Long long ago，小編為大家介紹Koch曲線 ）的時候提到了分形，結(jié)果小天很好奇這個所謂的分形究竟是什么。

為了不讓小天老是糾纏這個問題，今天小編就來介紹一下分形吧。

數(shù)千年以來，幾何學(xué)的研究主要集中在歐幾里得幾何上。正因如此，歐式幾何一直是人類認識自然物體形狀的有力工具，還是各種學(xué)科理論的基礎(chǔ)。甚至伽利略曾斷言：“大自然的語言是數(shù)學(xué)，它的標志是三角形、圓和其他幾何圖形”。

?但，真的是這樣嗎？

事實并非如此，自然界中存在著各種不規(guī)則不光滑不連續(xù)的幾何形體，譬如湍流的高漩渦、河流的支流、蜿蜒的海岸線，而這些形體是無法用歐式幾何描述的。

既然“萬能”的歐式幾何不管用了，那么有沒有處理這些不規(guī)則形體的好方法呢？

顯然是沒有的。

因此在1個多世紀前，所謂的數(shù)學(xué)怪物出現(xiàn)了，而康托爾、魏爾斯特拉斯等數(shù)學(xué)家則成為了制造者。

1883年，康托爾（傳送門）引入了如今廣為人知的康托爾集，也稱為三分集。雖然康托爾集很容易構(gòu)造，還是個測度為0的集，也就是它的函數(shù)圖像面積為0，但它具備很多最典型的分形特征，因此康托爾始終無法解決。

目前分形幾何的特征有：在任意小的尺度上都能有精細的結(jié)構(gòu)； 太不規(guī)則； （至少是大略或任意地）自相似，豪斯多夫維數(shù)會大於拓撲維數(shù)（但在空間填充曲線如希爾伯特曲線中為例外）； 有著簡單的遞歸定義。

Cantor集

1895年，在大部分數(shù)學(xué)家認為除了少數(shù)特殊的點以外，連續(xù)的函數(shù)曲線在每一點上總會有斜率的情況下，魏爾斯特拉斯提出了第一個分形函數(shù)“魏爾斯特拉斯函數(shù)”，并憑借函數(shù)曲線特點“處處連續(xù)，處處不可微”證明了所謂的“病態(tài)”函數(shù)的存在性。

1906年，科赫在論文《關(guān)于一條連續(xù)而無切線，可由初等幾何構(gòu)作的曲線》中提到了一種像雪花的幾何曲線，而這個雪花曲線就是de Rham曲線的特例科赫曲線（傳送門）。

Koch曲線

1914年，波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基利用等邊三角形進行分形構(gòu)造，提出了謝爾賓斯基三角形；兩年后，利用正方形進行分形構(gòu)造提出了謝爾賓斯基地毯。

謝爾賓斯基三角形和謝爾賓斯基地毯（3D）

之后的59年間，陸續(xù)有人研究出相關(guān)的分形情況，但始終都沒有人能夠消滅這些數(shù)學(xué)怪物，直到“分形學(xué)之父”Benoit Mandelbrot（本華·曼德博，又譯為芒德布羅）誤打誤撞發(fā)現(xiàn)了一只臭蟲，誕生了真正屬于自然界的幾何學(xué)——分形幾何，才徹底解決。

Benoit Mandelbrot

1961年，在IBM擔(dān)任研究員的Mandelbrot收到了解決阻止信號傳輸?shù)陌自肼暤娜蝿?wù)。雖然任務(wù)相當(dāng)簡單，但是Mandelbrot被要求提供新的解決方案，因此他只好借助自身擅長可視化思考問題的優(yōu)勢來探索解決方法。

于是在從形狀上觀察白噪聲的時候，Mandelbrot發(fā)現(xiàn)白噪聲轉(zhuǎn)換而成的擾動圖形揭示了一種奇怪的特征：無論圖形的比例是多大，無論數(shù)據(jù)代表的時長是多少，擾動模式基本一致。

這很奇怪，誰能告訴我為什么

這個奇怪的特征讓Mandelbrot甚是苦惱，不過他有個好叔叔。因為他的叔叔佐列姆·芒德勃羅伊（Szolem Mandelbrojt）曾經(jīng)建議他研究研究皮埃爾·法圖（Pierre Fatou）和加斯頓·朱利亞（Gaston Julia）建立的迭代理論和公式z = z2?+ c。

公式采用變量z和參數(shù)c，映射了復(fù)平面上的數(shù)值。其中x軸測量復(fù)數(shù)的實數(shù)部分，而 y 軸測量復(fù)數(shù)的虛數(shù)部分。

而正是因為這個建議，在借助IBM家的高性能計算機的情況下，Mandelbrot通過迭代對數(shù)字進行了成千上萬次的運算和處理，最終成功繪制輸出值的圖形—一個形似臭蟲的圖形。

迭代是重復(fù)反饋過程的活動，其目的通常是為了逼近所需目標或結(jié)果。每一次對過程的重復(fù)稱為一次“迭代”，而每一次迭代得到的結(jié)果會作為下一次迭代的初始值。

沒錯，這就是那只臭蟲

圖形的成功繪制并沒有讓Mandelbrot過于興奮，因為他在細心觀察后發(fā)現(xiàn)這只臭蟲的小觸角跟大觸角的形狀是一樣的，但是結(jié)構(gòu)并不完全一樣，每一個小觸角比前一個觸角更為復(fù)雜。也就是說全部觸角的形狀都很相似，但是細節(jié)存在不同之處。

Mandelbrot對此甚感興趣，進行深入研究后得出細節(jié)的特異性僅限于計算等式所用的機器的能力，而形狀的相似可以永遠持續(xù)下去—無限地揭示越來越多的細節(jié)。隨后，Mandelbrot就覺察出自己無意中有了能夠震驚數(shù)學(xué)界的發(fā)現(xiàn)—一種新的幾何學(xué)。

對于這類重復(fù)的或者自身相似的數(shù)學(xué)圖形，Mandelbrot在1975年提出了“分形”（Fractal），緊接著在1967年，他發(fā)表了題為《英國的海岸線有多長》的劃時代論文，萌生出分形思想。

此后，Mandelbrot越發(fā)勤奮地進行研究，陸續(xù)出版了《分形學(xué)：形態(tài)，概率和維度》（法文）、《分形：形狀，機遇和維數(shù)》（英譯本）和《大自然的分形幾何》（第一版），但是這三本書并沒引起人們對分形的注意。

直到1982年出版的《大自然的分形幾何》（第二版）才讓分形幾何徹底走進公眾的視野，而通過描述樹，Mandelbrot指出了分形幾何適用于自然物質(zhì)。

就這樣，分形幾何學(xué)誕生了（而分形幾何還沒有一個標準統(tǒng)一的定義），與此同時，此書成為了分形學(xué)界的“圣經(jīng)”。

實際上，Mandelbrot創(chuàng)造的分形幾何學(xué)具有極為重要的影響，它很快就進入了主流數(shù)學(xué)研究范疇，幫助數(shù)學(xué)家們徹底解決了困擾著大家N年的數(shù)學(xué)怪物，還對非負實數(shù)維數(shù)進行研究，形成分形理論，并應(yīng)用于多個領(lǐng)域。

“ Mandelbrot集”（曼德博集）

不要以為分形學(xué)很高級，它的應(yīng)用我們接觸不到。不是這樣的，分形幾何其實無處不在，離我們最近的要數(shù)身體中的生理過程了。

舉個栗子！

在過去很長時間里，科學(xué)家們一直認為人類的心臟是以規(guī)則的線性形式跳動，然而真正健康的心臟的心率是以特殊的不規(guī)則形式跳動的。同樣，體內(nèi)的血液也是以不規(guī)則方式在人體內(nèi)分布。

借助分形幾何，醫(yī)生無需借助更清晰的醫(yī)學(xué)圖像或者更強大的機器就可看到人體器官癌變前的結(jié)構(gòu)，并能通過分形學(xué)生成的數(shù)學(xué)模型更早的檢測出癌變細胞，而非顯微鏡。

生物和醫(yī)療只是分形幾何的其中兩個最新應(yīng)用領(lǐng)域，而更加為人所知的應(yīng)該就是分形藝術(shù)了。

最開始將藝術(shù)和數(shù)學(xué)聯(lián)系在一起還是Mandelbrot，他向世界展示了這兩個領(lǐng)域并非互相排斥的，之后分形藝術(shù)便一發(fā)不可收拾。

分形藝術(shù)不同于普通的“電腦繪畫”，它主要利用分形幾何學(xué)原理，借助計算機強大的運算能力，將數(shù)學(xué)公式反復(fù)迭代運算，再結(jié)合創(chuàng)作者的審美及美術(shù)功底，就將創(chuàng)作出一幅幅精美的藝術(shù)畫作。

數(shù)學(xué)之美是非常令人興奮、鼓舞人心的，并且我們一直在研究，一直在研究，看不到終點。

————

編輯?∑ Gemini

來源：超級數(shù)學(xué)建模

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總結(jié)

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