最長上升子序列

n^2做法，和簡單用前一個更新，不說了；

nlogn算法：

以下轉(zhuǎn)自博客

D_Double's Journe

此外，我們用一個變量Len來記錄現(xiàn)在最長算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是說當只有1一個數(shù)字2的時候，長度為1的LIS的最小末尾是2。這時Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是說長度為1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已經(jīng)沒用了，很容易理解吧。這時Len=1

接著，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是說長度為2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。這時候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再來，d[4] = 3，它正好加在1,5之間，放在1的位置顯然不合適，因為1小于3，長度為1的LIS最小末尾應(yīng)該是1，這樣很容易推知，長度為2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，這時候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

繼續(xù)，d[5] = 6，它在3后面，因為B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 這時B[1..3] = 1, 3, 6，還是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6個, d[6] = 4，你看它在3和6之間，于是我們就可以把6替換掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len繼續(xù)等于3

第7個, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len變成4了

第8個, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len繼續(xù)增大，到5了。

最后一個, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之間，所以我們知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我們知道了LIS的長度為5。

!!!!! 注意。這個1,3,4,7,9不是LIS，它只是存儲的對應(yīng)長度LIS的最小末尾。有了這個末尾，我們就可以一個一個地插入數(shù)據(jù)。雖然最后一個d[9] = 7更新進去對于這組數(shù)據(jù)沒有什么意義，但是如果后面再出現(xiàn)兩個數(shù)字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的長度為6。

然后應(yīng)該發(fā)現(xiàn)一件事情了：在B中插入數(shù)據(jù)是有序的，而且是進行替換而不需要挪動——也就是說，我們可以使用二分查找，將每一個數(shù)字的插入時間優(yōu)化到O(logN)~~~~~于是算法的時間復(fù)雜度就降低到了O(NlogN)～！

簡單來說就是做一個數(shù)列保存 構(gòu)成該長度子序列的所有可能中最后一個數(shù)最小的 那個序列的最后一個數(shù)，可以用二分優(yōu)化，因為序列一定是上升的嘛！

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int ans[100000];
int a[100000];int len=1;
inline int mid_serch(int x)
{
    int l=0,r=len;
    while(l<=r)
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(ans[mid]<a[x])l=mid+1;
        else r=mid-1;
    }
    return l;
} 
int main()
{
    int m;
    scanf("%d",&m);
    for(int i=1;i<=m;++i)scanf("%d",a+i);
    ans[1]=a[1];
    for(int i=2;i<=m;++i)
    {
        if(a[i]>ans[len])
        ans[++len]=a[i];
        else {
            int tmp=mid_serch(i);
            ans[tmp]=a[i];
        }
    }
    printf("%d",len);
}

最長公共子序列 n ^2

lcs 設(shè) A B 串

用dp[i][j]表示只考慮A串前i位，B串前j位的LCS長度。
要么A[i]和B[j]匹配不上 要么放棄A[i]要么放棄B[j]。
輕易地可以設(shè)計出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。
if (a[i]==b[j]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1; else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
復(fù)雜度O(n^2)，轉(zhuǎn)移O(1);

O(“nlogn”)做法

做一個序列，保存：

串B與串A所匹配字符在串A中的位置

然后求該序列的最長上升子序列

（從前往后排）

，若果匹配項少的話復(fù)雜度 為O(nlogn)反之退化為O(n^n);

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的子序列问题的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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