NumPy線性代數

NumPy 提供了線性代數函數庫 linalg，該庫包含了線性代數所需的所有功能，可以看看下面的說明：

函數描述

dot	兩個數組的點積，即元素對應相乘。
vdot	兩個向量的點積
inner	兩個數組的內積
matmul	兩個數組的矩陣積
determinant	數組的行列式
solve	求解線性矩陣方程
inv	計算矩陣的乘法逆矩陣

numpy.dot()

numpy.dot() 對于兩個一維的數組，計算的是這兩個數組對應下標元素的乘積和(數學上稱之為內積)；對于二維數組，計算的是兩個數組的矩陣乘積；對于多維數組，它的通用計算公式如下，即結果數組中的每個元素都是：數組a的最后一維上的所有元素與數組b的倒數第二位上的所有元素的乘積和：dot(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:] * b[k,:,m])。

numpy.dot(a,b,out=None)

參數說明：

• a : ndarray 數組
• b : ndarray 數組
• out : ndarray, 可選，用來保存dot()的計算結果
  實例

import numpy.matlib import numpy as npa = np.array([[1,2],[3,4]]) b = np.array([[11,12],[13,14]]) print(np.dot(a,b))

輸出結果為：

[[37 40][85 92]]

計算式為：

[[1*11+2*13, 1*12+2*14],[3*11+4*13, 3*12+4*14]]

numpy.vdot()

numpy.vdot()函數是兩個向量的點積。如果第一個參數是復數，那么它在共軛復數會用于計算。如果參數是多維數組，它會被展開。
實例

import numpy.matlib import numpy as npa = np.array([[1,2],[3,4]]) b = np.array([[11,12],[13,14]]) print(np.vdot(a,b))

輸出結果為：

130

計算式為：

1*11 + 2*12 + 3*13 + 4*14 = 130

numpy.inner()

numpy.inner() 函數返回一維數組的向量內積。對于更高的維度，它返回最后一個軸上的和的乘積。
實例

import numpy as npprint(np.inner(np.array([1, 2, 3]), np.array([0, 1, 0]))) # 等價于 1*0+2*1+3*0

輸出結果為：

2

多維數組實例

import numpy as npa = np.array([[1, 2], [3, 4]])print('數組 a：') print(a) b = np.array([[11, 12], [13, 14]])print('數組 b：') print(b)print('內積：') print(np.inner(a, b))

輸出結果為：

數組 a： [[1 2][3 4]] 數組 b： [[11 12][13 14]] 內積： [[35 41][81 95]]

內積計算式為：

1*11+2*12, 1*13+2*14 3*11+4*12, 3*13+4*14

numpy.matmul

numpy.matmul 函數返回兩個數組的矩陣乘積。 雖然它返回二維數組的正常乘積，但如果任一參數的維數大于2，則將其視為存在于最后兩個索引的矩陣的棧，并進行相應廣播。

另一方面，如果任一參數是一維數組，則通過在其維度上附加 1 來將其提升為矩陣，并在乘法之后被去除。

對于二維數組，它就是矩陣乘法：

import numpy.matlib import numpy as npa = [[1,0],[0,1]] b = [[4,1],[2,2]] print(np.matmul(a,b))

輸出結果為：

[[4 1][2 2]]

二維和一維運算：
實例

import numpy.matlib import numpy as npa = np.arange(8).reshape(2, 2, 2) b = np.arange(4).reshape(2, 2) print(a) print(b) print(np.matmul(a, b))

輸出結果為：

[[[0 1][2 3]][[4 5][6 7]]] [[0 1][2 3]] [[[ 2 3][ 6 11]][[10 19][14 27]]]

numpy.linalg.det()

numpy.linalg.det() 函數計算輸入矩陣的行列式。

行列式在線性代數中是非常有用的值。 它從方陣的對角元素計算。 對于 2×2 矩陣，它是左上和右下元素的乘積與其他兩個的乘積的差。

換句話說，對于矩陣[[a，b]，[c，d]]，行列式計算為 ad-bc。 較大的方陣被認為是 2×2 矩陣的組合。
實例：

[[[0 1][2 3]][[4 5][6 7]]] [[0 1][2 3]] [[[ 2 3][ 6 11]][[10 19][14 27]]]

numpy.linalg.det()

numpy.linalg.det() 函數計算輸入矩陣的行列式。

行列式在線性代數中是非常有用的值。 它從方陣的對角元素計算。 對于 2×2 矩陣，它是左上和右下元素的乘積與其他兩個的乘積的差。

換句話說，對于矩陣[[a，b]，[c，d]]，行列式計算為 ad-bc。 較大的方陣被認為是 2×2 矩陣的組合。
實例

import numpy as npa = np.array([[1,2],[3,4]]) print(np.linalg.det(a))

輸出結果為：

-2.0000000000000004

實例

import numpy as npb = np.array([[6,1,1], [4, -2, 5], [2,8,7]]) print (b) print (np.linalg.det(b)) print (6*(-2*7 - 5*8) - 1*(4*7 - 5*2) + 1*(4*8 - -2*2))

輸出結果為：

[[ 6 1 1][ 4 -2 5][ 2 8 7]] -306.0 -306

numpy.linalg.solve()

numpy.linalg.solve() 函數給出了矩陣形式的線性方程的解。

考慮以下線性方程：

x + y + z = 62y + 5z = -42x + 5y - z = 27

可以使用矩陣表示為：

如果矩陣成A、X和B,方程變為：

AX = B或X = A^(-1)B

numpy.linalg.inv()

numpy.linalg.inv() 函數計算矩陣的乘法逆矩陣。
逆矩陣（inverse matrix）:設A是數域上的一個n階矩陣，若在相同數域上存在另一個矩陣B，使得：AB=BA=E,則我們稱B是A的逆矩陣，而A則被稱為可逆矩陣。注：E為單位矩陣。
實例

import numpy as npx = np.array([[1, 2], [3, 4]]) y = np.linalg.inv(x) print(x) print(y) print(np.dot(x, y))

輸出結果為：

[[1 2][3 4]] [[-2. 1. ][ 1.5 -0.5]] [[1.00000000e+00 1.11022302e-16][0.00000000e+00 1.00000000e+00]]

現在創建一個矩陣A的逆矩陣:

import numpy as npa = np.array([[1, 1, 1], [0, 2, 5], [2, 5, -1]])print('數組 a：') print(a) ainv = np.linalg.inv(a)print('a 的逆：') print(ainv)print('矩陣 b：') b = np.array([[6], [-4], [27]]) print(b)print('計算：A^(-1)B：') x = np.linalg.solve(a, b) print(x) # 這就是線性方向 x = 5, y = 3, z = -2 的解

運行結果為：

數組 a: [[ 1 1 1][ 0 2 5][ 2 5 -1]] a的逆： [[ 1.28571429 -0.28571429 -0.14285714][-0.47619048 0.14285714 0.23809524][ 0.19047619 0.14285714 -0.0952381 ]] 矩陣b: [[ 6][ 4][27]] 計算：A^(-1)B: [[ 2.71428571][ 4.14285714][-0.85714286]]

結果也可以使用以下函數獲取：

x = np.dot(ainv,b)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的B16_NumPy线性代数（dot，vdot，inner,matmul,determinant,solve,inv）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。