數(shù)學(xué)家曾被《華爾街日報》評選為全世界最好的工作。生活中、科技界，數(shù)學(xué)無處不在。我們可以用數(shù)學(xué)證明揭開“美”的神秘面紗，數(shù)學(xué)超越了公式，激發(fā)了我們對世界和宇宙的更多想象，通過數(shù)學(xué)，我們可以對這個世界有更好的了解與感知。法國數(shù)學(xué)家，菲爾茲獎得主?Cedric Villani 在未來論壇上的演講帶領(lǐng)我們走進(jìn)數(shù)學(xué)美的世界。

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Cedric Villani，現(xiàn)任法國里昂高等師范學(xué)校教授、龐加萊研究所主任。1998年以研究玻爾茲曼方程和分子運(yùn)動論獲得巴黎高等師范學(xué)院博士學(xué)位，2010年憑借證明了玻爾茲曼方程的非線性阻尼以及收斂于平衡態(tài)獲得菲爾茲獎。

演講 | Cedric Villani（法國數(shù)學(xué)家、2010年菲爾茲獎得主）

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我們知道，愛因斯坦用物理學(xué)的方式簡化了很多東西與數(shù)學(xué)的關(guān)系。首先，他自己作為物理學(xué)家，將數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家聯(lián)系在了一起。其次，他用簡單的數(shù)學(xué)形式改變了我們描述世界、描述空間和時間的方式。第三，他同樣也建立起了數(shù)學(xué)和物理之間的橋梁。

事實上，有時候我們需要對數(shù)學(xué)深入研究，而有時候是對物理進(jìn)行研究。我們找到的東西就在我們的頭腦中，而所有的這些都可以歸結(jié)到數(shù)學(xué)之美。數(shù)學(xué)中有很多非常讓人震驚的東西。

我們來看6年前，也就是2009年的時候，你認(rèn)為所有的工作中最好的是什么？《華爾街日報》的調(diào)查說，數(shù)學(xué)家是全世界最好的工作。之后，在去年，同樣的團(tuán)隊重新做了這項研究，得出了相同的結(jié)論。

我試著解釋一下，為什么數(shù)學(xué)家是最好的工作。數(shù)學(xué)家無處不在，并且有越來越多的數(shù)學(xué)家存在于我們的身邊、存在于技術(shù)中、存在于新的數(shù)學(xué)、老的數(shù)學(xué)中。并且，我們會將之前數(shù)學(xué)家的工作運(yùn)用到新的研究工作中，我們還在用越來越多的數(shù)學(xué)工具來研究所有的物理學(xué)分支。

華爾街日報選出的最好工作及最差工作

在各個領(lǐng)域中，我們都在使用數(shù)學(xué)，它無處不在。有很多的數(shù)學(xué)已經(jīng)進(jìn)入了到我們的科技中，物理、化學(xué)、生物學(xué)都和數(shù)學(xué)緊密地聯(lián)系在一起。我們來看建筑學(xué)，數(shù)學(xué)在建筑中發(fā)揮著非常重要的作用。在建筑中我們發(fā)現(xiàn)了非對稱之美，比如說給定一個建筑物，我們必須用計算機(jī)來模擬計算它的不對稱情況，以確保它不會出現(xiàn)坍塌。

法國著名奢侈品牌Louis Vuitton（路易威登）在巴黎Bois de Boulogne公園興建的路易威登創(chuàng)意基金會藝術(shù)博物館（2014年落成）

我們看過一些經(jīng)典的電影也是這樣。例如《地心引力》可能是最具有數(shù)學(xué)性的電影。在電影中，所有事物都得通過計算來重現(xiàn)。包括方程式、包括等式、包括像演員的臉都是通過數(shù)學(xué)算法模擬出來的。是數(shù)學(xué)讓這個電影成為可能。

電影《地心引力》劇照。圖中為桑德拉·布洛克扮演的宇航員瑞安·斯通博士

曾經(jīng)在一個數(shù)學(xué)家大會上，一位好萊塢電影導(dǎo)演講到了這個現(xiàn)象。他說好萊塢的大片很多是運(yùn)用了數(shù)學(xué)的原理才能夠制作出來的。但是數(shù)學(xué)不僅僅是做一個東西，或者說是解決一個問題，也不僅僅是制作一部電影，它意味著理解這個世界的奧秘，理解自然之美。從我們過去的古希臘數(shù)學(xué)，從過去的那些老的數(shù)學(xué)和工具，一直到現(xiàn)代的新的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)讓我們理解真實和美麗的真諦。

我們可以看一下這些數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家的面孔。他們一直在探索世界之迷，他們一直在發(fā)現(xiàn)，一直在探索。我們可以看到始于2000多年前的很多翻譯的著作。這五張圖片中都是最為睿智的數(shù)學(xué)家。

古希臘哲學(xué)家數(shù)學(xué)家。左起分別為：泰勒斯，畢達(dá)哥拉斯，歐幾里得，阿基米德，埃拉托色尼

泰勒斯，人們經(jīng)常說的第一位哲學(xué)家；畢達(dá)哥拉斯，他認(rèn)為世界充滿了數(shù)學(xué)之謎等待人們探索；歐幾里得，他寫了流傳兩千多年的《幾何原本》；阿基米德，他是數(shù)學(xué)天才的象征，他的頭像被刻在了菲爾茲獎?wù)律?#xff1b;埃拉托色尼，他用數(shù)學(xué)改變了我們描述這個世界的方式。

那么數(shù)學(xué)究竟是什么呢？數(shù)學(xué)歸根結(jié)底是一種推理方法。比如說我們在處理這個古希臘的三角形幾何的時候——順便提一句，這也是愛因斯坦最感興趣的一個話題，愛因斯坦對它的發(fā)展也作出了重大的貢獻(xiàn)——會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)無處不在，它可以讓你感受到美的存在。三角形有很多的奧秘，比如說我們從哪條線可以達(dá)到中心，如何去進(jìn)行證明，等等。我們可以用美的數(shù)學(xué)證明，來解決美的自然奧秘。

三角形幾何示意圖

我們看一下亞里士多德對美是如何闡釋的：美的主要形式是一種秩序，是一種可公度性（編者注：也稱為可通度性或可通約性）和一種精準(zhǔn)性。右邊這位是法國數(shù)學(xué)家龐加萊，他說深刻的美來自于各部件的一種和諧的秩序。通過一種秩序，一種有序的推理和理解，我們能夠找到深刻之美。

亞里士多德與龐加萊對美的闡釋

我們來看，在埃及有一個地方，在某一天太陽會垂直照射在物體上。數(shù)學(xué)家埃拉托色尼（Eratosthenes，公元前275年一前193年）就對太陽光的照射角度進(jìn)行幾何的解釋和探索。由于正弦值和弧度值之間的差異，我們會發(fā)現(xiàn)在他的判斷中還有了2%的誤差，但這在兩千年前已經(jīng)很不容易了。因為數(shù)學(xué)，讓希臘的科學(xué)家們很早就知道了地球直徑是39375公里這么長。

埃拉托色尼測量地球直徑示意圖

數(shù)學(xué)讓我們有了更多的想象，它超越了這些公式本身，讓我們知道地球有多大，讓我們知道地球是圓的，可以從一端走到另一端。

容易發(fā)現(xiàn)上述的是一種對空間的測量。那么如何測量時間呢？在很長的一段時間里，對于時間的測量是基于一種機(jī)械性的測量，如下圖，它非常地聰明、精確，只有百分之一的誤差。但是一天可能誤差會有十分鐘。

早期機(jī)械表示意圖

在17世紀(jì)，當(dāng)考慮單擺的時候，伽利略（Galileo Galilei,1564-1642）發(fā)現(xiàn)其擺動周期是與擺體質(zhì)量無關(guān)的。這個關(guān)系是非常美的。后來基于牛頓力學(xué)我們就可以得到如下圖左邊的關(guān)系式。我們可以進(jìn)行極好的、極精確的計算，對此進(jìn)行研究。但是有一天，他在想如何去使用這種方法來測量時間時出現(xiàn)了問題。我們知道當(dāng)擺的幅度增大時，擺動周期會有輕微的不同。所以我們需要一個等時的曲線。

如下所謂的等時曲線（tautochronous curve），是由惠更斯發(fā)現(xiàn)的曲線。物體如果按照這個曲線的軌跡擺動，其周期不會隨擺動幅度的改變而發(fā)生變化。這是數(shù)學(xué)計算得到的結(jié)果。基于此，人們就可以得到更為精確的測量方法，比以往的任何時候都更加精確。這就是數(shù)學(xué)帶來的魅力。

單擺和惠更斯擺示意圖

Cedric Villani在向人們展示單擺

我們使用像惠更斯理論這樣的數(shù)學(xué)還可以做其他的事情，這將進(jìn)一步提升我們使用數(shù)學(xué)的能力。比如說，我們?nèi)匀豢紤]地球形狀這個問題。牛頓當(dāng)時也聽過這樣一個測量方法，通過他的微分方程我們發(fā)現(xiàn)對時間的測量是依賴于當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊摹Ｏ聢D中通過在巴黎和在卡宴（法屬圭亞那首府，編者注）的測量，我們可以根據(jù)牛頓的理論得出地球的扁平率為0.5%，而實際上是0.3%。所以由此我們其實可以對地球的形狀做出一個更好的判斷。

由擺周期測量地球扁平率的示意圖

通過數(shù)學(xué)，我們可以對我們的世界有更好的了解與感知。我們看到了數(shù)學(xué)研究的巨大進(jìn)步和對于時空測量的巨大進(jìn)步。實際上這進(jìn)步是和物理無關(guān)的，而和數(shù)學(xué)有很大的關(guān)系。

這里值得一提的是曲線、曲率的概念。不管怎么說，最初它是一個數(shù)學(xué)概念。這個數(shù)學(xué)概念在不斷地演變，因為我們知道不同的人正在不斷地推動數(shù)學(xué)和科學(xué)的發(fā)展。進(jìn)而我們就有黎曼的流形理論，這是19世紀(jì)末、20世紀(jì)初的事情。此后不久，愛因斯坦開始處理廣義相對論的問題，事實上最開始他還在考慮平坦曲率的問題。然后他遇上了他的數(shù)學(xué)家朋友格羅斯曼。

他們的討論讓兩人發(fā)現(xiàn)，愛因斯坦需要的正是黎曼的理論，下圖中黑板上寫的就是他所謂的愛因斯坦方程，R代表的就是曲率。也許他們兩個人都沒有想到，這個方程式會對時空的測量起到如此巨大的作用。下圖中的GPS定位系統(tǒng)如果沒有廣義相對論的校正，將會產(chǎn)生～1米量級的誤差。這些理論非常地重要，為我們照亮了前行的路。

（從左到右）黎曼、格羅斯曼、正在書寫愛因斯坦方程的愛因斯坦，以及GPS定位儀

順便提一下，愛因斯坦本人并不能夠完全相信黑洞，雖然他的理論表明了黑洞的存在。這是數(shù)學(xué)的預(yù)言。

同樣的數(shù)學(xué)會與不同的事物發(fā)生聯(lián)系。例如對于我來說，我做的一個研究的結(jié)果是，我發(fā)現(xiàn)了一些數(shù)學(xué)理論與很多經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象有著緊密的聯(lián)系。比如說在一些工業(yè)中運(yùn)送貨物時的優(yōu)化問題中，我們也會用到黎曼幾何。

更有趣的是，在氣體理論中，很多不同的理論解決著不同的問題，但冥冥中也有一些聯(lián)系。有很多的作者發(fā)現(xiàn)了這些聯(lián)系，包括在那些與幾何相關(guān)的問題中。

我借用下圖這個惰性氣體實驗來說明。這是愛因斯坦當(dāng)時非常喜歡的一個實驗。想象你有一些質(zhì)量給定的氣體，從第零到第一分鐘，讓這些氣體從一個狀態(tài)轉(zhuǎn)變到另外一個狀態(tài)。這些氣體的運(yùn)動方式將消耗最少的能量。在它們轉(zhuǎn)變的時候，你用波爾茲曼的理論來測量它們的熵，會發(fā)現(xiàn)它是一條上凸的曲線。這種對正曲率的描述方式與我們常見的愛因斯坦的方式是完全不同的。

惰性氣體實驗示意圖與熵隨實驗的函數(shù)關(guān)系圖

再舉一個例子來說明不同事物之間的聯(lián)系。現(xiàn)在我們知道，黎曼如此有名，提出了很多理論，他死后，他的理論在很多地方仍然有應(yīng)用，且互相之間有著很多的聯(lián)系。他死的時候40歲，活得如此短，而他本人卻是一個非常浪漫的、富有啟示性的人物。不管你信不信，我看到過一個非常有名的搖滾歌手曾經(jīng)說，當(dāng)他缺乏靈感時，他就會查看帶黎曼二字的學(xué)術(shù)名詞。這真是件有趣的事情。

黎曼墓碑與部分由他名字命名的學(xué)術(shù)話題

我想最后總結(jié)一下。科學(xué)的結(jié)果是非常令人興奮、鼓舞人心的，并且我們一直在研究，一直在研究，看不到終點。我經(jīng)常會想我為何這么蠢，有這么多、各種各樣的解決不了的問題。我最后發(fā)現(xiàn)，這完全是一團(tuán)糟，有的時候我們的實驗會被打斷，有的時候我們并不了解自己在做些什么，有的時候我們會找到一個有用的理論然后發(fā)現(xiàn)五十年之前已經(jīng)有人想過了，等等。完全是一團(tuán)糟。

Cedric Villani做研究時候的照片，以及他所認(rèn)為的科研過程示意圖

事實上，我寫了一本書來談這樣的一個過程。這本書展示了我們?yōu)楹谓?jīng)常犯如此多的錯誤。科研不會是坦途，愛因斯坦在研究相對論的過程中也犯了很多的錯誤，在他們的理論出現(xiàn)之后也同樣犯了一些錯誤，他意識到了自己的錯誤，并找到了更合適的選擇。

《Théorème vivant》，Cedric Villani 2012年著作

這就是我最后想說的。謝謝大家。

（完）

∑編輯?|?Gemini

來源 | 知識分子（the-intellectual）

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總結(jié)

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