pcdmis怎么导出模型_从代数几何到导出代数几何：复形的几何
最近學(xué)習(xí)的時候遇到有人使用導(dǎo)出代數(shù)幾何的語言，于是自己補(bǔ)習(xí)了一下，在這里把我領(lǐng)悟到的想法記錄下來。因?yàn)槌鯇W(xué)，所以肯定有些東西沒有把握住正確的觀點(diǎn)，大家看個樂就行~
本文適合于已掌握代數(shù)幾何基礎(chǔ)的同學(xué)閱讀。
目錄：
一、鏈復(fù)形有幾何解釋嗎？
在歲月的長河中，概形
的幾何非平凡性，大都可以表述為 上的層的截面函子 到底有多不正合。也即，我們往往考慮 上的層構(gòu)成的- 上鏈復(fù)形范疇 及其導(dǎo)出范疇
- 上鏈復(fù)形之間的態(tài)射函子 及其導(dǎo)出函子
其中
是 -模復(fù)形，其第 項(xiàng) ，我們常記 。例（導(dǎo)出完備化，[StP]091N）：給定交換環(huán)
及其主理想 ，對 ，可以看到，
關(guān)于 導(dǎo)出完備就等價于“ 在主開集 上的導(dǎo)出截面為零”，而對 作導(dǎo)出完備化就好比“把 限制在 的補(bǔ)集上”。我們不禁發(fā)問，復(fù)形自身是否具有幾何解釋？
二、代數(shù)拓?fù)浣o我們的啟發(fā)：單純方法
定理（Dold-Kan對應(yīng)，[StP]019G）：給定阿貝爾范疇
，它的度非負(fù)的鏈復(fù)形范疇就等價于它的單純對象范疇：特別地，單純
-模范疇等價于度非負(fù)的 -模鏈復(fù)形范疇：其中，一個單純集(simplicial set)
是有限序數(shù)范疇 到 的反變函子（見[StP]0169），它由集合 構(gòu)成， 里的每個元素都被稱為 -單形(simplex)。單純對象的概念和我們在代數(shù)拓?fù)淅飳W(xué)單純、奇異同調(diào)時給每個拓?fù)淇臻g 聯(lián)系上的它的所有 -單形的直觀一致。如果用這種單純的眼光看世界的話，那么一個單純集就是一個幾何空間！如此一來，Dold-Kan對應(yīng)就幫我們完成了任何一個鏈復(fù)形的幾何實(shí)現(xiàn)：每條
-模鏈復(fù)形都聯(lián)系到一個單純 -模。代數(shù)幾何研究代數(shù)的幾何，在第一節(jié)中我們遇到的復(fù)形
也理應(yīng)看作 -代數(shù)組成的復(fù)形。但是 -代數(shù)構(gòu)成的范疇 不是阿貝爾范疇！我們沒法直接使用Dold-Kan對應(yīng)給一個由 -代數(shù)組成的復(fù)形以幾何實(shí)現(xiàn)！更別談像 一樣談?wù)撍膶?dǎo)出范疇了……三、“非阿貝爾范疇
的導(dǎo)出范疇”：模型范疇及其同倫范疇為了對非阿貝爾范疇
做類似于的事情，我們轉(zhuǎn)而考慮單純
-代數(shù)組成的范疇 ，并把“定義導(dǎo)出范疇”這件事情一般化到 上來。這便是Quillen[Qui]在1967年定義的模型范疇（model category）（見[GJ]第2章）。在模型范疇
（如： ）中，有一族指定的態(tài)射 ，稱為弱等價態(tài)射(weak equivalence)（如：擬同構(gòu)(quasi-isomorphism)）。模型范疇中的主要研究對象是把它的所有弱等價態(tài)射取逆得到的范疇
，稱之為同倫范疇(homotopy category) （如： ）。我們可以對任一對象（如：
）找到它的一個弱等價替代物（如：投射預(yù)解式 ）。從而模型范疇之間的函子
（如： ）在替代物上的限制誘導(dǎo)了同倫范疇之間的導(dǎo)出函子
（如： ）。于是我們想要在
上定義模型范疇結(jié)構(gòu)。定理（[GS]4.17）：
上有典范模型范疇結(jié)構(gòu)，使得是模型范疇之間的函子。
其中
是讓一個 -模 張成一個多項(xiàng)式代數(shù) 。到了這一步，我們已經(jīng)找準(zhǔn)了導(dǎo)出代數(shù)幾何中的研究對象：單純
-代數(shù)，它們構(gòu)成范疇 。并且其同倫范疇 是單純 -代數(shù)的同倫等價類構(gòu)成的范疇。四、怎么能輕易忘記同倫呢：單純強(qiáng)化范疇
父母從小就教我們，對自己好的人我們不能忘記！你看同倫讓我們把甜甜圈等同于汽車輪胎，使我們在路過面包店的時候?qū)λ鼈兪煲暉o睹，即省下了錢又減下了肥，同倫對我們這么好同學(xué)們怎么能忘記它呢！
也就是說，對于模型范疇
，盡管它自己太復(fù)雜，使我們不得不做簡化考慮它的同倫范疇 ，但我們也不能簡化得太多，其同倫范疇理應(yīng)賦予更多的結(jié)構(gòu)。比如對于模型范疇
，其同倫范疇 的兩對象 ，我們有態(tài)射復(fù)形 ，而不簡簡單單只有 。對應(yīng)到單純對象那邊，對于模型范疇
，其同倫范疇 的兩對象 ，我們有態(tài)射單純集 ，而不簡簡單單只有 。對 也類似。這個同倫范疇，兩對象不僅僅只是有范疇對象之間的態(tài)射，而是有著一個態(tài)射空間（mapping space）！這樣的范疇被稱為單純強(qiáng)化范疇（simplicial enriched category），也即范疇里的任意兩個對象
聯(lián)系了一個單純集 ，這些單純集之間可以像態(tài)射一樣復(fù)合。我們把該同倫范疇里的對象看作“點(diǎn)”；
把兩個點(diǎn)
對應(yīng)的單純集 的 -單形看作“點(diǎn)之間的路徑”；把單純集
的 -單形看作“路徑之間的連續(xù)變化”；……
這樣同倫范疇不再僅僅是同倫等價類的全體，而是記錄了所有同倫的一個幾何空間！換句話說，單純強(qiáng)化范疇是單純、同倫的視角下的幾何空間！
定理（Dwyer-Kan局部化，[Ber]第3節(jié)）：對任一模型范疇
，存在典范單純強(qiáng)化范疇 ，使得同倫范疇 = 。這個單純強(qiáng)化范疇就是記錄了所有同倫的“強(qiáng)化版同倫范疇”。
這樣我們可以給出仿射導(dǎo)出概形（affine derived scheme）的定義：
定義（[To]2.2節(jié)）：設(shè)單純交換環(huán)構(gòu)成的模型范疇為
，其Dwyer-Kan局部化的反范疇 被稱為仿射導(dǎo)出概形范疇，記為 。五、不同的記住同倫的辦法
事實(shí)上，單純強(qiáng)化范疇只是同倫眼光下的一種幾何空間。
我們可以把兩對象
之間的態(tài)射空間 加多點(diǎn)要求，比如：它不僅僅是單純集，還是一個Kan復(fù)形（Segal范疇）；或者不讓它成為單純集，而是一般的緊生成拓?fù)淇臻g（拓?fù)鋸?qiáng)化范疇）……一般的同倫眼光下的幾何空間，理應(yīng)是無窮范疇(infinite category)。無窮范疇就是有對象、有對象之間的態(tài)射、有態(tài)射之間的態(tài)射……而沒有加入一些單純的條件或是復(fù)合的限制。
給無窮范疇加一點(diǎn)復(fù)合限制，比如
-范疇，所謂的大于 階的態(tài)射都可逆。定理（[Ber]）：單純強(qiáng)化范疇、Segal范疇、拓?fù)鋸?qiáng)化范疇，都是
-范疇的具體實(shí)現(xiàn)方式。特別地，所有的單純強(qiáng)化范疇構(gòu)成的模型范疇、所有的Segal范疇構(gòu)成的模型范疇、所有的拓?fù)鋸?qiáng)化范疇構(gòu)成的模型范疇，三者作為模型范疇等價。Lurie在他的幾大本著作中選取的
-范疇的表現(xiàn)形式是弱Kan復(fù)形。如果用nerve的觀點(diǎn)，一個Kan復(fù)形對應(yīng)著一個 ，一個弱Kan復(fù)形對應(yīng)著一個 強(qiáng)化范疇。一個 -范疇就理應(yīng)是一個 強(qiáng)化范疇（所有高階態(tài)射可逆嘛！）。所以Lurie專注于的 -范疇，其全體構(gòu)成的模型范疇也與我們之前提到的模型范疇等價！六、總結(jié)
七、參考文獻(xiàn)
[StP] The Stacks project authors, The Stacks Project, 2019.
[GJ] Goerss, P., and J.F. Jardine, Simplicial Homotopy Theory, 1999.
[To] To?n, B., Derived Algebraic Geometry, 2014.
[GS] Goerss, P., and K. Schemmerhorn, Model Categories and Simplicial Methods, 2006.
[Ber] Bergner, J.E, A Survey of (infty,1)-categories, 2006.
[Qui] Quillen, D., Homotolical Algebra, 1967.
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的pcdmis怎么导出模型_从代数几何到导出代数几何：复形的几何的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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