1 記號 (notations)

(1) 廣義實數: $overline{bR}=bRcupsed{-infty}cupsed{+infty}$.

(2) 本章主要考慮 $$ex f:E o overline{bR}, eex$$

其中 $E$ 是可測集, 而把 $$ex f:E o bR eex$$

稱為有限函數.

注意: 有限函數、有界函數的區別.

(3) $$ex E[f>c]=sed{xin E;f(x)>a}quadsex{xmbox{ 是啞巴}}. eex$$

2 可測函數的定義: $$ex f:E o overline{bR}mbox{ 可測}lra forall cinbR, E[f>c]mbox{ 可測}. eex$$

(1) 例 1: $dps{D(x)}$ 可測: $$ex overline{bR}[D>c]=sedd{a{ll} vno,&cgeq 1,\ bQ,&0leq c<1,\ bR,&c<0. ea}. eex$$

(2) 例 2: $E=(a,b)$ 上的連續函數、單調函數可測: $$ex fmbox{ 連續}a E[f>c] mbox{ 是開集}; eex$$ $$ex fmbox{ 單增}a E[f>c] mbox{ 是區間}. eex$$

注: 區間 $I$ 的意思是: $a,bin I, a<ba [a,b]in I$.

3 可測函數的等價定義: $$ex fmbox{ 可測}lra sedd{a{ll} (1)&forall c, E[fgeq c]mbox{ 可測},\ (2)&forall c, E[f<c] mbox{ 可測},\ (3)&forall c, E[fleq cmbox{ 可測},\ (4)&forall -infty<a<b<+infty, E[aleq f<b]mbox{ 可測},\ &(ambox{ 需要 }f mbox{ 是有限函數}). ea} eex$$

證明: $$ex E[fgeq c]=cap_{i=1}^infty Esez{fgeq c-frac{1}{i}}, eex$$ $$ex E[f>c]=cup_{i=1}^infty Esez{fgeq c+frac{1}{i}}, eex$$ $$ex E[aleq f<b]=E[fgeq a]-E[fgeq b], eex$$ $$ex fmbox{ 有限}a E[fgeq a]=cup_{i=1}^infty E[aleq f<a+i]. eex$$

(1) 推論: $E[f=c]$ 可測.

證明: $$ex cinbRa E[f=c]=E[fgeq c]-E[f>c], eex$$ $$ex c=+inftya E[f=c]=cap_{i=1}^infty E[f>i], eex$$ $$ex c=-inftya E[f=c]=cap_{i=1}^infty E[f<-i]. eex$$

4 重要的可測函數類 I---連續函數類

(1) $f: E o overline{bR}$ 在點 $x_0in E$ 處連續, 如果 $f(x_0)inbR$, 且 $$ex forall ve>0, exists delta>0,st xin Ecap B(x_0,delta)a |f(x)-f(x_0)|<ve. eex$$

注: $f$ 在 $E$ 的孤立點上連續.

(2) 設 $f:E ooverline{bR}$ 連續, 則 $f$ 可測.

證明: 由 $$ex xin E[f>c]&a f(x)>c a exists delta_x>0,st Ecap B(x,delta_x)subset E[f>c] eex$$

知 $$ex E[f>c]=cup_{xin E[f>c]}sez{Ecap B(x,delta_x)} =sez{cup_{xin E[f>c]}B(x,delta_x)}cap E. eex$$

5 重要的可測函數類 II---簡單函數類

(1) 設 $f$ 在 $E$ 上可測, $ ilde E(subset E)$ 可測, 則 $f$ 在 $ ilde E$ 上的限制 $f: ilde E ooverline{bR}$ 也

可測: $$ex ilde E[f>c]= ilde Ecap E[f>c]. eex$$

(2) $f$ 在 $sed{E_i}_{i=1}^j$ 上可測 $a f$ 在 $dps{E=cup_{i=1}^j}$ 上可測: $$ex E[f>c]=cup_{i=1}^j E_i[f>c]. eex$$

(3) 簡單函數: 設 $sed{E_i}_{i=1}^j$ 兩兩不交, 可測, $$ex f:E=cup_{i=1}^j E_i o overline{bR} eex$$

使得 $f(x)=c_i, xin E_i$, 則稱 $f$ 為簡單函數, 記作 $$ex f(x)=sum_{i=1}^j c_ichi_{E_i}(x),quad xin E. eex$$

(4) 例: $D(x)$ 是 $bR$ 上的簡單函數.

(5) 簡單函數可測.

6 可測函數的四則運算

(1) $f,g$ 可測 $dps{a -f,fpm g, |f|,frac{1}{f}, f^2,fcdot g}$ 可測.

證明: $$eex ea E[-f>c]&=E[f<-c];\ E[f+g>c]&=E[f>c-g]\ &=cup_{rinbQ}sex{E[f>r]cap E[r>c-g]}\ &=cup_{rinbQ}sex{E[f>r]cap E[g>c-r]};\ f-g&=f+(-g);\ Esez{frac{1}{f}>c} &=sedd{a{ll} E[f>0]cap Esez{f<frac{1}{c}},&c>0\ E[f>0]s E[f=+infty],&c=0\ E[f>0]cup Esez{f<frac{1}{c}},&c<0 ea};\ E[f^2>c]&=sedd{a{ll} E[f>sqrt{c}]cup E[f<-sqrt{c}],&cgeq 0\ E,&c<0 ea};\ fcdot g&=frac{1}{4}[(f+g)^2-(f-g)^2]. eea eeex$$

(2) 推論: $$ex fmbox{ 可測}lra mbox{正部 }f^+=maxsed{f,0},mbox{ 負部 }f^-=-minsed{f,0}, mbox{ 可測}. eex$$

證明: $a$ $$ex f^+=frac{|f|+f}{2},quad f^-=frac{|f|-f}{2}. eex$$

$la$ $f=f^+-f^-$.

7 可測函數的極限運算:

(1) $$ex f_imbox{ 可測}a m(x)=inf_{igeq 1}f_i(x), M(x)=sup_{igeq 1}f_i(x)mbox{ 可測}: eex$$ $$eex ea E[mgeq c]&=cap_{i=1}^infty E[f_igeq c];\ E[Mleq c]&=cap_{i=1}^infty E[f_ileq c]. eea eeex$$

(2) $$ex f_imbox{ 可測}a varliminf_{i oinfty}f_i, varlimsup_{i oinfty}f_imbox{ 可測}: eex$$ $$ex varliminf_{i oinfty}f_i =sup_{igeq 1}inf_{jgeq i}f_j,quad varlimsup_{i oinfty}f_i =inf_{igeq 1}sup_{jgeq i}f_j. eex$$

8 可測函數與簡單函數的關系:

(1) $$ex fmbox{ 非負可測}a existsmbox{ 簡單函數列 }sed{phi_k},st phi_k
earrow f. eex$$

證明: 取 $$eex ea E_{k,j}&=Esez{frac{j-1}{2^k}leq f<frac{j}{2^k}},quad j=1,2,cdots,k2^k;\ E_k&=E[fgeq k],quad k=1,2,cdots. eea eeex$$

后, 作 $$ex phi_k(x)=sedd{a{ll} frac{j-1}{2^k},&xin E_{k,j},\ k,&xin E_k. ea}. eex$$

則 $phi_k$ 為簡單函數, 且 $$ex phi_kleq phi_{k+1}leq f: eex$$ $$eex ea xin E_{k,j}&a frac{j-1}{2^k}leq f(x)<frac{j}{2^k}\ &a frac{2j-2}{2^{k+1}}leq f(x)<frac{2j}{2^{k+1}}\ &a frac{2j-2}{2^{k+1}}leq f(x)<frac{2j-1}{2^{k+1}}mbox{ 或 } frac{2j-1}{2^{k+1}}leq f(x)<frac{2j}{2^{k+1}}\ &a phi_{k+1}(x)=frac{2j-2}{2^{k+1}}mbox{ 或 }frac{2j-1}{2^{k+1}}geq frac{j-1}{2^k}=phi_k(x),\ xin E_k&a f(x)geq k\ &a f(x)geq k+1mbox{ 或 }frac{j-1}{2^{k+1}}leq f(x)<frac{j}{2^{k+1}}\ &quadsex{j=(k+1)2^{k+1},cdots,k2^{k+1}+1}\ &a phi_{k+1}(x)=k+1mbox{ 或 } frac{j-1}{2^{k+1}}geq k=phi_k(x). eea eeex$$

往證 $phi_k o f$:

若 $f(x)=+infty$, 則 $phi_k(x)=k$;

若 $f(x)<+infty$, 則當 $k>f(x)$ 時, $$ex 0leq f(x)-phi_k(x)<frac{1}{2^k}. eex$$

(2) $$ex fmbox{ 可測}a exists mbox{ 簡單函數列 }phi_k,st phi_k o f. eex$$

證明: $$ex a{ccccc} f&=&f^+&-&f^-\ uparrow&&uparrow&&uparrow\ phi_k&=&phi_{1k}&-&phi_{2k} ea. eex$$

(3) $$ex fmbox{ 有界可測}a existsmbox{ 簡單函數列 }sed{phi_k},st phi_kightrightarrows f. eex$$

證明: 設 $|f|leq M$, 則當 $k>M$ 時, $$ex |f^+-phi_{1k}|<frac{1}{2^k},quad |f^--phi_{2k}|<frac{1}{2^k}, eex$$

而 $$ex |f-phi_k|<frac{1}{2^{k-1}}. eex$$

(4) 總結: $$ex mbox{ 非負可測}ambox{單調逼近};quadmbox{可測}a mbox{點點逼近};quad mbox{有界可測}a mbox{一致逼近}. eex$$

9 一個定義: 設 $E$ 是集合, $pi$ 是命題, 若 $$ex exists Zsubset E, mZ=0,st pimbox{ 在 }Es Zmbox{ 上成立}, eex$$

則稱 $pi$ 在 $E$ 上幾乎處處成立, 記作 $pi ae$ 于 $E$ (almost everywhere).

(1) 例 1: $| an x|<infty$ $ae$ 于 $bR$.

(2) 例 2: $D(x)=0$, $ae$ 于 $bR$.

(3) $$ex left.a{ll} pi_1,aembox{ 于 }E\ pi_2,aembox{ 于 }E eaight}a pi_1cap pi_2,aembox{ 于 }E. eex$$

(4) 例: 若 $f=g$, $ae$ 于 $E$; $g=h$, $ae$ 于 $E$, 則 $f=h$, $ae$ 于 $E$.

10 作業: Page 94, T 2.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[实变函数]4.1 可测函数 (measurable function) 及其性质的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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