Mathematics for Human Flourishing

人類繁榮的數(shù)學(xué)

為什么數(shù)學(xué)實(shí)踐往往不符合我們的理想和希望？為什么驅(qū)使我們?nèi)プ鰯?shù)學(xué)的深刻的人類主題被引導(dǎo)去構(gòu)建一個(gè)更加美麗和公正的世界, 在這個(gè)世界里, 所有人都可以真正地繁榮起來(lái)？我在2017年1月6日美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)主席任期結(jié)束時(shí), 我在2017年1月6日的 AMS-MAA 聯(lián)合冬季會(huì)議上發(fā)表了這個(gè)即將退休的英文版演說(shuō)。

本文中文版翻譯為MathMaster。

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每個(gè)人都在默默地呼喊, 希望能夠以不同的方式閱讀。- 西蒙娜 · 威爾《地心引力》和《格蕾絲》。

克里斯托弗被關(guān)押在離亞特蘭大不遠(yuǎn)的一個(gè)高度戒備的聯(lián)邦監(jiān)獄。他從14歲起就一直觸犯法律。他沒(méi)有完成高中學(xué)業(yè), 對(duì)毒品上癮, 在21歲時(shí), 他參與了一系列持械搶劫, 被判32年監(jiān)禁。

現(xiàn)在, 你可能已經(jīng)形成了一個(gè)克里斯托弗的心理形象, 你可能想知道為什么我要用他的故事開場(chǎng)。當(dāng)你想到誰(shuí)做數(shù)學(xué)的時(shí)候, 誰(shuí)能做數(shù)學(xué), 誰(shuí)想做數(shù)學(xué), 你會(huì)想到克里斯托弗嗎？

然而, 在監(jiān)獄服刑7年后, 他給我寫了一封信。他說(shuō):"我一直對(duì)數(shù)學(xué)有一定的傾向, 但是當(dāng)我處于青春的早期, 并且生活在一些不利的環(huán)境中, 我從來(lái)沒(méi)有理解過(guò)去三年來(lái)學(xué)習(xí)一門課程的真正意義和好處... ... 在過(guò)去的三年里, 我購(gòu)買并研究了大量的書籍, 使我對(duì)代數(shù) i, 代數(shù) II, 大學(xué)代數(shù), 幾何, 三角學(xué), 微積分, 微積分, 微積分, 微積分, 微積分和微積分 II。"克里斯托弗寫信讓我?guī)椭M(jìn)一步深造數(shù)學(xué)教育。

當(dāng)你想到誰(shuí)是數(shù)學(xué)家, 你會(huì)想到克里斯托弗嗎？

每個(gè)人都在默默地呼喊, 希望能夠以不同的方式閱讀。

西蒙娜 · 韋爾是一位著名的法國(guó)宗教神秘主義者, 也是一位廣受尊敬的哲學(xué)家。她可能不那么出名, 因?yàn)樗菤v史上最著名的數(shù)字理論家之一安德烈 · 威爾的妹妹。

對(duì)于西蒙娜 · 韋爾來(lái)說(shuō),"閱讀"某人意味著對(duì)他們進(jìn)行解釋或判斷。她的意思是: 我們都在默默地呼喊著, 希望能以不同的方式來(lái)評(píng)判她。我有時(shí)候會(huì)懷疑西蒙妮是不是在為自己哭泣。對(duì)于西蒙妮來(lái)說(shuō), 她也愛并且參與了數(shù)學(xué), 但是她總是把自己和她的兄弟相比較。她寫道:

"十四歲的時(shí)候, 我陷入了那種隨著青春期而來(lái)的那種無(wú)止境的絕望, 我真的想過(guò)要死, 因?yàn)槲姨焐牟拍芷接?.. ... 我哥哥的特殊天賦, 他的童年和青春與帕斯卡相比, 把我的自卑帶回家。我并不介意沒(méi)有明顯的成功, 但是讓我感到悲傷的是, 我被排除在只有真正偉大的人才能接觸到的超然王國(guó)之外, 在這個(gè)王國(guó)里, 只有真正偉大的人才有機(jī)會(huì)接觸真理。我寧愿死, 也不愿沒(méi)有這個(gè)真理而活著。"

我們知道西蒙愛數(shù)學(xué), 因?yàn)樗谒恼軐W(xué)寫作中使用了數(shù)學(xué)例子。你會(huì)在 Bourbaki 和她哥哥的照片里找到她。

(布爾巴基, 1937)

我常常在想, 如果她不總是在安德烈的陰影下, 她和數(shù)學(xué)的關(guān)系會(huì)是怎樣的。

每個(gè)人都在默默地呼喊, 希望能夠以不同的方式閱讀。

作為 MAA 總裁, 你可能會(huì)認(rèn)為我和數(shù)學(xué)的關(guān)系一直很牢固。我不喜歡 ` 成功'這個(gè)詞, 但是人們看著我并認(rèn)為我是成功的, 好像數(shù)學(xué)成就的真正衡量標(biāo)準(zhǔn)是我收到的獎(jiǎng)學(xué)金, 或者我發(fā)表的大量論文。

像克里斯托弗一樣, 我從小就有數(shù)學(xué)的癖好。

但我在 South Texas 的一個(gè)鄉(xiāng)村小鎮(zhèn)長(zhǎng)大, 機(jī)會(huì)有限。我的大多數(shù)高中同學(xué)甚至沒(méi)有上過(guò)大學(xué)。我這樣做是因?yàn)槲业母赣H是一個(gè)大學(xué)教授, 但是我的父母并不知道我現(xiàn)在所知道的許多數(shù)學(xué)機(jī)會(huì)。

我對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛在德克薩斯大學(xué)得到了加深, 我設(shè)法獲準(zhǔn)進(jìn)入哈佛大學(xué)攻讀博士學(xué)位。但是我覺得那里不合適, 因?yàn)槲也皇莵?lái)自常春藤聯(lián)盟的學(xué)校, 而且和我的同齡人不同的是, 當(dāng)我進(jìn)入這所學(xué)校時(shí), 我并沒(méi)有完整的研究生課程。我覺得自己就像西蒙娜 · 韋爾, 站在未來(lái)的安德烈 · 威爾旁邊, 認(rèn)為如果我不像他們, 我將永遠(yuǎn)無(wú)法在數(shù)學(xué)領(lǐng)域蓬勃發(fā)展。

有個(gè)教授告訴我, 我不屬于研究生院。這迫使我考慮, 除其他外, 為什么我想做數(shù)學(xué)。事實(shí)上, 這是我希望你今天考慮的一個(gè)重要問(wèn)題:

為什么要做數(shù)學(xué)？

這是一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題, 但值得深思。因?yàn)槟愕拇鸢笇Q定你認(rèn)為應(yīng)該做數(shù)學(xué)的人, 以及你將如何教授它。

為什么克里斯托弗坐在監(jiān)獄里學(xué)習(xí)微積分, 即使他不會(huì)再把微積分當(dāng)作一個(gè)自由人使用25年呢？為什么西蒙妮對(duì)超然的數(shù)學(xué)真理如此著迷？當(dāng)別人以微妙的方式告訴她她不屬于數(shù)學(xué)時(shí), 為什么還要堅(jiān)持做數(shù)學(xué)或者把自己看成一個(gè)數(shù)學(xué)家呢？

此時(shí)此刻, 全世界也在問(wèn), 它與數(shù)學(xué)的關(guān)系應(yīng)該是什么。在數(shù)字革命和向信息經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)變所帶來(lái)的巨大社會(huì)變革中, 我們正在目睹我們工作和生活方式的迅速轉(zhuǎn)變。然而, 我們?cè)诠差I(lǐng)域聽到一些聲音說(shuō):"高中生不需要幾何學(xué)"或"讓數(shù)學(xué)家先進(jìn)的數(shù)學(xué)"。一些數(shù)學(xué)家不愿承認(rèn)這一點(diǎn), 但是他們通過(guò)拒絕教授較低水平的數(shù)學(xué)課程, 或者把數(shù)學(xué)專業(yè)作為剔除那些他們認(rèn)為不適合研究生學(xué)校的數(shù)學(xué)專業(yè)。

我們的職業(yè)受到來(lái)自內(nèi)部和外部的這些聲音的威脅, 他們正在破壞社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)的看法。我們這個(gè)行業(yè)的觀點(diǎn)是凄涼的。2012年美國(guó)總統(tǒng)科學(xué)技術(shù)顧問(wèn)委員會(huì)的報(bào)告指出, 數(shù)學(xué)入門課程是阻止學(xué)生攻讀 STEM 專業(yè)的主要障礙。我們沒(méi)有像我們應(yīng)該的那樣教育我們的學(xué)生, 就像大多數(shù)的不公平一樣, 這會(huì)傷害那些最脆弱的人。

我希望我們作為一個(gè)數(shù)學(xué)社區(qū), 以一種不同的方式前進(jìn)。它可能需要我們改變我們的觀點(diǎn), 誰(shuí)應(yīng)該做數(shù)學(xué), 以及我們應(yīng)該如何教它。但是, 這種方法同樣嚴(yán)格, 也不會(huì)減少我們學(xué)生的要求。然而, 它將吸引更多的人進(jìn)入數(shù)學(xué)領(lǐng)域, 因?yàn)樗麄儗⒖吹綌?shù)學(xué)如何與人類最深層的欲望相聯(lián)系。

所以如果你問(wèn)我: 你是做數(shù)學(xué)的嗎？我會(huì)說(shuō): 數(shù)學(xué)有助于人們的繁榮。數(shù)學(xué)是為了人類的繁榮。

美好的生活是人類繁榮的生活。古希臘人有一個(gè)詞來(lái)形容人類的繁榮, eudaimonia, 他們認(rèn)為它是由所有的商品組成的。在希伯來(lái)語(yǔ)中也有一個(gè)類似的詞: shalom, 用作問(wèn)候語(yǔ)。Shalom 有時(shí)被翻譯為和平, 但是這個(gè)詞有著更豐富的語(yǔ)境。對(duì)某人說(shuō) ` shalom'就是希望他們能夠茁壯成長(zhǎng), 生活得更好。阿拉伯語(yǔ)有一個(gè)相關(guān)的詞: salaam。

亞里士多德提出的一個(gè)基本問(wèn)題是: 你如何實(shí)現(xiàn)人類的繁榮？幸福的生活是什么？亞里士多德會(huì)說(shuō), 繁榮來(lái)自于美德的行使。希臘的美德概念是"品德卓越, 導(dǎo)致卓越的行為。"因此, 它不僅僅包括道德美德; 例如, 勇氣和智慧也是美德。

我今天希望說(shuō)服你的是, 數(shù)學(xué)的實(shí)踐培養(yǎng)了有助于人們繁榮的美德。無(wú)論你選擇什么職業(yè), 這些美德對(duì)你都有好處。而美德的運(yùn)動(dòng)是通過(guò)人類的基本欲望來(lái)實(shí)現(xiàn)的。

我想談?wù)勎覀兌加械奈鍌€(gè)愿望。第一個(gè)是游戲。

1. PLAY?

知道如何玩耍是一種快樂(lè)的天賦。拉爾夫·沃爾多·愛默生

想想嬰兒是怎么玩耍的。游戲很難定義, 但是因?yàn)槲覀兪菙?shù)學(xué)家, 我們至少應(yīng)該嘗試一下。我們可以想出一些特性來(lái)描述它。例如, 游戲應(yīng)該是有趣和自愿的, 否則它就不會(huì)成為游戲。通常有一些結(jié)構(gòu): 即使是嬰兒也知道躲貓貓遵循一定的模式, 但是在這個(gè)結(jié)構(gòu)中有很多自由。這種自由導(dǎo)致了某種調(diào)查, 比如 ` 如果我們?cè)偻娑阖堌? 你會(huì)在哪里出現(xiàn)結(jié)果通常沒(méi)有很大的利害關(guān)系。調(diào)查往往會(huì)帶來(lái)某種驚喜, 比如在躲貓貓的另一個(gè)地方出現(xiàn)。當(dāng)然, 動(dòng)物也在玩耍, 但人類的特點(diǎn)是思想和想象力的擴(kuò)大。

想想 Rubik 的立方體或者游戲集。結(jié)構(gòu)和自由之間存在相互作用, 結(jié)果并沒(méi)有很大的利害關(guān)系, 但是有調(diào)查可以帶來(lái)解決立方體或者找到匹配卡片的樂(lè)趣。

數(shù)學(xué)使心靈成為游樂(lè)場(chǎng)。我們玩弄模式, 在某些公理的結(jié)構(gòu)中, 我們行使自由去探索它們的結(jié)果, 欣賞我們發(fā)現(xiàn)的任何真理。我們甚至有一整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域被稱為"趣味數(shù)學(xué)"！你知道另一個(gè)有娛樂(lè)性的子領(lǐng)域的學(xué)科嗎？是否有娛樂(lè)物理學(xué)或娛樂(lè)哲學(xué)？

數(shù)學(xué)游戲建立了美德, 使我們能夠在生活的每一個(gè)領(lǐng)域都得到發(fā)展。例如, 數(shù)學(xué)游戲建立了希望: 當(dāng)你坐在一個(gè)拼圖的時(shí)間足夠長(zhǎng)的時(shí)候, 你正在鍛煉你最終能解決它的希望。數(shù)學(xué)游戲建立了社區(qū)ーー當(dāng)你分享與另一個(gè)人一起解決問(wèn)題的快樂(lè)時(shí)。數(shù)學(xué)游戲建立了毅力ーー正如每周的足球訓(xùn)練鍛煉肌肉, 使我們?cè)谙乱粓?chǎng)比賽中變得更強(qiáng)壯一樣, 每周的數(shù)學(xué)調(diào)查使我們更適應(yīng)下一個(gè)問(wèn)題, 無(wú)論是什么, 即使我們不解決當(dāng)前的問(wèn)題。這就是為什么 MAA 支持像 AMC 和 Putnam 這樣的競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)目的原因。我們通過(guò)建立希望、毅力和社區(qū)來(lái)幫助孩子們茁壯成長(zhǎng)。今年, 你可能已經(jīng)聽說(shuō)了美國(guó)隊(duì), MAA 訓(xùn)練的, 連續(xù)第二次贏得了國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克。你可能沒(méi)有聽說(shuō), 我們隊(duì)的教練 Po Shen Loh 邀請(qǐng)其他國(guó)家的隊(duì)伍與他們一起訓(xùn)練, 為海事組織做準(zhǔn)備。你看, 我們優(yōu)先考慮的是社區(qū)而不是競(jìng)爭(zhēng)。這讓新加坡總理印象深刻, 以至于他公開感謝奧巴馬這次出色的合作。這是一場(chǎng)真正的比賽: 友誼賽中的球隊(duì)。

玩耍是人類繁榮的一部分。沒(méi)有游戲你就不能繁榮。

如果數(shù)學(xué)是為了人類的繁榮, 我們就應(yīng)該在我們的教學(xué)方式和教學(xué)方式中扮演游戲的角色。每個(gè)人都可以玩。每個(gè)人都喜歡玩耍。每個(gè)人都可以在數(shù)學(xué)游戲中有一個(gè)有意義的經(jīng)驗(yàn)。

教學(xué)游戲是一項(xiàng)艱苦的工作！實(shí)際上這比講課更難, 因?yàn)槟惚仨殰?zhǔn)備好在課堂上發(fā)生的幾乎任何事情, 但它也更有趣。游戲是使基于探究的學(xué)習(xí)和其他形式的主動(dòng)學(xué)習(xí)如此有效的一部分。有大量的證據(jù)表明, 學(xué)生在積極學(xué)習(xí)的過(guò)程中學(xué)習(xí)更好。

今年, 在數(shù)學(xué)科學(xué)會(huì)議上, 我與其他數(shù)學(xué)機(jī)構(gòu)的主席簽署了一份聲明, 支持積極學(xué)習(xí)(你可以在 CBMS 網(wǎng)站上找到)。如果你想看到積極學(xué)習(xí)的證據(jù), 我們?cè)谶@個(gè)聲明中包含了一些背景信息。

所以: 教授游戲。

人類的另一個(gè)基本愿望是:

2. BEAUTY?

如果沒(méi)有靈魂中的詩(shī)人, 成為一個(gè)數(shù)學(xué)家是不可能的。ー索菲亞 · 科瓦列夫斯卡婭

我們當(dāng)中誰(shuí)不喜歡美麗的東西？美麗的日落。一首高尚的奏鳴曲。一首深刻的詩(shī)。一個(gè)優(yōu)雅的證明。

數(shù)學(xué)家和科學(xué)家們對(duì)宇宙法則的簡(jiǎn)單性、規(guī)律性和秩序感到敬畏。它們被稱為"美麗"。他們覺得自己超凡脫俗。為什么數(shù)學(xué)要像現(xiàn)在這樣強(qiáng)大呢？這就是諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主尤金 · 維格納所說(shuō)的"數(shù)學(xué)的不合理的有效性"來(lái)解釋自然科學(xué)。愛因斯坦問(wèn)道:"數(shù)學(xué)究竟是人類獨(dú)立于經(jīng)驗(yàn)思想的產(chǎn)物, 怎么會(huì)如此令人欽佩地適應(yīng)現(xiàn)實(shí)的事物呢?"

數(shù)學(xué)家們對(duì)于一個(gè)定理的任何證明都不滿意。我們常常尋找最好的證明, 最簡(jiǎn)單或最令人愉快的。數(shù)學(xué)家有一個(gè)特殊的詞來(lái)形容這個(gè): 我們說(shuō)證明是"優(yōu)雅的"。保羅 · 艾爾德經(jīng)常提到上帝所保存的"書", 在這本書里, 所有最優(yōu)雅的定理證明都被保留下來(lái)。

以這種方式追求數(shù)學(xué)可以培養(yǎng)超越和快樂(lè)的美德。通過(guò)喜悅, 我指的是創(chuàng)造秩序的美麗所帶來(lái)的驚奇、敬畏或喜悅。我所說(shuō)的超越, 是指擁抱所有秘密的能力。體驗(yàn)數(shù)學(xué)之美是一種超然的快樂(lè)。

如果數(shù)學(xué)是為了人類的繁榮, 我們必須幫助別人看到它的美麗。

但是有很多關(guān)于美的概念。因此, 你通過(guò)美來(lái)激發(fā)數(shù)學(xué)的方式必然是多樣化的ーー通過(guò)藝術(shù), 通過(guò)音樂(lè), 通過(guò)模式, 通過(guò)嚴(yán)格的論證, 通過(guò)簡(jiǎn)單而深刻的思想的優(yōu)雅, 通過(guò)這些想法在許多不同領(lǐng)域的真實(shí)世界中的奇妙適用性。

人類的第三個(gè)基本愿望是:

3. TRUTH?

真的嗎？(什么是真理?)波提烏斯 · 彼拉多

什么是真理？這個(gè)問(wèn)題很重要, 尤其是在今天。每一天似乎都會(huì)帶來(lái)更多關(guān)于假新聞如何影響總統(tǒng)選舉的討論。有些人不屑于去弄清楚什么是真的, 說(shuō) ` 我們?cè)趺粗朗裁词钦娴?/span>

然而, 在某些情況下, 人們不惜一切代價(jià)尋求真理。特別是在有很多利害關(guān)系的時(shí)候。當(dāng)我父親得了癌癥時(shí), 我們想知道什么樣的治療方法最有可能挽救他的生命。我們必須知道, 因?yàn)樗纳涂克恕?/span>

對(duì)真理的追求是科學(xué)事業(yè)的核心。我說(shuō) ` quest'是因?yàn)槲覀儾挥每茖W(xué)來(lái)證實(shí)簡(jiǎn)單的陳述性陳述, 這些聲明很容易被證實(shí), 比如:"我的咖啡很熱"。相反, 我們的調(diào)查對(duì)象是那些答案不是很清楚的問(wèn)題。"重力波是否存在, 如果存在, 我們?nèi)绾翁綔y(cè)它們?"

因此, 有一種追求。我們提出一個(gè)假設(shè)("他們存在") , 并設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)我們的假設(shè)。我們尋找證據(jù), 如果我們找到了一些, 我們?nèi)匀粫?huì)問(wèn): 還有其他的解釋嗎？

數(shù)學(xué)家可能會(huì)試圖通過(guò)邏輯推理從第一原理中推理來(lái)證明或否定一個(gè)語(yǔ)句。或者她可以建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題。

這些方法在我們身上培養(yǎng)了嚴(yán)謹(jǐn)思考的美德: 能夠很好地處理思想, 并且用這些想法制定明確的論點(diǎn)。這種美德使我們?cè)谏畹母鱾€(gè)方面都發(fā)揮了良好的作用。我們應(yīng)該利用這種能力在公共場(chǎng)合講道理, 正如我們社區(qū)中的許多人通過(guò)為報(bào)紙撰寫專欄文章所做的那樣。

我希望看到更多的人行使這種美德, 塑造公眾對(duì)數(shù)學(xué)的看法。

(另外, 如果你想知道數(shù)學(xué)在新聞中是如何被描繪的, 我已經(jīng)建立了一個(gè)叫做數(shù)學(xué)新聞聚合器的數(shù)學(xué)新聞聚合器, 可以在 iPhone 和 iPad 上使用, 幾周后, Android。它與主流報(bào)紙, 以及數(shù)學(xué)博客和出版物的 MAA, AMS, SIAM, ASA 和其他組織。)

我想鼓勵(lì)各機(jī)構(gòu)開始重視教職員工的公開寫作。讀這些文章的人比讀我們研究論文的人還多。公共寫作是一種學(xué)術(shù)活動(dòng): 它涉及到嚴(yán)格的論證, 由編輯進(jìn)行審查, 并借用 NSF 短語(yǔ), 它有更廣泛的影響, 并且影響可以用數(shù)字時(shí)代來(lái)衡量。

而且, 對(duì)真理的追求使得人們對(duì)謙卑的美德充滿信心。

艾薩克 · 牛頓說(shuō):"我不知道自己會(huì)在這個(gè)世界上出現(xiàn)什么, 但對(duì)我自己來(lái)說(shuō), 我似乎只是一個(gè)在海邊玩耍的男孩, 現(xiàn)在轉(zhuǎn)移自己的注意力, 發(fā)現(xiàn)一塊比平常更光滑的鵝卵石或更漂亮的貝殼, 而真理的大海在我面前還沒(méi)有被發(fā)現(xiàn)。"

他說(shuō): 我們知道的越多, 就越能意識(shí)到我們還不知道。我們學(xué)會(huì)了如何接受錯(cuò)誤, 如果一個(gè)反例表明我們的猜想是錯(cuò)誤的。事實(shí)上, 我要說(shuō)的是, 反例在數(shù)學(xué)中有一個(gè)特殊的地方ーー我們慶祝他們。我們有一些書名, 比如"拓?fù)鋵W(xué)中的反例"或"分析中的反例"。我們喜歡承認(rèn)我們錯(cuò)了！

所以當(dāng)一個(gè)學(xué)生接受這種對(duì)真理的追求時(shí), 她開始假設(shè)某種謙卑。她以誠(chéng)實(shí)正直的態(tài)度嚴(yán)謹(jǐn)?shù)靥幚砀鞣N想法。她重視真實(shí)性和區(qū)別的澄清。這是智力謙遜的美德, 而且是珍貴的。我認(rèn)為, 缺乏謙遜是2016年雙方政治對(duì)話的特點(diǎn)。我希望我們?cè)诠矆?chǎng)合更加謙遜。

我們必須在我們自己的教學(xué)中樹立謙卑的榜樣, 并且我們應(yīng)該明確地告訴我們的學(xué)生, 我們正在培養(yǎng)謙遜, 作為一種美德, 將在他們的一生中為他們提供良好的服務(wù)。我們能教給學(xué)生的最重要的技能, 就是知道他們的論點(diǎn)是否正確。你們當(dāng)中有多少人曾經(jīng)在考試中提出過(guò)一個(gè)非常難的問(wèn)題, 并且得到了看起來(lái)像學(xué)生編造的答案, 希望得到額外的學(xué)分？我現(xiàn)在在考試中明確表示: 如果學(xué)生承認(rèn)他們的差距, 我會(huì)對(duì)不完整的證明給予額外的肯定。這樣我得到的答案會(huì)更貼切。

而數(shù)學(xué)建立了謹(jǐn)慎的美德。我們知道我們爭(zhēng)論的局限性, 我們不會(huì)過(guò)于籠統(tǒng)。我喜歡我的朋友 Rachel Schwell 所說(shuō)的:

"我認(rèn)為數(shù)學(xué)可以幫助我減少對(duì)人的籠統(tǒng)概括。例如, 我不會(huì)假設(shè)一個(gè)人說(shuō), 沒(méi)受過(guò)教育, 僅僅因?yàn)樗? 比如說(shuō), 貧窮, 正如我不能假設(shè)一個(gè)數(shù)字是正數(shù), 因?yàn)樗且粋€(gè)整數(shù)。我甚至不能假設(shè)它是積極的, 如果我知道它是非負(fù)面的, 即使, 很可能, 它是積極的！因此, 我不會(huì)像跳躍到自動(dòng)關(guān)聯(lián)那樣跳躍。"

我們能否幫助我們的學(xué)生看到, 謹(jǐn)慎的美德在生活中是重要的嗎？

人類的第四個(gè)基本愿望是:

4. JUSTICE?

正義。要準(zhǔn)備好承認(rèn)另一個(gè)人和我們?cè)谀抢锟吹降耐耆煌?或者當(dāng)我們想起他的時(shí)候)。或者更確切地說(shuō), 在他身上讀到他的確有些不同, 也許和我們?cè)谒砩献x到的完全不同。每個(gè)人都在默默地呼喊, 希望能夠以不同的方式閱讀。西蒙 · 威爾

阿克米是我的一個(gè)學(xué)生, 在我讀本科的時(shí)候和我一起做研究。她的創(chuàng)新論文將博弈論和系統(tǒng)遺傳學(xué)聯(lián)系在一起, 發(fā)表在一本備受推崇的數(shù)學(xué)生物學(xué)雜志上。她在一所頂尖的研究型大學(xué)攻讀博士學(xué)位。所以當(dāng)我得知朱實(shí)一年后辭職時(shí), 我感到很驚訝。

她告訴我她有很多消極的經(jīng)歷。她的導(dǎo)師從來(lái)不愿意和她見面, 作為一個(gè)女人, 她曾經(jīng)面對(duì)過(guò)不愉快的經(jīng)歷。她告訴我一個(gè)例子:

"在課程開始的時(shí)候, 我的作業(yè)總是達(dá)到10 / 10, 這些作業(yè)都是由助教評(píng)分的。有一天, 杰夫(一個(gè)共同的朋友)告訴我他和我們的助教一起出去玩, 有人問(wèn)助教分析課怎么樣了。他一直在說(shuō)一個(gè)叫阿朱米的"家伙", 他的作品是多么完美, 他的作品寫得有多清晰等等。杰夫告訴他我是個(gè)女孩, 電視臺(tái)震驚了。(杰夫告訴我這個(gè)故事是因?yàn)樗X得有趣的是, 有人不知道我的名字和反應(yīng)如此戲劇性的發(fā)現(xiàn)。)在那之后, 我的作業(yè)從來(lái)沒(méi)有接近10 / 10, 我的考試也同樣苛刻ーー扣分的大部分原因都是含糊不清的, 比如 ` 詳細(xì)說(shuō)明'。我不覺得我對(duì)這些材料的理解會(huì)迅速或戲劇性地減弱, 但我想這種情況有可能發(fā)生, 我只是誤解了情況... ..."

不, 明美, 不是你的問(wèn)題。

我希望你們都同意, 這張照片有些不對(duì)勁。如果某種憤怒涌上心頭, 你正在經(jīng)歷一個(gè)明顯的繁榮的跡象: 對(duì)正義的渴望。正義意味著: 把事情做好。正義是行動(dòng)的強(qiáng)大動(dòng)力。

人類的繁榮需要正義。當(dāng)我們公正地對(duì)待別人, 當(dāng)我們受到公正的對(duì)待時(shí), 我們就會(huì)興旺起來(lái)ーー我們經(jīng)歷著平安。

正如上面引用的那樣, 西蒙娜 · 韋爾意識(shí)到, 糾正不公正必須涉及改變我們對(duì)他人的看法。她的定義是:"正義。要準(zhǔn)備好承認(rèn)另一個(gè)人和我們?cè)谀抢锟吹降耐耆煌?或者當(dāng)我們想起他的時(shí)候)。或者更確切地說(shuō), 在他身上讀到他的確有些不同, 也許和我們?cè)谒砩献x到的完全不同。每個(gè)人都在默默地呼喊, 希望能夠以不同的方式閱讀。"

現(xiàn)在, 在我們太快譴責(zé)阿克米的助教之前, 我們必須意識(shí)到讀懂別人的問(wèn)題是從我們自己開始的。助教甚至可能沒(méi)有意識(shí)到他在做這件事。這就是隱性偏見的問(wèn)題: 潛意識(shí)的刻板印象巧妙地影響了我們的決定。我在 MAA 領(lǐng)導(dǎo)層中最好的經(jīng)歷之一就是參加了一個(gè)關(guān)于隱性偏見的研討會(huì), 在這個(gè)研討會(huì)上, 我以一種強(qiáng)有力的方式意識(shí)到我有多么的偏見, 盡管我盡量不這樣做。我們都沒(méi)有意識(shí)到這一點(diǎn)。許多實(shí)驗(yàn)證實(shí)了以下結(jié)果: 當(dāng)給出兩份幾乎相同的簡(jiǎn)歷時(shí), 除了一個(gè)人有一個(gè)積極的陳規(guī)定型的名字和一個(gè)消極的陳規(guī)定型的名字(女性, 少數(shù), 等等) , 法官們會(huì)認(rèn)為積極的陳規(guī)定型的簡(jiǎn)歷會(huì)更高。即使法官來(lái)自消極定型群體, 這種情況也會(huì)發(fā)生。

這就是為什么好的實(shí)踐是重要的。現(xiàn)在 MAA 為選擇委員會(huì)準(zhǔn)備了一份名為避免隱含偏見的文件, 其中列出了研究中顯示的一些做法, 以減輕隱性偏見的影響, 例如花時(shí)間做決定, 或者創(chuàng)造一個(gè)大的候選人庫(kù)。這些都是好的做法, 即使你不相信偏見的存在。這份文件現(xiàn)在已經(jīng)分發(fā)給每一個(gè) MAA 委員會(huì)的任務(wù)。

你看, 我們必須認(rèn)識(shí)到, 即使人們是公正的, 即使他們渴望成為公正的人, 一個(gè)社會(huì)也可能不是公正的, 如果它的結(jié)構(gòu)和實(shí)踐不是公正的。整個(gè)社會(huì)繁榮的唯一方式, 就是社會(huì)是一個(gè)公正的社會(huì)。人們常說(shuō), 公正社會(huì)的標(biāo)志是它如何對(duì)待其最脆弱的成員。

所以我非常謙卑地問(wèn): 我們是一個(gè)公正的社區(qū)嗎？

如果你相信數(shù)學(xué)是為了人類的繁榮, 而我們教授數(shù)學(xué)來(lái)幫助他們發(fā)展, 你會(huì)發(fā)現(xiàn), 如果你環(huán)顧整個(gè)教室, 你會(huì)發(fā)現(xiàn)我們并沒(méi)有幫助我們所有的學(xué)生繁榮發(fā)展。數(shù)學(xué)社區(qū)的人口統(tǒng)計(jì)學(xué)看起來(lái)不像美國(guó)的人口統(tǒng)計(jì)學(xué)。我們已經(jīng)把我們職業(yè)中繁榮發(fā)展的好處全部拋諸腦后。

所以我們必須討論種族問(wèn)題, 這很難。它可以帶來(lái)復(fù)雜的情緒, 在過(guò)去的一年里, 我們國(guó)家發(fā)生的所有事情更是如此。在我們的社區(qū), 我們必須變得更加自在地談?wù)撍? 傾聽彼此的經(jīng)歷, 并且愿意認(rèn)識(shí)到他們的存在。如果你想尊嚴(yán)地對(duì)待他人, 他們正在受到傷害, 你不能忽視他們的痛苦。你問(wèn):"你正在經(jīng)歷什么?"

僅僅說(shuō)"我不考慮種族"是不夠的因?yàn)樵谝粋€(gè)社區(qū)里, 一個(gè)成員的所作所為會(huì)影響整個(gè)社區(qū)。對(duì)于我們這些不屬于主流種族群體的人來(lái)說(shuō), 我們沒(méi)有說(shuō)"我不考慮種族"的奢侈, 因?yàn)榉N族問(wèn)題每天都在影響著我們。所以, 讓我鼓勵(lì)我們所有人試著進(jìn)行這些對(duì)話, 快速傾聽, 說(shuō)話緩慢, 當(dāng)我們說(shuō)一些愚蠢的話時(shí), 我們會(huì)很快原諒對(duì)方。如果你開始交談, 這種情況就會(huì)發(fā)生, 如果我們犯了錯(cuò)誤, 我們必須對(duì)彼此有恩惠——這總比不說(shuō)好。

所以如果我們要談話, 我會(huì)開始。我在德克薩斯州的一個(gè)白人和拉丁美洲地區(qū)長(zhǎng)大, 我很早就意識(shí)到我的家庭和我的朋友們有不同的習(xí)俗ーー我的衣服不同, 我飯盒里的食物不同ーー這些事情讓我不適應(yīng)。我想成為白人。不是拉丁人, 因?yàn)榘兹说玫搅烁嗟淖鹬? 作為一個(gè)亞洲人, 我總是被人欺負(fù)。我沒(méi)有亞裔美國(guó)人的榜樣。所以我努力表現(xiàn)得像個(gè)白人, 即使我看起來(lái)不像白人。

另一方面, 在中國(guó)社區(qū), 我也不適合。我不會(huì)說(shuō)漢語(yǔ)。我不是中國(guó)人, 我不是中國(guó)人。在中國(guó)餐館, 我被認(rèn)為是白人。你知道在真正的中國(guó)餐館里, 常常會(huì)有一個(gè)特別的菜單, 一個(gè)秘密的菜單, 他們只給中國(guó)人吃？它擁有所有的好東西。除非我要求, 否則我不會(huì)得到那份菜單。事實(shí)上, 他們讓我氣餒: 說(shuō) ` 你不會(huì)喜歡菜單上的東西'。

作為數(shù)學(xué)家, 誰(shuí)能看到我們的秘密菜單？我們要指導(dǎo)誰(shuí)去學(xué)更多的數(shù)學(xué)課程？我們不愿意看那份菜單的人是誰(shuí)？

別讓我聽起來(lái)像是在抱怨我的種族。作為亞洲人, 我有很多方法從中受益。人們期望我在數(shù)學(xué)和科學(xué)方面做得更好, 我相信這也是我這么做的原因之一。因?yàn)槲椰F(xiàn)在知道有一個(gè)公認(rèn)的關(guān)于預(yù)期效應(yīng)的文獻(xiàn), 老師的期望確實(shí)會(huì)影響學(xué)生的表現(xiàn)。

當(dāng)我第一次搬到加利福尼亞的時(shí)候, 我感覺自己不是少數(shù)派。那里有很多亞裔美國(guó)人。在德克薩斯, 我通常會(huì)得到一個(gè)問(wèn)題"你的英語(yǔ)真好！你從哪里來(lái)?""德克薩斯""不, 你到底是從哪里來(lái)的?"這在加利福尼亞從來(lái)沒(méi)有發(fā)生過(guò), 我有一種自由的感覺, 因?yàn)槲也恍枰瘩g這些口頭的刺痛。

這些天, 我習(xí)慣了參加數(shù)學(xué)會(huì)議, 看到一大堆白臉。所以, 即使是我也有點(diǎn)驚訝, 當(dāng)我當(dāng)選 MAA 總裁時(shí), 一位杰出的亞裔美國(guó)人種族問(wèn)題博主寫了一篇關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的博文。他的名字叫憤怒的亞洲人。他在我們的網(wǎng)站上看過(guò)去的 MAA 總統(tǒng)的照片, 考慮到他期望在數(shù)學(xué)方面有多少亞洲人, 他注意到他們都是白人, 除了我, 他寫了一篇諷刺的文章, 題目是:

"終于！一個(gè)擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)的亞洲人!"

我是 AMS 或 MAA 的第一位色彩總裁。當(dāng)你想到誰(shuí)會(huì)成為一個(gè)好的領(lǐng)導(dǎo)者時(shí), 包括亞洲人在內(nèi)的少數(shù)民族很容易被忽視。這可能不是故意的, 但當(dāng)你被要求思考誰(shuí)適合這個(gè)或那個(gè)角色, 你經(jīng)常想到的人就像那些在辦公室里的人。因此, 隱性偏見很容易滲透進(jìn)來(lái)。

我提出這個(gè)討論是出于對(duì)數(shù)學(xué)界的深厚感情。我希望我們能夠蓬勃發(fā)展, 我們有很多方法可以做得更好。

2015年, 我非常高興地參加了 MSRI-UP 的運(yùn)營(yíng), 這是一個(gè)針對(duì)來(lái)自不足背景的學(xué)生的暑期研究項(xiàng)目: 第一代大學(xué)生, 拉丁裔和非裔美國(guó)孩子。我要求他們幫助我準(zhǔn)備這個(gè)演講, 告訴我他們?cè)跀?shù)學(xué)方面遇到的障礙。

其中一個(gè)在那個(gè)夏天做得很好的人, 告訴我她回來(lái)后在一個(gè)分析課上的經(jīng)歷。她說(shuō):"... ... 盡管課程很難, 但要接受教授的羞辱更加困難。他讓我們覺得自己學(xué)不好數(shù)學(xué), 他甚至讓我們換一個(gè)更容易的職業(yè)。"由于這種經(jīng)歷和其他經(jīng)歷, 她把她的專業(yè)轉(zhuǎn)到了工程專業(yè)。

讓我說(shuō)清楚: 沒(méi)有理由告訴一個(gè)學(xué)生她不屬于數(shù)學(xué)。這是學(xué)生的決定。不是你的。你可以看到她進(jìn)步的快照, 但是你看不到她的軌跡。你不可能知道她將來(lái)是如何成長(zhǎng)和繁榮的。但是你可以幫助她到達(dá)那里。

當(dāng)然, 如果他們想要繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué), 你應(yīng)該給學(xué)生提供他們可能需要進(jìn)一步發(fā)展的技能的直率的建議, 但是如果你把數(shù)學(xué)看作是一種幫助他們成長(zhǎng)的方法, 你為什么不鼓勵(lì)他們學(xué)更多的數(shù)學(xué)呢？

那年夏天的另一個(gè)學(xué)生, 奧斯卡, 告訴我他作為一個(gè)數(shù)學(xué)專業(yè)的經(jīng)歷, 他不像他的同齡人, 因?yàn)樗谋尘? 沒(méi)有任何進(jìn)入大學(xué)的預(yù)先安置信貸。他表示:

"然而, 當(dāng)我在復(fù)雜分析課程的時(shí)候, 我注意到我的軌跡是多么的不同。一個(gè)學(xué)生正在董事會(huì)上提出一個(gè)解決方案, 這需要一些復(fù)雜的推導(dǎo)到一半。他們跳過(guò)了一些步驟, 引用我不認(rèn)為我需要通過(guò)代數(shù)... ... 我們?cè)谶@里測(cè)試的都是微積分! 我的教授點(diǎn)頭表示同意, 一些學(xué)生笑了。我悄悄地說(shuō), 微積分是我在這里的第一道菜。我的教授真的很驚訝, 說(shuō) ` 哇, 我不知道這個(gè)！這很有趣。"我不知道是否應(yīng)該為我不是一個(gè)從他們數(shù)學(xué)生涯一開始就成功的典型的數(shù)學(xué)學(xué)生這一事實(shí)感到自豪還是尷尬。盡管我開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué), 但我仍然感到一種自豪感, 但我不禁感到自己并不屬于那間教室。"

奧斯卡之所以進(jìn)入這個(gè)班級(jí), 是因?yàn)榱硪晃唤淌诘姆e極支持。奧斯卡說(shuō):

"她給我提供了我的第一個(gè)研究機(jī)會(huì), 并且總是鼓勵(lì)我學(xué)習(xí)更高的數(shù)學(xué)。我也能夠向她吐露我在數(shù)學(xué)方面作為一個(gè)少數(shù)人所經(jīng)歷的很多內(nèi)心掙扎, 因?yàn)樽鳛橐粋€(gè)女性, 她自己也有類似的經(jīng)歷！我的復(fù)雜分析教授也成為我的導(dǎo)師之一。我認(rèn)為這只是一個(gè)有趣的時(shí)刻, 因?yàn)樗龥](méi)有意識(shí)到她對(duì)這種情況的反應(yīng)會(huì)如何傷害我(我不認(rèn)為她一定有錯(cuò)!).更重要的是, 她的反應(yīng)堆積在了我對(duì)于作為一個(gè)數(shù)學(xué)背景較弱的少數(shù)群體的不安全感。"

(請(qǐng)注意, 奧斯卡沒(méi)有"軟弱"的背景ーー他有標(biāo)準(zhǔn)的背景。)

我很高興地說(shuō), 奧斯卡和他那個(gè)夏天的團(tuán)隊(duì)剛剛在 AMS 雜志上發(fā)表了一篇論文, 現(xiàn)在他正在讀研究生。

你從奧斯卡的故事中聽到了擁有一位倡導(dǎo)者的重要性, 一位教員說(shuō):"我看到你了, 我認(rèn)為你在數(shù)學(xué)方面有前途。"這對(duì)于代表性不足的群體和女性來(lái)說(shuō)尤其重要, 因?yàn)樗齻円呀?jīng)有那么多的聲音告訴他們他們不能。你能做那個(gè)辯護(hù)律師嗎？

如果我們教授數(shù)學(xué)來(lái)幫助我們的學(xué)生茁壯成長(zhǎng), 那么我們就不應(yīng)該建立不利于背景較弱的聰明學(xué)生的結(jié)構(gòu), 或者讓他們覺得自己"格格不入"。我知道這種情況可能在學(xué)生中間無(wú)意中發(fā)生, 但我們作為教員, 是我們部門文化的牧羊人。當(dāng)我還是哈佛大學(xué)的研究生時(shí), 他們有一個(gè)正規(guī)的微積分課程, 一個(gè)稱為數(shù)學(xué)25的榮譽(yù)微積分課程, 最重要的是, 對(duì)于那些有著強(qiáng)烈背景的學(xué)生來(lái)說(shuō), 他們還有一個(gè)叫做數(shù)學(xué)55的超級(jí)榮譽(yù)班。具有諷刺意味的是, 我經(jīng)常遇到那些覺得自己不屬于數(shù)學(xué)的學(xué)生, 因?yàn)樗麄冞€沒(méi)有進(jìn)入超級(jí)榮譽(yù)賽道。我不得不繼續(xù)向他們保證"背景和能力是不一樣的。"我有時(shí)候也希望研究生院的招生人員也能記住這一點(diǎn):"背景和能力是不一樣的"。正如我的朋友 Bill Velez 所說(shuō): 如果你想讓你的博士項(xiàng)目有更多有色人種的學(xué)生, 那么你就必須停止以背景為基礎(chǔ)的錄取學(xué)生, 并開始通過(guò)他們的能力來(lái)招收學(xué)生。然后, 支持他們。做一個(gè)倡導(dǎo)者！他們有那么多的聲音告訴他們, 他們不屬于這里。

我知道我們的社區(qū)希望。為了讓事情回到正軌。如果你周四參加了隱形人物小組會(huì)議, 你會(huì)看到投票的人數(shù)。有那么多人我們不得不打開第二個(gè)房間, 即使那樣, 它也只是站著的空間。所以我知道我們的社區(qū)想要做得更好。

所以, 如果你想和你的學(xué)生或同事開始談話, 但不知道從哪里開始, 有時(shí)它可以幫助有第三方。我愿意成為第三方。我為 MAA FOCUS 寫了很多關(guān)于這些話題的文章, 它們都發(fā)布在我的網(wǎng)頁(yè)上。你可以讓你的學(xué)生閱讀他們, 然后進(jìn)行討論。我可以向你保證, 我們會(huì)好好利用的。

因?yàn)槲覀儾皇菙?shù)學(xué)機(jī)器。我們活著, 我們呼吸, 我們感覺, 我們流血。如果你的學(xué)生在掙扎, 而你不承認(rèn)這一點(diǎn), 他們的教育就會(huì)變得無(wú)關(guān)緊要。如果數(shù)學(xué)與人類的欲望沒(méi)有深刻的聯(lián)系, 為什么還要關(guān)心數(shù)學(xué)呢: 玩耍, 追求真理, 追求美麗, 為正義而戰(zhàn)？你可以成為那種聯(lián)系。

所以今天讓我來(lái)挑戰(zhàn)你們每一個(gè)人。找一個(gè)你知道面臨挑戰(zhàn)的學(xué)生, 成為他們的長(zhǎng)期擁護(hù)者。一種方法是報(bào)名成為數(shù)學(xué)聯(lián)盟的導(dǎo)師。由 Phil Kutzko 指導(dǎo)的這個(gè)項(xiàng)目的目標(biāo)是確保每一個(gè)任職人數(shù)不足或服務(wù)不足的美國(guó)學(xué)生都有機(jī)會(huì)獲得數(shù)學(xué)科學(xué)的博士學(xué)位。

找一個(gè)學(xué)生做他們的代言人！是那個(gè)說(shuō)"我看到你了, 我覺得你在數(shù)學(xué)方面有前途"的人為他們尋找機(jī)會(huì)的人。做那個(gè)把他們拉向美德的人。當(dāng)他們逃課的時(shí)候給他們打電話, 問(wèn)他們"一切都還好嗎?"？你在經(jīng)歷什么

我知道我要你做的事很難, 需要時(shí)間。

但我們是數(shù)學(xué)家... 我們知道如何解決難題。我們有堅(jiān)持到底的毅力。當(dāng)我們犯錯(cuò)誤時(shí), 我們會(huì)謙虛地承認(rèn), 并從中吸取教訓(xùn)。我們希望我們的勞動(dòng)永遠(yuǎn)不會(huì)白費(fèi), 我們的工作將在我們學(xué)生的繁榮中結(jié)出碩果。

因?yàn)槲乙竽阕龅氖虑槭悄阋呀?jīng)知道的, 在師生關(guān)系的核心, 把我們拉向美德。我是在請(qǐng)求你去愛。

5. LOVE

我若用人和天使的方言說(shuō)話, 卻沒(méi)有愛, 我就是一個(gè)吵鬧的鑼或者叮當(dāng)響的鈸。保羅

愛是人類最大的欲望。愛和被愛是人類繁榮的最高標(biāo)志。因?yàn)樗?wù)于其他欲望ーー玩耍、真理、美麗和正義ーー而且是由他們服務(wù)的。

每個(gè)人都在默默地呼喊, 希望能夠以不同的方式閱讀。每個(gè)人都默默地呼喊著被愛。克里斯托弗在監(jiān)獄里, 不僅僅是在尋求數(shù)學(xué)建議。他正在尋找聯(lián)系, 有人在他的數(shù)學(xué)空間里與他交流, 說(shuō)"我看見你了, 我和你一樣, 對(duì)數(shù)學(xué)有著超然的熱情, 你屬于這里。"

當(dāng)我在研究生院陷入絕望的深淵時(shí), 一位教授說(shuō)我不屬于學(xué)術(shù)界, 在許多非學(xué)術(shù)性的事情上苦苦掙扎時(shí), 一位教授向我伸出援手, 成為我的支持者。他說(shuō):"我寧愿看到你和我一起工作, 也不愿意辭職。"所以我現(xiàn)在站在你面前問(wèn)你: 找一個(gè)掙扎的學(xué)生, 愛他們, 成為他們的擁護(hù)者！

接下來(lái), 我將以 Simone Weil 的這個(gè)反思結(jié)束, 因?yàn)槲艺J(rèn)為它收集了我所有的談話內(nèi)容。在解決了自己在數(shù)學(xué)方面的不安全感之后, 她發(fā)現(xiàn)通過(guò)她的掙扎有一條通往美德的道路, 她的斗爭(zhēng)可以幫助其他人。她寫道:

"對(duì)我們的鄰居充滿愛意, 只是意味著能夠?qū)λf(shuō): ` 你正在經(jīng)歷什么這是一種認(rèn)識(shí), 即受害者不僅作為一個(gè)集合中的一個(gè)單位存在, 或者一個(gè)標(biāo)有 ` 不幸'的社會(huì)范疇的標(biāo)本, 而且作為一個(gè)和我們完全一樣的人, 有一天他被一種特殊的痛苦烙上了特殊的印記。因?yàn)檫@個(gè)原因, 這是足夠的, 但是它是不可或缺的, 知道如何以某種方式看待他。

"這種看問(wèn)題的方式首先是關(guān)注。靈魂清除了自己所有的內(nèi)容, 以便接受它所看到的存在, 就像他所看到的一樣, 在他所有的真理中。只有有能力的人才能做到這一點(diǎn)。

"因此, 盡管看起來(lái)似乎有些矛盾, 但拉丁文的散文或是幾何問(wèn)題, 即使他們做錯(cuò)了, 也許有一天會(huì)有很好的服務(wù), 只要我們?yōu)樗麄冏龀稣_的努力。

"如果出現(xiàn)這種情況, 有一天, 他們可以使我們更好地在他需要的最重要時(shí)刻, 讓我們能夠更好地幫助處于困境中的人。

"對(duì)于一個(gè)能夠掌握這個(gè)真理并且慷慨地渴望這種水果的青少年來(lái)說(shuō), 研究可以產(chǎn)生最充分的精神效果, 與任何特定的宗教信仰完全不同。

"學(xué)術(shù)工作是那些包含珍貴珍珠的領(lǐng)域之一, 值得出售我們所有的財(cái)產(chǎn), 不為自己保留任何東西, 以便能夠獲得它。"

她找到了一條通過(guò)斗爭(zhēng)獲得美德的道路。她明白數(shù)學(xué)是為了人類的繁榮。數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)與愛情是分不開的！玩數(shù)學(xué)題的朋友之間的愛。老師和學(xué)生之間的愛, 為了互相幫助, 互相幫助。

像美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)這樣的社區(qū)之間的愛為了一個(gè)共同的目標(biāo)而努力: 通過(guò)數(shù)學(xué)所產(chǎn)生的知識(shí)和美德, 幫助每個(gè)人的繁榮。

謝謝你這兩年給我這個(gè)機(jī)會(huì)為你服務(wù)。再見, 我的朋友們。賜予你恩典與和平。愿你和你所有的學(xué)生都興旺起來(lái)。

編輯：Gemini

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的人类繁荣的数学：数学的哈欠的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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