萊尼問：“喬治，我們能用括號釣魚嗎？”
喬治笑答：“能，但只能釣理論魚?！?/p>

力學(xué)公理化形式

我們抽象出一套規(guī)則來玩泊松括號，而不是計(jì)算泊松括號。你可以檢驗(yàn)一下這些規(guī)則。設(shè) (A)、(B) 和 (C) 都是 (p) 和 (q) 的函數(shù)，根據(jù)上一講的內(nèi)容，我們可以定義泊松括號：

egin{equation}
{A,C} = sum_i left ( frac{partial A}{partial q_i}frac{partial C}{partial p_i} - frac{partial A}{partial p_i}frac{partial C}{partial q_i} ight )
label{eq1}
end{equation}

泊松括號如下性質(zhì)：

反對稱性：交換兩個(gè)函數(shù)，泊松括號改變符號：

egin{equation}
{A,C} = -{C,A}
label{eq2}
end{equation}

特別地，兩個(gè)同樣的函數(shù)的泊松括號的運(yùn)算結(jié)果為0：

egin{equation}
{A,A} = 0
label{eq3}
end{equation}

線性。線性帶來兩個(gè)性質(zhì)。第一，如果函數(shù) (A) 乘上一個(gè)常數(shù) (k)，則泊松括號的結(jié)果也乘上該常數(shù)：

egin{equation}
{kA,C}=k{A,C}
label{eq4}
end{equation}

第二，兩個(gè)函數(shù)的和 (A+B) 與第三個(gè)函數(shù) (C) 的泊松括號等于 (A) 和 (B) 分別與 (C) 的泊松括號的和：

egin{equation}
{A+B,C} = {A,C} + {B,C}
label{eq5}
end{equation}

兩個(gè)函數(shù)的積 (AB) 與第三個(gè)函數(shù) (C)的泊松括號滿足如下關(guān)系：

egin{equation}
{AB,C} = B{A,C} + A{B,C}
label{eq6}
end{equation}

這個(gè)關(guān)系可由求導(dǎo)規(guī)則得到：

egin{equation*}
frac{partial (AB)}{partial q} = B frac{partial A}{partial q} + A frac{partial B}{partial q}
end{equation*}

對 (p) 求導(dǎo)也有類似結(jié)果。

兩個(gè) (q) 或兩個(gè) (p) 的泊松括號都為0：

egin{equation}
egin{split}
&{q_i,q_j} = 0\
&{p_i,p_j} = 0
end{split}
label{eq7}
end{equation}

(q) 與 (p) 的泊松括號未必為0，而是滿足如下結(jié)果：

egin{equation}
{q\_i,p\_j} = delta\_{ij}
label{eq8}
end{equation}

其中 (delta\_{ij}) 為 克羅內(nèi)克符號，當(dāng) (i=j) 時(shí)，(delta\_{ij}=1)，當(dāng) (i
eq j) 時(shí)，(delta\_{ij}=0)。

現(xiàn)在我們就可以計(jì)算任何泊松括號了。我們可以忘記泊松括號的定義了，方程 eqref{eq2}、eqref{eq3}、eqref{eq4}、eqref{eq5}、eqref{eq6}、eqref{eq7}、eqref{eq8} 可以作為一套數(shù)學(xué)形式體系的公理。

比如，我們要計(jì)算下式：

egin{equation}
{q^n,p}
label{eq9}
end{equation}

為簡單起見，系統(tǒng)只有一個(gè)(q) 和一個(gè) (p)。這里先給出答案，然后再證明。答案是：

egin{equation}
{q^n,p}=nq^{n-1}
label{eq10}
end{equation}

可以用數(shù)學(xué)歸納法 證明上式。證明分兩步。第一步，假設(shè)對于 (n)，方程eqref{eq10}成立，并證明對于 (n+1) 也成立。第二步，證明 (n=1) 時(shí)結(jié)論成立。

將 (n) 替換為 (n+1)，將方程eqref{eq6}應(yīng)用于方程eqref{eq9}，有：

egin{equation*}
{q^{n+1},p}={qcdot q^n,p}=q{q^n,p}+q^n{q,p}
end{equation*}

根據(jù)方程eqref{eq8}，({q,p}=1)，上式為：

egin{equation*}
{q^{n+1},p}={qcdot q^n,p}=q{q^n,p}+q^n
end{equation*}

應(yīng)用最后的結(jié)論，即eqref{eq10}，可得：

egin{equation}
{q^{n+1},p}=q{q^n,p}+q^n=qnq^{n-1}+q^n=(n+1)q^n
label{eq11}
end{equation}

方程eqref{eq11}正是 (n+1) 時(shí)的歸納結(jié)論。

下一步我們需要證明方程eqref{eq10}對 (n=1)成立。而 (n=1) 時(shí)，方程eqref{eq10}為({q,p}=1)，這是顯然成立的。因此方程eqref{eq10}得證。

我們下面重新表述這個(gè)例子，并得到更深刻的結(jié)果。注意到 (nq^{n-1}) 正是 (q^n) 對 (q) 的導(dǎo)數(shù)。因此有：

egin{equation}
{q^n,p}=frac{dq^n}{dq}
label{eq12}
end{equation}

如果計(jì)算 (q) 的任意多項(xiàng)式（甚至是無窮冪級數(shù)）與 (p) 的泊松括號，可以將方程 eqref{eq12}應(yīng)用到多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，利用泊松括號的線性性質(zhì)，將這些項(xiàng)再加起來，則可以證明：

egin{equation}
{F(q),p}=frac{dF(q)}{dq}
label{eq13}
end{equation}

由于任何光滑函數(shù)都可以用多項(xiàng)式做任意精確的近似，因此可以證明方程eqref{13}對 (q) 的任意函數(shù)都成立。其實(shí)，可以有更一般的結(jié)論，對于 (q) 和 (p) 的任意函數(shù)，可以證明：

egin{equation}
{F(q,p),p_i}=frac{partial F(q,p)}{partial q_i}
label{eq14}
end{equation}

練習(xí)1：證明方程eqref{eq14}

至此，我們發(fā)現(xiàn)了泊松括號的一個(gè)新性質(zhì)：任意函數(shù)與 (p_i) 的泊松括號等效于求該函數(shù)對 (q_i) 的偏導(dǎo)數(shù)。我們可以從泊松括號的定義證明此結(jié)論，但是

函數(shù) (F(q,p)) 與 (q_i) 的泊松括號會是什么結(jié)果？由對稱性你可能可以猜到結(jié)果，包括fu

egin{equation}
{F(q,p),q_i}=frac{partial F(q,p)}{partial q_i}
label{eq15}
end{equation}

練習(xí)2：哈密頓方程可以寫為 (dot{q}={q,H})和 (dot{p}={p,H})，假設(shè)哈密頓量為(H=frac{p^2}{2m}+V(q))，請根據(jù)泊松括號公理，導(dǎo)出牛頓方程。

角動量

在第7講中，我們解釋了旋轉(zhuǎn)對稱性與角動量守恒之間的關(guān)系。這里我們用在 (x,y) 平面內(nèi)運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，做個(gè)簡要的回顧。無限小轉(zhuǎn)動形式如下：

egin{equation}
egin{split}
&delta x = epsilon f_x = -epsilon y \
&delta y = epsilon f_y = epsilon x
end{split}
label{eq16}
end{equation}

假設(shè)拉格朗日量是不變量，我們可得到一個(gè)守恒量

egin{equation*}
mathcal{Q}=p_xf_x+p_yf_y
end{equation*}

小小改變符號，我們稱其為角動量(L)：

egin{equation}
L=xp_y-yp_x
label{eq17}
end{equation}

現(xiàn)在我們推廣至三維空間，方程eqref{eq16} 仍然適用，但是意義有變，此時(shí)表示系統(tǒng)繞 (z) 軸旋轉(zhuǎn)。我們可以再補(bǔ)充一個(gè)方程，表示繞 (z) 軸的旋轉(zhuǎn)不改變 (z) 坐標(biāo)：

egin{equation}
egin{split}
&delta x = epsilon f_x = -epsilon y \
&delta y = epsilon f_y = epsilon x \
&delta z=0
end{split}
label{eq18}
end{equation}

方程eqref{eq17} 仍成立，只是我們將其重新解釋為角動量的 (z) 分量。角動量的其他兩個(gè)分量同樣容易算出，根據(jù)方程的變量循環(huán)可猜出具體的形式：

egin{equation*}
egin{split}
&L_z=xp_y-yp_x \
&L_x=yp_z-zp_y \
&L_y=zp_x-xp_y
end{split}
end{equation*}

你可能已經(jīng)猜到，如果系統(tǒng)對每個(gè)軸都有旋轉(zhuǎn)對稱性，則矢量 (vec{L}) 的每個(gè)分量都是守恒量。

現(xiàn)在我們與角動量有關(guān)的泊松括號。比如 (x)、(y) 和 (z) 與 (L_z) 的泊松括號：

egin{equation}
egin{split}
&{x,L_z} = {x,xp_y-yp_x} \
&{y,L_z} = {y,xp_y-yp_x} \
&{z,L_z} = {z,xp_y-yp_x}
end{split}
label{eq19}
end{equation}

以上各式可以根據(jù)泊松括號的定義來計(jì)算，也可以通過公理來計(jì)算。

練習(xí)3：根據(jù)泊松括號的定義或公理計(jì)算方程eqref{eq19}

結(jié)果如下：

egin{equation*}
egin{split}
&{x,L_z} = -y \
&{y,L_z} = x \
&{z,L_z} = 0
end{split}
end{equation*}

與方程eqref{eq18}對比，我們會發(fā)現(xiàn)一種很有趣的模式。坐標(biāo)與 (L_z) 求泊松括號會重得對 (z) 軸的無窮小轉(zhuǎn)動（除了因子 (epsilon)）：

egin{equation*}
egin{split}
&{x,L_z} sim delta x \
&{y,L_z} sim delta y \
&{z,L_z} sim delta z
end{split}
end{equation*}

其中 (sim) 表示“除了因子 (epsilon)”。

對一守恒量做泊松括號運(yùn)算可得坐標(biāo)在與守恒定律相關(guān)的對稱性下的坐標(biāo)變換，這不是偶然的。這是一個(gè)一般性結(jié)論，給我們另一種思考對稱性與守恒之間關(guān)系的方式。我們討論這種關(guān)系之前，我們討論一下其他與角動量相關(guān)的泊松括號計(jì)算。首先，容易將計(jì)算推廣至 (L) 的其他分量，循環(huán)一下坐標(biāo) (xightarrow y,quad yightarrow z,quad zightarrow x)，即可得到結(jié)果。你會得到6個(gè)方程，有無優(yōu)雅地方法寫出所有結(jié)果？有！

插播數(shù)學(xué)：列維-奇維塔符號

如果有一堆符號反復(fù)出現(xiàn)，就值得發(fā)明一個(gè)記號將這一堆符號表示出來。克羅內(nèi)克符號(delta\_{ij})就是這樣的一個(gè)例子。下面我們給出另外例子——列維-奇維塔符號(epsilon\_{ijk})。與克羅內(nèi)克符號一樣，列維-奇維塔符號的下標(biāo)(i,j,k)也表示空間的三個(gè)方向，可以是(x,y,z)，有可以是(1,2,3)?？肆_內(nèi)克符號有兩個(gè)取值：1（(i=j)時(shí)）或者0（(i
eq j)時(shí)）。(epsilon)符號有三個(gè)取值：0，1，或-1，(epsilon\_{ijk}) 的規(guī)則比 (delta\_{ij}) 稍復(fù)雜。

如果有兩個(gè)下標(biāo)相同，(epsilon\_{ijk}=0)，比如 (epsilon\_{111}=0)，(epsilon\_{223}=0)。三個(gè)下標(biāo)中沒有相同下標(biāo)時(shí)，(epsilon\_{ijk}) 才不等于0。這有六種情況：(epsilon\_{123})、(epsilon\_{231})、(epsilon\_{312})、(epsilon\_{213})、(epsilon\_{132})、(epsilon\_{321})，前三個(gè)值為(1)，后三個(gè)值為(-1)。

這兩種情況有何不同？把(1, 2, 3) 排在一個(gè)圓周上，就像只有3個(gè)小時(shí)的鐘表，見圖1。

圖1 三個(gè)數(shù)字 (1, 2, 3) 排在一個(gè)圓周上

從任何一個(gè)數(shù)字開始，順時(shí)針走過這三個(gè)數(shù)字，你會得到 ((123), (231), (312))。如果你逆時(shí)針走過這三個(gè)數(shù)字，你會得到((132), (213), (321))。對于順時(shí)針序列，(epsilon\_{ijk}=1)。對于逆時(shí)針序列，(epsilon\_{ijk}=-1)。

續(xù)論角動量

利用(epsilon) 符號，坐標(biāo)與角動量分量的泊松括號可寫為：

egin{equation}
{x\_i,L\_j}=sum\_k epsilon\_{ijk}x\_k
label{eq20}
end{equation}

比如你想知道({y,L_x}) 的結(jié)果，把 (x,y,z) 分別定義為 (1,2,3)，方程eqref{eq20}即為：

egin{equation*}
{x_2,L_1}=epsilon_{213}x_3
end{equation*}

由于(213)是逆時(shí)針序列，因此 (epsilon_{213}=-1)，因此

egin{equation*}
{x_2,L_1}=-x_3
end{equation*}

現(xiàn)在我們另一組泊松括號——?jiǎng)恿颗c角動量的泊松括號，利用(epsilon) 符號，易得結(jié)果為：

egin{equation*}
{p_i,L_j}=sum_k epsilon_{ijk}p_k
end{equation*}

比如，

egin{equation*}
{p_x,L_z}=-p_y
end{equation*}

容易注意到，(p) 與 (L) 的泊松括號與 (x) 與 (L) 的泊松括號，形式完全一樣，這很有意思，在坐標(biāo)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)之后，(p) 和 (x) 的變換是一樣的。正如經(jīng)過繞(z)軸旋轉(zhuǎn)之后，(delta x sim y)，(p_x) 的變換量也正比于(-p_y)。

這里面的水深著呢。坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)之后，要計(jì)算任何一個(gè)量的變化量，只需計(jì)算該量與角動量的泊松括號。對于繞第 (i) 軸的旋轉(zhuǎn)，有：

egin{equation}
delta F={F,L_i}
label{eq21}
end{equation}

角動量是旋轉(zhuǎn)操作的生成元。

我們還會再回到這個(gè)主題，還有對稱變換、泊松括號與守恒量之間的密切聯(lián)系。我們先說明一下，如何用泊松括號分析和解決問題。

轉(zhuǎn)子和進(jìn)動

我們還沒有計(jì)算角動量三個(gè)分量之間的泊松括號。自身與自身的泊松括號總是0，但是(L)不同分量之間的泊松括號不是0?？紤]

egin{equation*}
{L_x,L_y}={yp_z-zp_y,zp_x-xp_z}
end{equation*}

根據(jù)泊松括號定義，或者根據(jù)力學(xué)公理，我們都可以得到：

egin{equation*}
{L_x,L_y}=L_z
end{equation*}

你不妨試一下。

一般關(guān)系可以通過列維-奇維塔符號寫出來：

egin{equation}
{L_i,L_j}=sum_k epsilon_k L_k
label{eq22}
end{equation}

非常漂亮的形式。我們能做些什么呢？為了見識一下方程eqref{eq22}等關(guān)系的威力，我們考慮外太空一個(gè)快速轉(zhuǎn)動的小球，我們稱其為轉(zhuǎn)子。在任意時(shí)刻，轉(zhuǎn)子都有一個(gè)轉(zhuǎn)動軸，角動量即沿轉(zhuǎn)軸的方向。如果轉(zhuǎn)子不受任何外在影響，它的角動量守恒。

假設(shè)轉(zhuǎn)子帶有電荷。由于轉(zhuǎn)子在高速旋轉(zhuǎn)，它就像一個(gè)南北極沿著轉(zhuǎn)軸的電磁體。偶極的大小正比于轉(zhuǎn)速，更好的說法是正比于角動量。如果不把轉(zhuǎn)子置于磁場中，這兩種說法沒有什么不同。如果將帶電轉(zhuǎn)子置于磁場(vec{B})中，就會有一個(gè)與(vec{L}) 與 (vec{B})不平行相關(guān)的能量項(xiàng)，見圖2。

圖2 轉(zhuǎn)子取向與外磁場方向之間的夾角

這個(gè)能量正比于兩個(gè)矢量夾角的余弦值，也正比于兩個(gè)矢量的大小的積，即正比于兩個(gè)矢量的點(diǎn)積：

egin{equation}
Hsim vec{B}cdot vec{L}
label{eq23}
end{equation}

這里用(H)表示能量，后面我們會看出，這就是系統(tǒng)的哈密頓量。

假設(shè)外磁場的方向沿(z)軸，于是(H)正比于(vec{L})的(z)分量。把磁場強(qiáng)度、電量、球半徑等各種常量歸到一個(gè)常量(omega)里，這樣(H)可寫為如下形式：

egin{equation}
H=omega L_z
label{eq24}
end{equation}

我們先暫停一下，想想我們在做什么。很明顯，如果沒有外磁場，系統(tǒng)具有旋轉(zhuǎn)對稱性，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)子的軸，系統(tǒng)能量不變。但是加上外磁場，轉(zhuǎn)動就有參照物了，因此轉(zhuǎn)動對稱性被破壞。方程eqref{eq23}和eqref{eq24}表示旋轉(zhuǎn)不對稱性。這會帶來什么后果？答案很明顯：角動量不再守恒——沒有對稱性就沒有守恒。這意味著轉(zhuǎn)動的方向?qū)㈦S時(shí)間而變。如何變？

你可以試著猜下答案。轉(zhuǎn)子是磁體，直覺告訴我們，角動量將向著(vec{B})來回?cái)[動，像單擺一樣。這是錯(cuò)的，如果小球轉(zhuǎn)動很快的話。真實(shí)的情況是，角動量將會繞著磁場進(jìn)動，像陀螺儀繞著引力場那樣運(yùn)動。下面我們用泊松括號來得到矢量(vec{L})的運(yùn)動方程。

首先，我們還記得任何一個(gè)量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)是該量與哈密頓量的泊松括號。把這個(gè)規(guī)則應(yīng)用于(vec{L})的分量，有：

egin{equation*}
egin{split}
&dot{L}_z={L_z,H} \
&dot{L}_x={L_x,H} \
&dot{L}_y={L_y,H}
end{split}
end{equation*}

帶入方程eqref{eq24}，

egin{equation*}
egin{split}
&dot{L}_z=omega {L_z,L_z} \
&dot{L}_x=omega {L_x,L_z} \
&dot{L}_y=omega {L_y,L_z}
end{split}
end{equation*}

現(xiàn)在你就能看出點(diǎn)端倪了。即使你對轉(zhuǎn)子的材料、電荷的分布等等一無所知，你也能解出此問題，因?yàn)槲覀冎?vec{L})各分量的泊松括號。(L_z) 與自己的泊松括號為0，有：

egin{equation*}
dot{L}_z=0
end{equation*}

(vec{L})的(z)分量不隨時(shí)間變化，這就排除了(vec{L})相對(vec{B})來回?cái)[動這一想法。

根據(jù)方程eqref{eq22}可得(dot{L}\_x)和(dot{L}\_y)分別滿足如下方程：

egin{equation*}
egin{split}
&dot{L}_x=-omega L_y \
&dot{L}_y=omega L_x
end{split}
end{equation*}

這與(x,y)平面上繞著原點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動的矢量的方程是一樣的。換言之，(vec{L}) 繞著磁場進(jìn)動。這就是泊松括號的魔力，只知道哈密頓量正比于(vec{B}cdot vec{L})這一點(diǎn)信息，就解決了問題。

對稱與守恒

再回到方程eqref{eq21}，這個(gè)方程的意義是，在旋轉(zhuǎn)操作下，任何一個(gè)物理量的變化都正比于該物理量與(L_i)的泊松括號。(L_i)恰巧就是一個(gè)守恒量，因?yàn)?L_i)是旋轉(zhuǎn)操作下的不變量。這個(gè)聯(lián)系很有意思，這個(gè)聯(lián)系具有一般性嗎？我們再另外舉一些例子?？紤]一個(gè)沿直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，如果存在平移不變性，那么動量守恒?，F(xiàn)在我們算一下(x)的任一函數(shù)與(p)的泊松括號：

egin{equation*}
{F(x),p}=frac{d F}{d x}
end{equation*}

在一個(gè)無限小的平移 (epsilon) 下，(F(x))的變化量是多少？答案是：

egin{equation*}
delta F=epsilon frac{d F}{d x}
end{equation*}

即

egin{equation*}
delta F=epsilon {F(x),p}
end{equation*}

另外一個(gè)例子：如果系統(tǒng)具有時(shí)間平移不變性，哈密頓量守恒。在時(shí)間平移操作下，物理量的改變量是多少？你已經(jīng)猜到了——該物理量與(H)的泊松括號。

我們下面看看泊松括號與守恒量之間的這一聯(lián)系是否具有一般性。令(G(q,p))為系統(tǒng)的生成元，生成相空間各點(diǎn)的微小位移，生成元定義如下：

egin{equation}
egin{split}
&delta q_i= {q_i,G} \
&delta p_i= {p_i,G}
end{split}
label{eq25}
end{equation}

其中(delta q_i,delta p_i)為相空間各點(diǎn)平移量。

(G)產(chǎn)生的變換可能是系統(tǒng)的一個(gè)對稱操作，也可能不是。什么意思？意思是不管你從何處開始，(G)產(chǎn)生的變換都不會改變系統(tǒng)的能量。換言之，如果在(G)產(chǎn)生的變換下(delta H=0)，我們稱此變換為一種對稱操作，即變換為對稱操作的條件是：

egin{equation}
{H,G}=0
label{eq26}
end{equation}

方程eqref{eq26}還有另一種解讀。改變泊松括號中的兩個(gè)函數(shù)的次序只會改變結(jié)果的符號，那么方程eqref{eq26}還可寫為：

egin{equation}
{G,H}=0
label{eq27}
end{equation}

這正是(G) 為守恒量的條件。我們可以說：告訴我們在(G)產(chǎn)生的變換下(H)如何變化的泊松括號同時(shí)告訴我們(G)如何隨時(shí)間變化。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的理论物理极础10：泊松括号，角动量和对称性的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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