勾股數

是指滿足 的正整數，它們的通用公式為 ，下邊我從定義出發，利用平方差公式舉例實驗找規律，推導出這一通用公式。

由

可知

當

為奇數時 和 全都是奇數；當 為偶數時 和 全都是偶數。（ ，與 同奇同偶）

當 時， ， ，則 ， ，此時 是奇數，令 ，則 ， 。

由此可得到(3,4,5)(5,12,13)(7,24,25)(9,40,41)(11,60,61)(13,84,85)等勾股數組。

當 時， ， ，則 ， ，此時 是偶數，令 ，則 ， 。

由此可得到(4,3,5)(6,8,10)(8,15,17)(10,24,26)(12,35,37)(14,48,50)(16,63,65)等勾股數組。

當 時， ，則 ， ，此時 是3的倍數且是奇數，令 ，則 ， 。

由此可得到(9,12,15)(15,36,39)(21,72,75)(27,240,243)(33,180,183)(39,252,255))等勾股數組

...........

發現規律了嗎？讓我們來一個更直接的假設吧：

，設 ，則 ， ，求出 ， ，即 ，這可以解釋為：對任意正整數a和不大于a的每一個正整數k，總是存在兩個差為k的有理數，它們的平方差等于a2。

把

乘上去，得到 ，這就是通用勾股數公式的形式，完畢。

讓我們從頭分析一下，

這一式子中有三個變量，一個約束條件，意味著只有兩個獨立變量，取成a和b，那么推導過程中獨立變量是怎么變成a和k的呢？就在于令 時，以k取代了b。然后我們確定這個等式的通用公式用兩個獨立變量就可以表示，因此我們有兩個獨立變量后可以暴力表示，再把有理式化成等式，就可以得到一個通用公式，但這個過程中，a的含義不知不覺發生了變化。

采用相同步驟，還可以尋找

的通用公式：將式子改寫成 ，令 ，則 ， ，解得 ， ，即 ，把 提到分子上后得到了最終公式 ，a、b、k三個獨立變量可取任意正整數。

例如，

時能得到 ；取(3,2,1) 時能得到 ，可繼續化簡為 ；取(4,2,1) 時能得到；取(4,2,3) 時能得到；取(2,2,3) 時能得到；取(2,2,1) 時能得到等。

性質：1.此公式中a與b地位完全對等；

2.左邊已經有了兩個偶數，為了避免剩下的兩個也是偶數，a、b、k中必須有1或3個奇數。

注意到這個公式無法直接生成勾股數嵌套的最簡例子

，因為13、7這些數無法寫成三正整數平方和，只能由(3,4,1)生成它的兩倍式 ，因此這個公式還是有些粗糙，可能不是最終的通用公式，但已經可以用一下了。

3.(a,b,k)的輪換能產生三種不同的三平方和，

例(5,3,1)(5,1,3)(3,1,5)輪換能導出

；

(6,2,1)(6,1,2)(2,1,6)輪換能導出

。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的三个数差的平方公式推导过程_勾股数公式的简单推导的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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