恭喜你，不經(jīng)意間發(fā)現(xiàn)了史上的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。如果在2500年前，你也許會(huì)被當(dāng)作異端扔進(jìn)海里哦。這事還得從公元前580~568之間的古希臘說起。

當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)建立了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。這一學(xué)派集宗教、科學(xué)和哲學(xué)于一體，他們認(rèn)為萬物皆數(shù)，即宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。但是該學(xué)派的成員希伯索斯(Hippasus)根據(jù)勾股定理(西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理)通過邏輯推理發(fā)現(xiàn)，邊長為1的正方形的對(duì)角線長度既不是整數(shù)，也不是整數(shù)的比所能表示的。希伯索斯的發(fā)現(xiàn)被人們看成是荒謬和違反常識(shí)的事。它不僅嚴(yán)重觸犯了畢氏學(xué)派的信條，同時(shí)也沖擊了當(dāng)時(shí)希臘人的傳統(tǒng)見解，使古希臘的數(shù)學(xué)家們感到驚奇和不安，所以這一事件在數(shù)學(xué)史上稱為第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。希伯索斯的發(fā)現(xiàn)終沒有被畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信徒們所接受，相傳畢氏學(xué)派就因這一發(fā)現(xiàn)而把希伯索斯投入海中處死。

越來越多無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)迫使希臘數(shù)學(xué)家不得不研究這些數(shù)。歐多克斯(Eudoxus，約公元前408～前347)首先引入了“量”的概念，這里的量不是數(shù)，而是代表諸如線段、角、面積、體積、時(shí)間等。量與數(shù)的不同在于，數(shù)是離散的，即可數(shù)的，而量可以是連續(xù)的。歐多克斯由量的概念出發(fā)給出了一種新的比例論。歐幾里得《幾何原本》第五卷中引用了這種比例論，其定義為：設(shè)A，B，C，D是任意四個(gè)量，其中A和B同類(即均為線段、角或面積等)，C和D同類。如果對(duì)于任何兩個(gè)正整數(shù)m和n，mA大于、等于、小于nB是否成立，相應(yīng)地取決于mC大于、等于、小于nD是否成立，則稱A與B之比等于C與D之比，即A，B，C，D四量成比例。通過這一新的比例論，希臘數(shù)學(xué)家可以嚴(yán)格地將可公度量的證明推廣到不可公度的量，從而解決了不可公度帶來的邏輯上的矛盾。

歐多克斯比例論實(shí)際上是為了避免把無理數(shù)當(dāng)作數(shù)，這個(gè)理論給不可公度量的比例提供了邏輯依據(jù)，但是也將數(shù)同幾何截然分開，而且使希臘數(shù)學(xué)的重點(diǎn)從數(shù)轉(zhuǎn)向了幾何，因?yàn)閹缀慰梢蕴幚頍o理數(shù)。在此后的幾千年間，幾何學(xué)成為幾乎是全部嚴(yán)密數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而算術(shù)和代數(shù)則沒有取得獨(dú)立的地位。

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的徹底解決，是在危機(jī)產(chǎn)生二千年后的19世紀(jì)，建立了極限理論和實(shí)數(shù)理論之后，才被徹底解決的。

∑編輯?|?Gemini

來源 |?浙江大學(xué)報(bào)英文版

更多精彩：

? ?哈爾莫斯：怎樣做數(shù)學(xué)研究

? ?扎克伯格2017年哈佛大學(xué)畢業(yè)演講

? ?線性代數(shù)在組合數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

? ?你見過真的菲利普曲線嗎？

? ?支持向量機(jī)(SVM)的故事是這樣子的

? ?深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)學(xué)，對(duì)你來說會(huì)不會(huì)太難？

? ?編程需要知道多少數(shù)學(xué)知識(shí)？

? ?陳省身——什么是幾何學(xué)

? ?模式識(shí)別研究的回顧與展望

? ?曲面論

? ?自然底數(shù)e的意義是什么？

? ?如何向5歲小孩解釋什么是支持向量機(jī)（SVM）？

? ?華裔天才數(shù)學(xué)家陶哲軒自述

? ?代數(shù)，分析，幾何與拓?fù)?#xff0c;現(xiàn)代數(shù)學(xué)的三大方法論

算法數(shù)學(xué)之美微信公眾號(hào)歡迎賜稿

稿件涉及數(shù)學(xué)、物理、算法、計(jì)算機(jī)、編程等相關(guān)領(lǐng)域，經(jīng)采用我們將奉上稿酬。

投稿郵箱：math_alg@163.com

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的√2是个无理数，没有尽头，为什么边长为1的直角三角形可以画出来？ 是悖论吗？...的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。