線性方程組的求法與示例詳解

線性方程組

由n個(gè)1維未知量，m個(gè)方程組成的組合叫做線性方程組。

特別的當(dāng)方程組右邊的值全都是0時(shí)叫做齊次線性方程組。

增廣矩陣

在系數(shù)矩陣的右邊添上一列，該列由線性方程組等號(hào)右邊的值按照順序拼接而成，該新的矩陣叫做方程組的增廣矩陣。針對(duì)如下線性方程組，我們不難得到

其系數(shù)矩陣（即由每個(gè)未知量前的系數(shù)按照順序組成的矩陣）是

而我們假設(shè)一列(方程組右邊的值)構(gòu)成新的矩陣即叫做該方程組的增廣矩陣

或者更一般的，如果我們把線性方程組簡(jiǎn)寫為Ax=b那么增廣矩陣B可以記作(A,b)。

矩陣的秩

設(shè)在m×n的矩陣A中有一個(gè)不等于0的r階子式D，且所有r+1階子式全等于0，則D是該矩陣的最高階非零子式。非零子式的最高階數(shù)即叫做矩陣的秩 記作R(A) r是rank的縮寫。不難發(fā)現(xiàn)矩陣的秩有如下特點(diǎn)：

• 矩陣的秩 R(A)大于等于0小于等于min{m,n}。
• r(A) = m 取了所有的行，叫行滿秩
• r(A) = n 取了所有的列，叫列滿秩
• r(A) < min{m,n}則叫做降秩
• A是方陣，A滿秩的充要條件是A是可逆的(轉(zhuǎn)換為A的行列式不等于0，所以可逆)
• r(A) = r的充要條件是有一個(gè)r階子式不為0，所有r+1階子式為0
• 矩陣A（m乘n階）左乘m階可逆矩陣P，右乘n階可逆矩陣Q，或者左右乘可逆矩陣PAQ不改變其秩。
• 對(duì)矩陣實(shí)施(行、列）初等變換不改變矩陣的秩
• 階梯形矩陣的秩 r(A)等于非零行的行數(shù)。
• A的秩等于A轉(zhuǎn)置的秩
• 任意矩陣乘可逆矩陣，秩不變

線性方程組與矩陣的秩

針對(duì)n元線性方程組Ax=b，它的解有如下情況：

• 無解的充要條件是R(A)<R(A,b)
• 有唯一解的充要條件是R(A)=R(A,b)=n
• 有無窮解得充要條件是R(A)=R(A,b)<n

帶參數(shù)的線性方程組的求法

該方法是根據(jù)矩陣的秩的定義來求，如果找到k階子式為0，而k-1階不為0，那么k-1即該矩陣的秩。

#Sample1（示例一），針對(duì)下列線性方程組，討論其解的情況：

當(dāng)a和b分別取什么值時(shí)

線性方程組有唯一解

線性方程組無解

線性方程組有無窮解，并求出通解。

解：

針對(duì)情況一：

線性方程組有唯一解的充要條件是R(A)=R(A,b)=n

Step1：這里我們構(gòu)造增廣矩陣 =

Step2：第1行的-3倍加到第4行上去，則此時(shí)化為：

Step3：針對(duì)step2，以第2行為軸，將第2行的1倍加到第3、4行上去，則化為：

Step4：結(jié)合方程組唯一解條件，即R(A)=R(A,b)=n，這里n=4，那么比較容易得出a≠1時(shí)滿足條件。即當(dāng)a≠1時(shí)線性方程組有唯一解。

針對(duì)情況二：當(dāng)R(A)<R(A,b)時(shí)無解，由Step3里化簡(jiǎn)后的階梯矩陣可知

當(dāng)a=1且b≠-1時(shí)R(A)=2,而R(A,b)=3即滿足R(A)<R(A,b)。

所以a=1且b≠-1時(shí)線性方程組無解。

針對(duì)情況三：當(dāng)R(A)=R(A,b)<n（n=4）時(shí)有無窮解。由Step3里化簡(jiǎn)后的階梯矩陣可知

當(dāng)a=1且b=-1時(shí)R(A)=2, R(A,b)=2，且都小于4，

所以當(dāng)a=1且b=-1時(shí)線性方程組有無窮解。

關(guān)于通解：

對(duì)Step3里接著化簡(jiǎn)，即將第1列的-1倍加到第2、3、4列上去，則得到：

那么我們?nèi)菀椎玫皆€性方程組等價(jià)于下式：

?

那么該線性方程組的一般解

其中 為任意常數(shù)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数带参数的线性方程组的求法示例详解的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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