零、概率論基礎回顧

1、 求離散型的期望 𝐄(𝐗)

$$\begin{gathered} \underline{例1：已知一個工廠一周獲利10萬元的概率為0.2，獲利5萬元的概率為0.3，} \\ \underline{虧損2萬元的概率為0.5，該工廠一周內利潤的期望是多少？} \end{gathered}$$

X105-2

P	0.2	0.3	0.5

---

$$\mathrm{E}(\mathrm{X})=\sum {\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}=10\times 0.2+5\times 0.3+(?2)\times 0.5=2.5\text{?（萬元?}）$$

2、 求連續型的期望 𝐄(𝐗)

$$\underline{例1:設隨機變量X的密度函數為}\mathrm{f}(\mathrm{x})=?\begin{array}{l}0,\mathrm{x}<0\\ 4{\mathrm{x}}^3,0\le \mathrm{x}\le 1,\underline{求}\mathrm{E}(\mathrm{X})\\ 0,\mathrm{x}>1\end{array}$$

---

$$\begin{array}{rl}\mathrm{E}(\mathrm{X})={\int }_{?\infty }^{+\infty }\mathrm{x}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}& ={\int }_{?\infty }^0\mathrm{x}?0\mathrm{d}\mathrm{x}+{\int }_0^1\mathrm{x}?4{\mathrm{x}}^3\mathrm{d}\mathrm{x}+{\int }_1^{+\infty }\mathrm{x}?0\mathrm{d}\mathrm{x}\\ & =0+\frac{4}{5}+0\\ & =\frac{4}{5}\end{array}$$

3、 已知 𝐘 = 𝐠(𝐱)，求 𝐄(𝐘)

例 1：已知隨機變量 X 的分布列為： 下表，求 𝐘 = 𝟐𝐗 ? 𝟏 的期望。

X0123

P	0.1	0.2	0.3	0.4

$$\begin{array}{rl}\mathrm{E}(\mathrm{Y})& =\sum \mathrm{g}\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}\right){\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}\\ & =\sum \left(2{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}?1\right){\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}\\ & =(2\times 0?1)\times 0.1+(2\times 1?1)\times 0.2+(2\times 2?1)\times 0.3+(2\times 3?1)\times 0.4\\ & =3\end{array}$$

4、 求方差 𝐃(𝐗)

$$\underline{例1:已知隨機變量X的分布列為下圖，求D(X)}$$

X0123

P	0.1	0.2	0.3	0.4

$$\text{?方法一:?}$$

$$\begin{array}{lc}\mathrm{E}(\mathrm{X})& =\sum {\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}=0\times 0.1+1\times 0.2+2\times 0.3+3\times 0.4=2\\ \mathrm{D}(\mathrm{X})& =\sum {\left[{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}?\mathrm{E}(\mathrm{X})\right]}^2?{\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}\\ & =(0?2{)}^2?0.1+(1?2{)}^2?0.2+(2?2{)}^2?0.3+(3?2{)}^2?0.4=1\end{array}$$

$$\begin{array}{r}\text{?方法二:?}\end{array}$$

$X^2$0149

P	0.1	0.2	0.3	0.4

$$\begin{array}{l}\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}^2\right)=0\times 0.1+1\times 0.2+4\times 0.3+9\times 0.4=5\\ \mathrm{E}(\mathrm{X})=\sum {\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}=0\times 0.1+1\times 0.2+2\times 0.3+3\times 0.4=2\\ \mathrm{D}(\mathrm{X})=\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}^2\right)?{\mathrm{E}}^2(\mathrm{X})=5?2^2=1\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& \underline{例}2:\underline{設隨機變量}\mathrm{X}\underline{的密度函數為}\mathrm{f}(\mathrm{x})=?\begin{array}{l}0,\mathrm{x}<0\\ 4{\mathrm{x}}^3,0\le \mathrm{x}\le 1,\\ 0,\mathrm{x}>1\end{array}\\ & \underline{求}\mathrm{D}(\mathrm{X})\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\mathrm{E}\left({\mathrm{x}}^2\right)& ={\int }_{?\infty }^{+\infty }\mathrm{g}(\mathrm{x})?\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}\\ & ={\int }_{?\infty }^{+\infty }{\mathrm{x}}^2?\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}\\ & ={\int }_{?\infty }^0{\mathrm{x}}^2?0\mathrm{d}\mathrm{x}+{\int }_0^1{\mathrm{x}}^2?4{\mathrm{x}}^3\mathrm{d}\mathrm{x}+{\int }_1^{+\infty }{\mathrm{x}}^2?0\mathrm{d}\mathrm{x}\\ & =0+\frac{2}{3}+0\\ & =\frac{2}{3}\\ \mathrm{E}(\mathrm{X})={\int }_{?\infty }^{+\infty }\mathrm{x}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}& ={\int }_{?\infty }^0\mathrm{x}?0\mathrm{d}\mathrm{x}+{\int }_0^1\mathrm{x}?4{\mathrm{x}}^3\mathrm{d}\mathrm{x}+{\int }_1^{+\infty }\mathrm{x}?0\mathrm{d}\mathrm{x}\\ & =0+\frac{4}{5}+0\\ & =\frac{4}{5}\\ \mathrm{D}(\mathrm{X})=\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}^2\right)?{\mathrm{E}}^2(\mathrm{X})=\frac{2}{3}?{\left(\frac{4}{5}\right)}^2& =\frac{2}{75}\end{array}$$

5、 根據 𝐄(𝐗)、𝐃(𝐗) 的性質運算

ED

性質	$\mathrm{E}\left(C\right)=C$	$\mathrm{D}\left(C\right)=0$
性質	$\mathrm{E}\left(CX\right)=\mathrm{C}\mathrm{E}\left(X\right)$	$\mathrm{D}\left(CX\right)={\mathrm{C}}^2\mathrm{D}\left(X\right)$
性質	$\mathrm{E}\left(X\pm Y\right)=\mathrm{E}\left(X\right)\pm \mathrm{E}\left(Y\right)$	$\mathrm{D}\left(X\pm Y\right)=\mathrm{D}\left(X\right) \pm \mathrm{D}\left(Y\right) \tiny{(X、Y相互獨立時)} $
性質	$\mathrm{E}\left(XY\right)=\mathrm{E}\left(X\right)\mathrm{E}\left(Y\right)(X、Y相互獨立時)$	$\mathrm{D}\left(X\right)=\mathrm{E}\left(X^2\right)?{\mathrm{E}}^2\left(X\right)$

$$\underline{例1:已知如圖}\underline{求}\mathrm{E}\left(2{\mathrm{X}}^2?5\right),\mathrm{D}(\sqrt{7}\mathrm{X}?5)$$

$X$0149

P	0.1	0.2	0.3	0.4

$$\begin{array}{l}\mathrm{E}(\mathrm{X})=\sum {\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}=0\times 0.1+1\times 0.2+2\times 0.3+3\times 0.4=2\\ \mathrm{D}(\mathrm{X})=(0?2{)}^2?0.1+(1?2{)}^2?0.2+(2?2{)}^2?0.3+(3?2{)}^2?0.4=1\\ \mathrm{E}\left(2{\mathrm{X}}^2?5\right)=\mathrm{E}\left(2{\mathrm{X}}^2\right)?\mathrm{E}(5)=2\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}^2\right)?5=2\times \left[{\mathrm{E}}^2(\mathrm{X})+\mathrm{D}(\mathrm{X})\right]?5=2\times \left(2^2+1\right)?5=5\\ \mathrm{D}(\sqrt{7}\mathrm{X}?5)=\mathrm{D}(\sqrt{7}\mathrm{X})+\mathrm{D}(5)=7\mathrm{D}(\mathrm{X})+0=7\times 1+0=7\end{array}$$

6、 𝐄(𝐗)、𝐃(𝐗) 與各種分布的綜合題

常見離散型隨機變量分布名稱分布列數學期望EX方差DXP

-	$P(X=c)=1$	$c$	$0$
兩點分布（01分布）	$X～B(1,p)$	$p$	$p(1?p)$	$P(X=k)=p^k(1?p{)}^{1?k},k=0,1$
二項分布	$X～B(n,p)$	$np$	$np(1?p)$	$P(X = k) =C_n^k pk(1-p){n-k} $
泊松分布	$X～P(\lambda )$	$\lambda$	$\lambda$	$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{?\lambda }$

常見連續型隨機變量分布名稱分布列數學期望EX方差DXP

均勻分布	$X～U[a,b]$	$(a+b)/2$	$(b?a^2)/12$	$P(c\le X\le d)=\frac{d?c}{b?a}$
指數分布	$X～E(\lambda )$	$1/\lambda$	$1/{\lambda }^2$	$\mathrm{P}(\mathrm{c}\le \mathrm{X}\le \mathrm{d})=\frac{1}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{c}\lambda }}?\frac{1}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{d}\lambda }}$
正態分布	$X～N(\mu ,{\sigma }^2)$	$\mu$	${\sigma }^2$	$\mathrm{P}(\mathrm{c}\le \mathrm{X}\le \mathrm{d})=\Phi \left(\frac{\mathrm{d}?\mu }{\sigma }\right)?\Phi \left(\frac{\mathrm{c}?\mu }{\sigma }\right)$

$$\begin{array}{rl}& \underline{例}1\underline{:隨機變量X服從二項分布,且}\mathbf{E}(\mathbf{X})=6,\mathbf{D}(\mathbf{X})=3,\text{?求?}\mathrm{P}(\mathrm{X}=1)\\ & \{\begin{array}{l}\mathrm{E}(\mathrm{X})=6=\mathrm{n}\mathrm{p}\\ \mathrm{D}(\mathrm{X})=3=\mathrm{n}\mathrm{p}(1?\mathrm{p})\end{array}?\mathrm{n}=12\mathrm{p}=0.5\\ & \mathrm{P}(\mathrm{X}=\mathrm{d})={\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{d}}{\mathrm{p}}^{\mathrm{d}}(1?\mathrm{p}{)}^{\mathrm{n}?\mathrm{d}}\\ & \mathrm{P}(\mathrm{X}=1)={\mathrm{C}}_{12}^1(0.5{)}^1(1?0.5{)}^{12?1}=3\times 2^{?10}\end{array}$$

$$\underline{例2:已知\mathrm{X}服從\lambda =1的泊松分布，求\mathrm{P}\left[\mathrm{X}=\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}^2\right)\right]}$$

$$\begin{array}{l}\mathrm{E}(\mathrm{X})=1\mathrm{D}(\mathrm{X})=1\\ \mathrm{E}\left({\mathrm{X}}^2\right)={\mathrm{E}}^2(\mathrm{X})+\mathrm{D}(\mathrm{X})=1^2+1=2\\ \mathrm{P}\left[\mathrm{X}=\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}^2\right)\right]=\mathrm{P}(\mathrm{X}=2)=\frac{1^2}{2!}{\mathrm{e}}^{?1}=\frac{1}{2\mathrm{e}}\\ \mathrm{P}(\mathrm{X}=\mathrm{d})=\frac{{\lambda }^{\mathrm{d}}}{\mathrm{d}!}{\mathrm{e}}^{?\lambda }\end{array}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数理统计】概率论基础回顾的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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