度懲罰項分為兩種，一種是關于輸入梯度懲罰與參數梯度懲罰的一個不等式在本博客中，已經多次討論過梯度懲罰相關內容了。從形式上來看，梯度懲罰項分為兩種，一種是關于輸入的梯度懲罰 ，在《對抗訓練淺談：意義、方法和思考（附Keras實現）》、《泛化性亂彈：從隨機噪聲、梯度懲罰到虛擬對抗訓練》等文章中我們討論過，另一種則是關于參數的梯度懲罰 ，在《從動力學角度看優化算法（五）：為什么學習率不宜過小？》、《我們真的需要把訓練集的損失降低到零嗎？》[1] 等文章我們討論過。

在相關文章中，兩種梯度懲罰都聲稱有著提高模型泛化性能的能力，那么兩者有沒有什么聯系呢？筆者從 Google 最近的一篇論文《The Geometric Occam's Razor Implicit in Deep Learning》[2] 學習到了兩者的一個不等式，感覺以后可能用得上，在此做個筆記。

最終結果

假設有一個 l 層的 MLP 模型，記為：

其中 是當前層的激活函數，，并記為，即模型的原始輸入，為了方便后面的推導，我們記 ；參數全體為 。設 是 的任意標量函數，那么成立不等式：

其中上式中 、和 用的是普通的 范數，也就是每個元素的平方和再開平方，而 和 用的則是矩陣的“譜范數”（參考《深度學習中的 Lipschitz 約束：泛化與生成模型》）。該不等式顯示，參數的梯度懲罰一定程度上包含了輸入的梯度懲罰。

推導過程

顯然，為了不等式（2），我們只需要對每一個參數證明：

然后遍歷所有 ，將每一式左右兩端相加即可。這兩個不等式的證明本質上是一個矩陣求導問題，但多數讀者可能跟筆者一樣，都不熟悉矩陣求導，這時候最佳的辦法就是寫出分量形式，然后就變成標量的求導問題。

具體來說， 寫成分量形式：

然后由鏈式法則：

然后：

這里 是克羅內克符號。現在我們可以寫出：

代入（6）得到：

兩邊乘以 得：

約定原始向量為列向量，求梯度后矩陣的形狀反轉，那么上述可以寫成矩陣形式：

兩邊左乘 得：

兩邊取范數得：

等于第二個不等號來說，矩陣的范數用 范數或者譜范數都是成立的。于是選擇所需要的范數后，整理可得式（3）；至于式（4）的證明類似，這里不再重復。

簡單評析

可能有讀者會想問具體該如何理解式（2）？事實上，筆者主要覺得式（2）本身有點意思，以后說不準在某個場景用得上，所以本文主要是對此做個“筆記”，但對它并沒有很好的解讀結果。

至于原論文的邏輯順序是這樣的：在《從動力學角度看優化算法（五）：為什么學習率不宜過小？》中我們介紹了《Implicit Gradient Regularization》（跟本篇論文同一作者），里邊指出 SGD 隱式地包含了對參數的梯度懲罰項，而式（2）則說明對參數的梯度懲罰隱式地包含了對輸入的梯度懲罰，而對輸入的梯度懲罰又跟 Dirichlet 能量有關，Dirichlet 能量則可以作為模型復雜度的表征。所以總的一串推理下來，結論就是：SGD 本身會傾向于選擇復雜度比較小的模型。

不過，原論文在解讀式（2）時，犯了一個小錯誤。它說初始階段的 會很接近于 0，所以式（2）中括號的項會很大，因此如果要降低式（2）右邊的參數梯度懲罰，那么必須要使得式（2）左邊的輸入梯度懲罰足夠小。然而從《從幾何視角來理解模型參數的初始化策略》[3] 我們知道，常用的初始化方法其實接近于正交初始化，而正交矩陣的譜范數其實為 1，如果考慮激活函數，那么初始化的譜范數其實還大于 1，所以初始化階段 會很接近于 0 是不成立的。

事實上，對于一個沒有訓練崩的網絡，模型的參數和每一層的輸入輸出基本上都會保持一種穩定的狀態，所以其實整個訓練過程中 、、 其實波動都不大，因此右端對參數的梯度懲罰近似等價于左端對輸入的乘法懲罰。這是筆者的理解，不需要“ 會很接近于 0”的假設。

文章小結

本文主要介紹了兩種梯度懲罰項之間的一個不等式，并給出了自己的證明以及一個簡單的評析。

參考文獻

[1] https://kexue.fm/archives/7643

[2 ]https://arxiv.org/abs/2111.15090

[3] https://kexue.fm/archives/7180

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總結

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