无穷的奥秘
在印度有一個古老的傳說:舍罕王打算獎賞國際象棋的發(fā)明人?-?宰相西薩·班·達依爾。國王問他想要什么，他對國王說:"陛下，請您在這張棋盤的第1個小格里，賞給我1粒麥子，在第2個小格里給2粒，第3小格給4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。請您把這樣擺滿棋盤上所有的64格的麥粒，都賞給您的仆人吧!"國王覺得這要求太容易滿足了，就命令給他這些麥粒。當人們把一袋一袋的麥子搬來開始計數(shù)時，國王才發(fā)現(xiàn):就是把全印度甚至全世界的麥粒全拿來，也滿足不了那位宰相的要求。
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那么宰相要求得到的麥粒到底有多少呢?總數(shù)為:
第 第 第 第 第
1 2 3 4 …… 64
格 格 格 格 格
1 + 2 + 4+ 8 + ……… + 2的63次方 = 2的64次方,446,744,073,709,551,615(粒)
據(jù)估計，全世界兩千年也難以生產(chǎn)這么多麥子！那我們就可以想象宰相西薩·班·達依爾以后的命運了。
歷史學家鮑爾講了一段故事：
在世界中心貝拿勒斯（在印度北部）的圣廟里，一塊黃銅板上插著三根寶石針。印度教的主神梵天在創(chuàng)造世界的時候，在其中一根針上從下到上地穿好了由大到小的64片金片，這就是所謂的漢諾塔。不論白天黑夜，總有一個僧侶在按照下面的法則移動這些金片：一次只移動一片，不管在哪根針上，小片必須在大片上面。僧侶們預言，當所有的金片都從梵天穿好的那根針上移到另外一根針上時，世界就將在一聲霹靂中消滅，而梵塔、廟宇和眾生也都將同歸于盡。
在這個故事中每將一個金片移到另一根針上時，移動的次數(shù)都是上一次移動的兩倍，那么當把所有的金片都移動完成后，總的移動次數(shù)與第一個故事中的麥粒數(shù)相同。假設1秒移動一次金片，那么每天不停移動金片的話，總共需要將近5800億年能夠完成。根據(jù)現(xiàn)代科學研究，我們的地球只有46億歲，太陽只有50億歲，甚至宇宙也才只有區(qū)區(qū)150億歲，而據(jù)研究太陽的壽命也就是大概100億年，也就是說，從宇宙大爆炸的一刻起，僧侶就開始工作，日夜不停地移動金片，直到太陽毀滅他也不過才完成了全部工作的3%！所以世界末日絲毫不用擔心的。
我們可以再看下地球與月球的距離，大概是384,000千米，換算成米為單位即為384,000,000米，而地球與太陽的距離約為150,000,000千米，稱時速1000千米的飛船要花17年的時間從地球飛到太陽，而光則需要約8分鐘。而以冥王星軌道來計算時，太陽系地半徑約為6,000,000,000千米，以彗星軌道為邊界時為34,000,000,000,000千米，而整個銀河系的半徑約為100,000光年，換算成光年大概為9后面跟18個0千米，很難想象這樣的距離是真的能讓牛郎和織女每年跨過銀河去相聚，因為他們?nèi)绻胍惶炀涂邕^半個銀河在銀河中心的鵲橋上相見時，他們的速度至少要比光快19,000,000倍！
話說回來，我們看這些數(shù)字，這些大數(shù)讓人看了就讓人頭大，也許我們小的時候都會數(shù)1-100，然后再努力的輸出自己所能達到的極限，也許我們曾經(jīng)寫出一個特別長的數(shù)字并希望把讀出來，就像6,498,461,564,942,498,456,191,649,491,206,042,480這樣的數(shù)字，這樣的數(shù)字也是夠唬人的。但是這是人類的極限了嗎？顯然不是，如果我在上述的數(shù)上加1，那他就會變得更大，不斷加1，也就不斷變大。古代人有在繩子上系繩節(jié)計算事情的習慣，如果事情少那自然好辦，但是如果遇到大的數(shù)字，恐怕古代人就沒轍了。當然，我們現(xiàn)代人需要的數(shù)字比古代人大得多，但我們總是有方法數(shù)清的。但是如果一個數(shù)字不斷加1，會不會大到我們都數(shù)不清呢？
上文的18,446,744,073,709,551,615和6,498,461,564,942,498,456,191,649,491,206,042,480這種數(shù)字是無窮大嗎？顯然這個數(shù)字能夠數(shù)清楚，所以并不是無窮大。那么，地球上所有的沙子的數(shù)目總是無窮大了吧，答案依然是否定的，即使人們無法數(shù)清楚沙子的數(shù)目，但是客觀上講，沙子的數(shù)目總是一個固定的數(shù)，即使在1后面加上再多的0，那也不是無窮大。只要有足夠的時間，上面所說的數(shù)一定是能數(shù)出來的。
那說了這么多，到底什么是無窮大呢？一個最簡單地例子便是一條直線上的點的數(shù)目就是無窮大。將一條線段不斷地分成一半，次數(shù)也是根本無法數(shù)清的，那也是無窮大，當然我們不考慮最后到分子夸克階段能不能繼續(xù)分的問題。
那無窮大是一個具體的數(shù)字嗎？那答案又是否定的，如果是具體的數(shù)字，那么不就數(shù)清楚了嗎，那就不叫無窮大了。
那么無窮大是怎么表示的呢？無窮大的表示方法是“∞”，這個符號讓我們想到了莫比烏斯帶，很多人認為“∞”的創(chuàng)意來自于莫比烏斯帶，因為如果某個人站在一個巨大的莫比烏斯帶的表面上沿著他能看到的“路”一直走下去，他就永遠不會停下來，這樣我們可以認為一個人在莫比烏斯帶上走無限遠的距離。但是“∞”的發(fā)明是早于莫比烏斯帶的。那么是怎么回事呢？真相只有一個！那就是英國人沃利斯(John Wallis，1616-1703)的論文《算術的無窮大》中首次提出將8水平置放成“∞”來表示“無窮大”。現(xiàn)在“∞”還有了新的含義，那就是天氣預報時霧霾是用這個符號表示的，大概是說霧霾的小顆粒數(shù)不完所以用無窮大表示吧。實際上邊那句話是有錯誤的，因為只要有足夠多的時間，有足夠多的精力去暑霧霾顆粒的數(shù)目，霧霾的顆粒遲早是可以被我們數(shù)清楚的！當然我們沒有時間，沒有精力，大概我們會認為能數(shù)清楚的都是瘋子吧，至少我們小的時候仰望天空數(shù)星星的時候是從來沒把俺天的星星數(shù)清楚的！或許我們能看到的星星的數(shù)量要遠小于濟南市某一天曾經(jīng)存在過的所有霧霾顆粒數(shù)吧。
說了這么多，我們來看下百度百科中對無窮大的定義：無窮大，就是在自變量的某個變化過程中絕對值無限增大的變量或函數(shù)。 主要分為正無窮大、負無窮大和無窮大（可正可負），分別記作+∞、-∞以及∞，非常廣泛的應用于數(shù)學當中。
那么無窮大的數(shù)學基本定義是啥呢？設函數(shù)f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義（或|x|大于某一正數(shù)時有定義）。如果對于任意給定的正數(shù)M（無論它多么大），總存在正數(shù)δ（或正數(shù)X），只要x適合不等式0M，則稱函數(shù)f(x)為當x→x0(或x→∞)時的無窮大。
可能看到這里大家就很迷茫了，我們平常看到數(shù)學就頭大，看到這么長的一串數(shù)學定義還不是要上天？那我就舉一個很簡單的例子來解釋一下這一句超級長的定義。假設在坐標系x0y中有直線，那我們就很容易可以看出，對于我們給的任意一個正數(shù)x，都會存在一個正數(shù)y與x對應，那么當x無限增大直至無窮大時，y也就跟著x無限增大直至無窮大。
既然無窮大也是數(shù)，那我們看到兩樣東西總是要本能的做一個比較，那看到無窮大的時候我們也會這樣想，兩個無窮大之間是不是也可以比較大小呢？看到這里可能就有人說了，都是無窮大了還怎么會有大小呢？如果一個無窮大比另一個無窮大更大一些，那我讓那個小一些的無窮大再大一些，直到比那個大一些的無窮大更大一些為止不行嗎？那么這里就犯了一個錯誤，那就是無窮大不是一個具體的數(shù)，當我們這樣比較的時候就給無窮大默認了一個數(shù)值，而沒有意識到無窮大是可以無限增大的。
那么我們先從簡單的問題入手：“所有的整數(shù)的個數(shù)和一條直線的所有幾何點的個數(shù)，究竟哪個大些？”——這個問題有意義嗎？這個問題乍一看也真讓人頭大，但是數(shù)學家康托爾首先思考了這個問題。
這兩個數(shù)既無法數(shù)出來，也無法表示，那怎么比較呢？康托爾提出可以將兩組無窮大數(shù)進行一一配對，如果兩組數(shù)最后都一個不剩，那么兩個無窮大是一樣大的；如果其中一組數(shù)還剩下了其他的數(shù)，那么這個無窮大便比另一個更大些。這顯然是合理的。
我們先舉一個最簡單的例子，當我們在統(tǒng)計學校中桌子和椅子的數(shù)量時，使一張桌子配一把椅子，那么當多出椅子時，那么必定是椅子多，我們再讓一個學生對應一副桌椅，那么多出的學生便是缺少的桌椅數(shù)，或多出的桌椅數(shù)加上學生數(shù)便是總的桌椅數(shù)。
數(shù)桌椅自然是很簡單的問題，當我們回到無窮大之間的比較時，也是這樣的思路。“所有的整數(shù)的個數(shù)和一條直線的所有幾何點的個數(shù)，究竟哪個大些？”我們可以用剛才所說的方法，假設在直線的一頭有一個點A，那么這條直線上就會有整數(shù)個點到點A的距離為整數(shù)，可是問題在于還有的點到點A的距離為小數(shù)，比如0.2236541…，那么整數(shù)與直線上點的一一對應關系也就不存在了，因此直線上的點是多于整數(shù)的個數(shù)的，兩個無窮大的大小關系也就很明顯了，直線上的幾何點的數(shù)目是多于整數(shù)的。
那我們可以再證明一個很簡單的例子。我們知道偶數(shù)與奇數(shù)的個數(shù)是相等的，那我們該如何證明呢？按照上文所說，我們應建立一個一一對應關系，很顯然，這個一一對應關系很好找，讓一個奇數(shù)加1便得到了偶數(shù)，那么奇數(shù)與偶數(shù)的一一對應關系我們就找到了，那自然就可以證明奇數(shù)與偶數(shù)的個數(shù)相等了。
在無窮的發(fā)展史上，部分與整體的關系是人們十分糾結的。在歷史上承認實無窮同承認“部分小于整體”不可兼得。但是對于無窮大，也許有一個理論會讓你感到大吃一驚——部分與整體可能是相等的！這里你可能就要反駁我了，這個完全就是不可能的嘛！古代的數(shù)學家們也是這樣認為的。拿宇宙作為一個例子的話，我們知道宇宙現(xiàn)在仍然在無限增大，那我們也許就能認為宇宙是無限大，那我總不能說宇宙的一半和整個宇宙一樣大吧？這里你又犯了一個錯誤，將無窮大變得實物化，那必然會出錯的，宇宙并不能看成無限大，它是有一定的大小的，即使仍然在不斷擴大。
我們先舉一個比較簡單的例子——奇數(shù)的個數(shù)等于偶數(shù)的個數(shù)，偶數(shù)的個數(shù)等于整數(shù)的個數(shù)！
這時你也許又會反駁，剛才不是證明了奇數(shù)的數(shù)量一定是和偶數(shù)相等的嗎？我們都知道奇數(shù)和偶數(shù)加起來便是整數(shù)，那很顯然奇數(shù)與偶數(shù)各自的數(shù)量是整數(shù)的一半。那怎么可能會有這樣的關系呢？
我們不應該只想到奇數(shù)與偶數(shù)的一一對應關系，因為還會有另外的一種對應關系，當我們將所有的整數(shù)乘2時，我們發(fā)現(xiàn)得到的居然全部是偶數(shù)，而將這些偶數(shù)又減1后，得到的全部是奇數(shù)。
這樣你就驚奇的發(fā)現(xiàn)：偶數(shù)的個數(shù)等于奇數(shù)的個數(shù)，還等于整數(shù)的個數(shù)！部分與整體居然是相等的！
另外還有一個不可思議的例子：無論長短，線段上的點的數(shù)目永遠是相等的。這就有點燒腦了，因為我們知道線段上的點我們看不到，數(shù)不清，很難通過一般的思維找到對應關系，但辦法總是有的：
假設有兩條不一樣長的線段AC和AB，始終會有直線平行于BC交AB與AC于兩個點，這兩個點便具有一一對應的關系，也就是說長度不同的線段AB與AC上具有相同數(shù)量的整數(shù)點。
我們甚至可以證明更加神奇的觀點：直線上的幾何點數(shù)與平面上的幾何點數(shù)相同。這也是整體與部分的關系。我們先比較一條長1厘米的線段上幾何點的個數(shù)與面積為1平方厘米的正方形點的個數(shù)。首先假設一個點與線段一個端點的距離為0.456988厘米，那么我們將奇數(shù)位和偶數(shù)位的數(shù)字提取出來形成兩個數(shù)，分別為0.468和0.598，以正方形的一個端點為原點建立直角坐標系，正方形在第一象限內(nèi)，那么坐標為（0.468,0.598）的點就在正方形內(nèi)，這時線段上的幾何點就與正方形上的幾何點建立了以一對應關系，線段上的幾何點的個數(shù)便與正方形上點的個數(shù)相等了，那么直線與平面上的點的個數(shù)就相等了。
同理，一個正方形上的點與一個立方體上的幾何點的個數(shù)也是相同的，只不過這次就比較麻煩了，因為要先證明正方體內(nèi)的幾何點的數(shù)目和線段上的幾何點數(shù)目相等。我們還是假設存在一條1厘米的線段和1立方厘米的正方體，假設一個點離線段的一個端點距離為0.456789123厘米，那么我們將小數(shù)點后的數(shù)字分成三份，如第1、4、7位為一組，第2、5、8位為一組，第3、6、9位為一組，則可得到三個數(shù)字：0.471、0.582、0.693，那么以正方體的一個頂點為原點建立立體直角坐標系，正方體在第一象限，那么就有點（0.471，0.582，0.693）在正方體內(nèi)，這樣線段上的點就與立方體內(nèi)的點建立了一一對應關系，那么線段上的幾何點就與立方體內(nèi)的幾何點數(shù)量就相等了，因為正方形的幾何點與線段上的幾何點數(shù)目相等，那么正方形內(nèi)的幾何點與立方體內(nèi)的幾何點數(shù)量相等。
我們再說一個例子，我們說一個圓擁有無數(shù)條半徑，那么當我們將圓沿著一條直徑分開之后，這兩個半圓仍然擁有無數(shù)條半徑，那么我們也就可以說，這兩個半圓的半徑的數(shù)目與原來的整圓的半徑數(shù)目是一樣的，那么部分等于全體的結論也就得以證明了。
同時我們還可以舉一反三，那么我說一個正方形內(nèi)有無數(shù)個幾何點，當我將正方形一分為二時，所分成的兩個長方形內(nèi)部的幾何點的數(shù)目也就與原來的正方形相等，部分等于整體也就得以證明。
那我們可以幻想下，當我們生產(chǎn)一件商品的時候，當我們計劃并真正生產(chǎn)無窮大個時，我們就可以說我們已經(jīng)完成了計劃，我們還可以說我們已經(jīng)超額完成計劃，超額多少倍都可以！當然這只是玩笑話了！
看到這里是不是有點懵了呢？也許這就是科學的魅力吧，當你沉迷于平時的生活經(jīng)驗或者是習慣思維時，科學總是突然給你一個激靈，居然還有這樣的存在！因為科學就在于觀察與思考。
盡管幾何點的個數(shù)要比整數(shù)和分數(shù)的數(shù)目大，但是數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)了比它更大的數(shù)，即各種曲線的樣式的數(shù)目，它比所有幾何點的數(shù)目要大得多，因此我們將其看作第三級無窮數(shù)列。
無窮大數(shù)隨級別增大，無窮大也就越大。按照“無窮大數(shù)算術”的奠基者康托爾的意見，無窮大數(shù)是用希伯來字母?（讀作阿萊夫）表示的，在字母的右下角，再用一個小號數(shù)字表示這個無窮大數(shù)的級別。這樣一來，數(shù)目字（包括無窮大數(shù)）的數(shù)列就成為無窮大的頭三級分別為“所有整數(shù)和分數(shù)的數(shù)目”（?1），“線、面、體上所有幾何點的數(shù)目”（?2）和“所有幾何曲線的數(shù)目”（?3）。
這樣我們就可以說“一條直線上有?2個點”、“所有曲線的樣式有?3種”，這就像我們說“人一天要吃3頓飯”、“地球有1個衛(wèi)星”一樣簡單了。
無窮大的這三級已經(jīng)足夠表示目前我們能想到的所有無窮大了，所以不要再頭大地給一個數(shù)無限地加1了，因為這僅僅是第一級無窮大，你連這一級都數(shù)不完。
無窮大的加減法
既然我們能比較無窮大的大小，那我們就可以讓兩個無窮大相加減，那么問題就來了，無窮大這么抽象，怎么做到優(yōu)雅地相加減而不出錯呢？
那首先無窮大之間的相加很簡單了，兩個無窮大相加必然還是無窮大了！那你或許就會說了，相加有什么意思，你讓兩個無窮大相減啊！那問題就來了，反正都是數(shù)不清，那兩個無窮大相減不就是0嗎？答案必然是不對的，無窮大的減法是有規(guī)律的。
我們知道，無窮大也是分級別的，同級別的無窮大相減肯定是0，但是不同級別的無窮大相減就不一樣了。例如當?shù)诙墴o窮大（?2）減第一級無窮大（?1）時，得到的結果仍然是無窮大，當?shù)谝患墱p第二級無窮大時，結果就是負無窮大了。
我們來看這是為什么。我們上面說第一級無窮大是所有整數(shù)和分數(shù)的數(shù)目，而第二級無窮大則是指線、面、體上所有幾何點的數(shù)目，那這里結果也就自然而然地出來了，我們在第三章中證明過，整數(shù)與分數(shù)的總數(shù)是少于線上的幾何點的數(shù)目的，所以當?shù)诙墴o窮大（?2）減第一級無窮大（?1）時，結果就是正無窮大，相反則是負無窮大。
在古希臘的奴隸社會，盛行“萬物本原”的學說。這些學說中，阿那克西曼德（約公元前610~546）認為萬物的基本元素是一種不具備任何規(guī)定性的特殊物質(zhì)，這種物質(zhì)不冷不熱，非水非氣，他把這種物質(zhì)稱為“無限”，這是最早出現(xiàn)的“無限”概念，但是對于“無限”具體指的什么，沒有人能真正解釋清楚，因此最開始的無窮就是以思辨的形式而非數(shù)學形式出現(xiàn)的，它主要是哲學家討論的問題，例如時間和空間的無限性，物質(zhì)的無限性等等。后來在數(shù)的概念出現(xiàn)以后，“無限”便被賦予了新的含義——它不是一種具體的物質(zhì)，而是與“有限”對立的量的概念，自此“無限”成為了一個數(shù)學問題。
希臘奴隸制的繁榮也帶動了思想的繁榮，安提豐（約公元前五世紀）提出用圓的內(nèi)接正方形的變數(shù)不斷加倍的方法可以無限逼近圓的面積，布賴森也提出用圓的內(nèi)接與外切正多邊形來逼近圓的面積，這些都是運用了無窮的思想思考數(shù)學問題，但是遺憾的是，這些人并沒有進行真正的計算。
在我國的戰(zhàn)國時期也產(chǎn)生了“無窮”的思想，《莊子》中“一尺之錘”便是一種潛無窮思想。三國時期劉徽注意到無窮進展能夠完成，并把他的思想應用到了計算“弧田”的面積、“陽馬”的體積以及開方運算。劉徽認為圓內(nèi)接正六邊形的面積隨邊數(shù)不斷加倍而逐漸增加，但是永遠都不會大于圓的面積，同時指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓合體而無所失矣。” 劉徽從單位圓的內(nèi)接正六邊形算起，算到正192邊形，得出π.14。南北朝時期的祖沖之在劉徽工作的基礎上已求得3.1415926 0。
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來源：科普任縣
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