囚犯抓綠豆，誰生誰死？

五個囚犯先后從 100 顆綠豆中抓綠豆。抓得最多和最少的人將被處死，不能交流，可以摸出剩下綠豆的數量，誰的存活幾率最大？

提示：

1.他們都是很聰明的人；

2.他們的原則是先求保命，再去多殺人；

3.100 顆不必都分完，但要保證每人至少抓一顆；

4.若有重復的情況，則也算最大和最小，一并處死。

這道題怎么做，取決于我們如何從數學的角度理解題干中這句話：

「他們的原則是先求保命，再去多殺人」。

?我的理解是：?

1. 每個人采取方案，使得剩下的人在采取最佳方案的時候，自己的存活概率最大；

2. 如果有多種方案使得自己的存活概率最大且相同，則采取殺死人最多的方案。

假設我的理解正確，那么，這道題將會有一個可怕的答案。

定義： 為第 個人取走的綠豆數，而 為前 個人取走的總綠豆數

?引理 1：

當 個人 () 取過綠豆時，如果被取走的綠豆數滿足

則第 個人應該取 顆綠豆；

?證明：?

這個方案，可以確保自己不死，同時剩下未取豆子的人死亡概率最大。

其中：

是確保剩下的人至少有一顆綠豆可選，且自己至少取了 2 顆；

是確保自己取的綠豆數至少比前面取的最多的人少 1 ；

由于 , 有, 這不僅保證了自己取的豆子數不是最多的，并且其他人不可能都取到那么多，所以自己必然存活；

如果 ，他在確保自己存活的情況下，使得剩下的豆子數最少，這樣可以殺更多的人；

如果，他在確保自己存活的情況下，剩下的人每個人只能取 1 顆豆子，確保殺死剩下的所有人；

?推論 1：如果第 1 個人想要存活，那么他取的豆子數不能超過 20 顆，否則，后面的人只要采取引理 1 的方案，將保證自己存活，且此時第 1 個人會因為取的綠豆數最多而死亡，而最后 1~3 個人（根據第 1 個人取的綠豆數）會因為自己取的豆子數最少而死亡；

?引理 2：當 時，若，

則第 個人應該取 顆綠豆來確保自己的存活概率最高

（其中， 是均值的四舍五入）

因為當且僅當在這種情況下，只要前面的人取的綠豆數的最大最小值之差不小于 2，自己就確保能存活（否則存活范圍會變窄）

對于第 5 個人，這個條件可能不成立，比如見到前面四個人取了 62 顆，可能是 14+16+16+16，也可能是 15+15+15+17，所以他無論取 15 顆還是 16 顆都有機會但不能確保自己存活。

而所有人取綠豆的最大最小值的差不大于 1，所有人都得死；

引理 3：當大家都極度自私的情況下，前 2 個人沒有存活的可能

這是因為由引理 2，如果第 3~5 個人都會采取對他們而言存活概率的方案，如果第 2 個人和第 1 個人取的綠豆數差超過 1 個，那前兩個人就包攬了最大最小值，必須死，如果差不超過 1，則所有人都得死；

既然第 1 個人沒有存活概率，那他的目標就很耐人尋味了：

如果自己沒有存活概率——

選擇 1：殺死盡可能多的人

選擇 2：盡可能拯救更多的人

按照我的假設，應該是前者。

既然第 1 個人沒有存活概率，不妨讓大家都死得干凈些——取走 96 顆綠豆！

但如果，第 1 個人有點惻隱之心，做出了選擇 2：

那，他會取走 21~33 的豆子數，根據引理 1，第 2~4 個人會存活；

所以，本題根據對題意的不同理解，有兩解：

·所有人都死亡；

·第 2~4 個人存活；

而對于第 1 個囚犯，他將面臨一個哲學難題：

如果自己不可能活下去，你會選擇讓別人陪葬，還是讓其他人好好活下去？

如果是你，會怎么選擇呢？

數學妙啊！妙！

作者： 曾加?

簡介：數據分析師，畢業于清華大學，知乎數學話題優秀回答者

∑編輯?| 裴奕霖

來源 | 知乎

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總結

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