初步理解，以離散信號為例：
已知x[0]=a,x[1]=b,x[2]=c
已知y[0]=i,y[1]=j,y[2]=k
卷積的過程為：

• 第一步，x[n]乘以y[0]并平移到位置0
• 第二步，x[n]乘以y[1]并平移到位置1
• 第三步，x[n]乘以y[2]并平移到位置2
• 最后，把上面三個結(jié)果疊加，就得到了x[n]?y[n]

從這里，可以看到卷積的重要的物理意義是：一個函數(shù)（如：單位響應(yīng)）在另一個函數(shù)（如：輸入信號）上的加權(quán)疊加。

對于線性時不變系統(tǒng)，如果知道該系統(tǒng)的單位響應(yīng)，那么將單位響應(yīng)和輸入信號求卷積，就相當于把輸入信號的各個時間點的單位響應(yīng) 加權(quán)疊加，就直接得到了輸出信號。

通俗的說：在輸入信號的每個位置，疊加一個單位響應(yīng)，就得到了輸出信號。這正是單位響應(yīng)是如此重要的原因。

卷積實例：

卷積的定義：我們稱 (f?g)(n)為 f,g 的卷積
其連續(xù)的定義為：(f?g)(n)=∫∞?∞f(τ)g(n?τ)dτ
其離散的定義為： (f?g)(n)=∑τ=?∞∞f(τ)g(n?τ)
離散卷積的例子：丟骰子
我有兩枚骰子,把這兩枚骰子都拋出去，兩枚骰子的點數(shù)和是4的概率？
這里問題的關(guān)鍵是，兩個骰子加起來要等于4，這正是卷積的應(yīng)用場景：

其中f表示第一枚骰子，g表示第二枚骰子，f(1)投出1的概率，以此類推。下面是兩枚骰子點數(shù)加起來為4的情況：

因此，兩枚骰子點數(shù)加起來為4的概率為：

f(1)g(3)+f(2)g(2)+f(3)g(1)
符合卷積的定義，把它寫成標準的形式就是： (f?g)(4)=∑m=13f(4?m)g(m)

圖像處理的例子：
有這么一副圖像，可以看到，圖像上有很多噪點，即高頻信號，現(xiàn)需要平滑，而卷積可以幫助實現(xiàn)這個平滑算法。
有噪點的原圖，可以把它轉(zhuǎn)為一個矩陣：

然后用下面的這個g平均矩陣來平滑圖像

g=?????????191919191919191919?????????
把高頻信號與周圍的數(shù)值平均一下就可以得到平滑，比如我要平滑 a1,1點，就在矩陣中，取出 a1,1 點附近的點組成矩陣 f，和 g 進行卷積計算后，再填回去：

寫成卷積公式就是：(f?g)(1,1)=∑k=02∑h=02f(h,k)g(1?h,1?k)
這樣相當于實現(xiàn)了 g 這個矩陣在原來圖像上的劃動

又一例子：

關(guān)于卷積的一個血腥的講解比如說你的老板命令你干活，你卻到樓下打臺球去了，后來被老板發(fā)現(xiàn)，他非常氣憤，扇了你一巴掌（注意，這就是輸入信號，脈沖），于是你的臉上會漸漸地（賤賤地）鼓起來一個包，你的臉就是一個系統(tǒng)，而鼓起來的包就是你的臉對巴掌的響應(yīng)，好，這樣就和信號系統(tǒng)建立起來意義對應(yīng)的聯(lián)系。下面還需要一些假設(shè)來保證論證的嚴謹：假定你的臉是線性時不變系統(tǒng)，也就是說，無論什么時候老板打你一巴掌，打在你臉的同一位置，你的臉上總是會在相同的時間間隔內(nèi)鼓起來一個相同高度的包來，并且假定以鼓起來的包的大小作為系統(tǒng)輸出。好了，那么，下面可以進入核心內(nèi)容——卷積了！
如果你每天都到地下去打臺球，那么老板每天都要扇你一巴掌，不過當老板打你一巴掌后，你5分鐘就消腫了，所以時間長了，你甚至就適應(yīng)這種生活了……如果有一天，老板忍無可忍，以0.5秒的間隔開始不間斷的扇你的過程，這樣問題就來了，第一次扇你鼓起來的包還沒消腫，第二個巴掌就來了，你臉上的包就可能鼓起來兩倍高，老板不斷扇你，脈沖不斷作用在你臉上，效果不斷疊加了，這樣這些效果就可以求和了，結(jié)果就是你臉上的包的高度隨時間變化的一個函數(shù)了（注意理解）；如果老板再狠一點，頻率越來越高，以至于你都辨別不清時間間隔了，那么，求和就變成積分了。可以這樣理解，在這個過程中的某一固定的時刻，你的臉上的包的鼓起程度和什么有關(guān)呢？和之前每次打你都有關(guān)！但是各次的貢獻是不一樣的，越早打的巴掌，貢獻越小，所以這就是說，某一時刻的輸出是之前很多次輸入乘以各自的衰減系數(shù)之后的疊加而形成某一點的輸出，然后再把不同時刻的輸出點放在一起，形成一個函數(shù)，這就是卷積，卷積之后的函數(shù)就是你臉上的包的大小隨時間變化的函數(shù)。本來你的包幾分鐘就可以消腫，可是如果連續(xù)打，幾個小時也消不了腫了，這難道不是一種平滑過程么？

卷積矩陣及其運算實例：

矩陣的卷積運算主要用在圖像處理中，假設(shè)輸入信號為x[m,n]，激活響應(yīng)為h[m,n]，則其卷積定義為：

y[m,n]=x[m,n]?h[m,n]=∑j=?∞∞∑i=?∞∞x[i,j]?h[m?i,n?j]
不過在圖像處理中這里的激活響應(yīng)（也稱為核）h[m,n]通常是一個3乘3矩陣，其下標如下圖所示：

其余下標的值取0，注意到原點(0,0)是是矩陣的中心。

在圖像處理中，輸入信號x[m,n]的非零值通常是橫坐標從0到M-1，縱坐標從0到N-1，這里M和N分別是圖像寬和高的值，其余的值設(shè)置為0。但是下面的例子的輸入矩陣的下標范圍和核矩陣相同，也就是（-1，1）。

根據(jù)定義可以直接計算矩陣的卷積。假設(shè)我們有一個3x3的核和一個3x3的輸入：

具體的計算過程如下：

計算過程中不在卷積范圍的下標元素都設(shè)為0。
例如：

從以上卷積的公式可以得到上述的y[0,0]的計算過程，可以看到就是下面的過程：

在這里y[0,1],y[0,2]....的計算過程就省略了。

參考：
https://www.zhihu.com/question/22298352/answer/228543288
https://mlnotebook.github.io/post/CNN1/

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的卷积的理解的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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