人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)----導(dǎo)數(shù)

人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)系列文章

• 1. 人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)----導(dǎo)數(shù)
• 2. 人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)----矩陣
• 3. 人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)----線性二階近似

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人工智能的學(xué)習(xí)對于數(shù)學(xué)要求還是需要一定的功底的，不管是算法還是涉及到的名詞概念，都是建立在數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上來做訓(xùn)練學(xué)習(xí)的，所以非常有必要把涉及到的數(shù)學(xué)知識都理解和梳理一遍，才能把思維從傳統(tǒng)的編程方式轉(zhuǎn)變過來。

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這里介紹的是 一元函數(shù)(標(biāo)量場)的導(dǎo)數(shù)，以后會介紹多元函數(shù)(矢量或者多維矩陣場)導(dǎo)數(shù)，因為多元函數(shù)需要向量和矩陣相關(guān)的知識，會先介紹向量和矩陣相關(guān)之后，再來詳細(xì)介紹多元函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題

一、導(dǎo)數(shù)

1. 定義

函數(shù)導(dǎo)數(shù)f'(x0)，就是函數(shù)f(x)在x0值處的導(dǎo)數(shù)，也是函數(shù)f(x)在x0這個點的切線斜率，這個點我們這里用P點表示，如圖：

2. 求導(dǎo)的推導(dǎo)過程

我們知道高中的時候?qū)τ诤瘮?shù)斜率的計算公式：y-y0 = m(x - x0)，其中m就是函數(shù)的斜率。具體我們要怎么求出這斜率值或者導(dǎo)數(shù)呢。

上圖中，假設(shè)有一條直線l，與函數(shù)f(x)相交于p0和Q點，保持p0點不變，當(dāng)Q點沿著函數(shù)f(x)向p0點無限靠近，P0點和Q點重合的時候，此時直線l就和P0的切線n重合，這是一個極限的無限趨于x0值(也就是P0點)的求解過程。 上圖看出，P0點到Q點在x軸上的變化量是Δx，Q點的x值就是x0+Δx，Q點在y軸上的變化量就是Δy,或者叫Δf。P0和Q點的坐標(biāo)是： P0( x0, f(x0) )，Q( x0+Δx, f(x0+Δx) ) 最開始我們提到了，斜率的計算公式y(tǒng)-y0 = m(x-x0)，m = (y - y0) / (x - x0)，m = Δf / Δx, 這是割線l的斜率，要求P0的斜率，則要引入極限的概念，斜率或者說導(dǎo)數(shù)的如下(當(dāng)Δx趨近于0的時候，也就是變化量趨于0的時候，Q點和P0點重合)：

3. 求導(dǎo)例子

例子一

根據(jù)以上公式，舉個例子，有函數(shù)f(x) = 1/x，求在x0上的導(dǎo)數(shù)？

當(dāng)Δx趨近于0的時候，函數(shù)1/x的導(dǎo)數(shù)是 -1/x^2。例子二

函數(shù)1/x的導(dǎo)數(shù)求出來后，我們來解決一個有趣的問題，求出經(jīng)過在函數(shù)f(x) = 1/x的點P的切線與坐標(biāo)軸交點所圍成的三角形的面積，如下圖求出三角形AOB的面積：

經(jīng)過上面的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道切線的方程：y-y0 = m(x - x0)，函數(shù)f(x) = 1/x的導(dǎo)數(shù)是 -1/x^2，求三角形面積，我們只要求出線段AO和BO的長度，即在A點的坐標(biāo)(0, y)和B點的坐標(biāo)(x, 0)，將A、B兩點的坐標(biāo)值和函數(shù)導(dǎo)數(shù)代入切線方程中得到：

求解的過程寫的有點亂，將A、B坐標(biāo)和導(dǎo)數(shù)代入后，求出A和B代表的三角形的兩個邊的y、x值。最后根據(jù)三角形面積公式：1/2AOBO，求出面積為：2, 函數(shù)f(x) = 1 / x，比較神奇，過函數(shù)的點的切線與坐標(biāo)軸交點所圍成的三角形面積都是2。例子三

既然函數(shù)f(x) = 1/x(即x的-1次冪)可以求其導(dǎo)數(shù)，f(x) = x^n，也可以求其導(dǎo)數(shù)，如下是求導(dǎo)過程：

這里最難的是二項式(x + Δx)^n的展開為多項式，(二項式定理)這個高中的數(shù)學(xué)書應(yīng)該有提及，其實只要試試(x + Δx)^2和(x + Δx)^3的展開，就可以找出其中規(guī)律，上圖寫的O((Δx)^2)是許多由Δx所組成的項式，因為我們求導(dǎo)最終是一個極限的過程，所以只有變化量的項式就寫成了一個統(tǒng)稱，沒有實際的計算意義。最終得出當(dāng)Δx趨于0的時候，函數(shù)f(x) = x^n的導(dǎo)數(shù)是 f '(x) = nx^n-1，通過這個導(dǎo)數(shù)公式也可以反過來證明我們上門例子一中所計算出的函數(shù)f(x) = 1/x的導(dǎo)數(shù)，也是f '(x) = -1/x^2(即-x^-2)。 經(jīng)過例子三的計算，很容易對多項式函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，比如：f(x) = 10x^3 -2x^5，f '(x) = 30x^2 - 10x^4。例子四

下面來推導(dǎo)下三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： f(x) = sinx，f '(x) = (sinx)'，利用上門的求導(dǎo)公式，解得：

正弦的兩角和公式展開后，求得Δx趨于0的時候，cosΔx等于1，所以cosΔx-1 / Δx等于0，Δx趨于0的時候，sinΔx等于0， sinΔx/Δx等于1。余弦函數(shù)f(x) =cosx的求導(dǎo)，f '(x) = (cosx)'：

以上三角函數(shù)的兩角和公式： sin(x + Δx) = sinx·cosΔx + cosx·sinΔx cos(x + Δx) = cosx·cosΔx - sinx·sinΔx二、高階導(dǎo)數(shù)

所謂高階導(dǎo)數(shù)就是，函數(shù)的一次求導(dǎo)叫一階導(dǎo)數(shù)，對一階導(dǎo)數(shù)再次求導(dǎo)叫二階導(dǎo)數(shù)，對二階導(dǎo)數(shù)再次求導(dǎo)叫三階導(dǎo)數(shù)，對三階導(dǎo)數(shù)再次求導(dǎo)叫四階導(dǎo)數(shù)，如果求導(dǎo)n次就是n階導(dǎo)數(shù)，這些都是高階導(dǎo)數(shù)。這里舉個例子，函數(shù)f(x) = x^n，的n次導(dǎo)數(shù)，求解？ 牛頓用f '(x)表示一階導(dǎo)數(shù)，萊布尼茨在微分中使用 d/dx(x^n)來表示一階導(dǎo)數(shù)也可以用D x^n 來表示，(d/dx)d/dx(x^n)表示二階導(dǎo)數(shù)也可以用D ^2 x^n表示，n次導(dǎo)數(shù)可以用 D^n x^n

下面我們來對函數(shù)f(x) = x^n，進(jìn)行n階導(dǎo)求解：

最終是一個n!，n的階層是一個常量了，如果進(jìn)行n+1次求導(dǎo)，那么函數(shù)f(x) = x^n的n+1階導(dǎo)數(shù)就是0。三、常用導(dǎo)數(shù)公式

其中指數(shù)和對數(shù)的會比較難記住，我就是經(jīng)常記不住。o_o|||，慚愧高中指數(shù)和對數(shù)的知識也忘了。以后還是有必要專門有一篇是介紹和復(fù)習(xí)指數(shù)對數(shù)相關(guān)概念、性質(zhì)和運算法則的文章。

導(dǎo)數(shù)知識先介紹到這，關(guān)于四則運算的求導(dǎo)，網(wǎng)上已有很多資料，可以上網(wǎng)查找其相關(guān)求導(dǎo)法則，萬變不離其宗推導(dǎo)方式都可以利用第二小標(biāo)題的“求導(dǎo)公式”來計算推導(dǎo)。希望這篇文章能對你有所幫助，回憶起高中導(dǎo)數(shù)和微分相關(guān)的內(nèi)容。

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• 2. 人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)----矩陣
• 3. 人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)----線性二階近似

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的余弦函数导数推导过程_人工智能数学基础----导数的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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