目錄

1、引言

2、常見(jiàn)模型與算法

3、問(wèn)題描述

4、遺傳算法

5、仿真結(jié)果

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1、引言

運(yùn)籌學(xué)問(wèn)題，包括任務(wù)規(guī)劃、分配、決策，是數(shù)學(xué)建模比賽中常見(jiàn)的問(wèn)題（參見(jiàn)2018年“高教杯”數(shù)學(xué)建模B題、2019年美賽MCM B題）。今天小編就和大家分享一下數(shù)學(xué)建模中運(yùn)籌學(xué)問(wèn)題的常見(jiàn)解決方法與技巧。本文相對(duì)適用于剛剛?cè)腴T(mén)的小白同學(xué)以及對(duì)于數(shù)學(xué)建模有些接觸的同學(xué)，當(dāng)然也歡迎大神們交流討論。

本文主要概述一下比賽中可能出現(xiàn)的問(wèn)題，同時(shí)分享了遺傳算法在運(yùn)籌學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用。

另外小編也整理了一些參考文獻(xiàn)，也是數(shù)學(xué)建模比賽時(shí)非常有用的參考，論文里面加上一定能讓你脫穎而出的哦，想要的話(huà)請(qǐng)留言哦。

2、常見(jiàn)模型與算法

首先是運(yùn)籌學(xué)中一些常見(jiàn)的模型與算法。大家如果不感興趣可以直接跳到第二部分哈。常見(jiàn)的運(yùn)籌學(xué)模型包括車(chē)輛路由問(wèn)題（Vehicle Routing Problem，VRP）、旅行商問(wèn)題（Travelling Salesmen Problem，TSP）及多旅行商問(wèn)題（Multiple Travelling Salesmen Problem，MTSP）、網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問(wèn)題（Network Flow Optimization，NFO）、混合整數(shù)線(xiàn)性規(guī)劃（Mixed Integer Linear Programming，MILP）、協(xié)同多任務(wù)分配問(wèn)題（Cooperative Multiple Task Assignment Problem，CMTAP）等。

對(duì)于單一類(lèi)型的運(yùn)籌學(xué)問(wèn)題，例如最大流、最短路徑問(wèn)題，常常使用VRP、TSP 和 MTSP 模型。針對(duì)具體的任務(wù)需求以及任務(wù)約束，常常需要在基本的VRP、TSP 模型的基礎(chǔ)上建立相應(yīng)的擴(kuò)展模型，如考慮時(shí)間窗的 VRPTW 和 TWMTSP 模型。

NFO 以及動(dòng)態(tài) NFO 模型最早產(chǎn)生于郵遞行業(yè)的分配。其受實(shí)際物流網(wǎng)的啟發(fā)，以任務(wù)執(zhí)行者為供應(yīng)商，將待分配、執(zhí)行的任務(wù)作為網(wǎng)格中的物流，以任務(wù)代價(jià)作為網(wǎng)絡(luò)流中流動(dòng)的代價(jià)，建立商業(yè)供需網(wǎng)格并通過(guò)最小化網(wǎng)絡(luò)流的總代價(jià)實(shí)現(xiàn)多任務(wù)的協(xié)同分配。

MILP 模型和 CMTAP 模型主要適用于任務(wù)關(guān)系復(fù)雜、多種約束下的運(yùn)籌學(xué)問(wèn)題。MILP 模型中問(wèn)題的是由二進(jìn)制變量和連續(xù)變量共同描述的，可以有效解決任務(wù)分配中的約束問(wèn)題，CMTAP 是一種建立在 NFO 和 MILP 模型基礎(chǔ)上的組合優(yōu)化模型，能夠處理不同任務(wù)間的時(shí)序關(guān)系與促進(jìn)關(guān)系，廣泛應(yīng)用于多類(lèi)型運(yùn)籌學(xué)問(wèn)題。

運(yùn)籌學(xué)問(wèn)題在數(shù)學(xué)上是一類(lèi)組合優(yōu)化問(wèn)題，求解這類(lèi)組合優(yōu)化問(wèn)題的方法包括經(jīng)典整數(shù)規(guī)劃與現(xiàn)代智能算法。分支定界方法（Branch and Bound，BNB）是任務(wù)分配中應(yīng)用最廣泛的一種經(jīng)典整數(shù)規(guī)劃方法。BNB通過(guò)分枝-定界-剪枝，逐步縮小搜索區(qū)域，對(duì)于小規(guī)模的問(wèn)題可以在較短時(shí)間內(nèi)獲得滿(mǎn)意的可行解。然而由于任務(wù)分配問(wèn)題的NP（Non-deterministic Polynomial）特性，隨著問(wèn)題約束以及維度的增加，以BNB為首的經(jīng)典整數(shù)規(guī)劃算法難以獲得較好的可行解。相比于確定性的經(jīng)典算法，具有概率特性的智能優(yōu)化算法在高維問(wèn)題上體現(xiàn)出了一定的優(yōu)勢(shì)?，F(xiàn)代智能算法包括遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）、差分進(jìn)化（Differential Evolution Algorithm，DEA）等進(jìn)化類(lèi)算法和粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）、蟻群算法等群智能算法。本文主要講解一下遺傳算法在運(yùn)籌學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用，當(dāng)然一些局部?jī)?yōu)化算法也是可以使用的，而且在比賽時(shí)使用一些局部算法會(huì)有意想不到的驚喜，本文暫且不表，放到下一次進(jìn)行講解。

3、問(wèn)題描述

以一個(gè)任務(wù)分配為例，任務(wù)分配的優(yōu)化變量通常為整數(shù)，在實(shí)際建模過(guò)程中通常有兩種表示：

一是采用分配序號(hào)向量：

二是采用0-1分配矩陣：

同時(shí)對(duì)于任務(wù)分配問(wèn)題，還需要有優(yōu)化的目標(biāo)，通常為時(shí)間最優(yōu)或者成本最少。

4、遺傳算法

遺傳算法是一種全局優(yōu)化方法，理論上具備尋找到全局最優(yōu)解的能力。通常使用遺傳算法需要對(duì)問(wèn)題變量進(jìn)行編碼，由于任務(wù)分配問(wèn)題本身決策變量就是一串整數(shù)，因此可以直接用決策變量作為基因編碼進(jìn)行優(yōu)化。

5、仿真結(jié)果

下面給出一個(gè)旅行商問(wèn)題的仿真計(jì)算。假設(shè)地圖上有50座城市，一個(gè)商人需要遍歷所有城市并最終回到起點(diǎn)，優(yōu)化目標(biāo)為總距離最短。這個(gè)問(wèn)題的決策變量可以由1到50的排列序列的向量表示，該向量可以直接作為遺傳算法的基因編碼。在仿真中，城市位置隨機(jī)選取，種群個(gè)數(shù)為60個(gè)，迭代次數(shù)為10000次。

下圖給出了50個(gè)城市的坐標(biāo)位置：

使用遺傳算法迭代過(guò)程：

最終優(yōu)化結(jié)果：

以及使用遺傳算法迭代時(shí)的適應(yīng)度曲線(xiàn)：

使用matlab運(yùn)算大概只需要幾秒鐘就能算出啦。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数学建模之运筹学问题的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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