漫談高數(shù)曲線積分的物理意義

來源：CSDN?libochun3217的專欄

編輯：Gemini

從函數(shù)到定積分，曲線積分到環(huán)路積分。

定積分的求解---牛頓.拉布尼茨公式有什么幾何意義??簡單的說，因?yàn)镕(b)-F(a)在幾何上是f(x)的原函數(shù)F(x)在y軸上的線段長度，那么 這個長度如何表示呢? F(b)-F(a)可以寫成在區(qū)間[a,b]上面的累加Sigma(F'(x)*delta(x))，那么這個Sigma就是f(x)的定積分了。反向構(gòu) 造的方法聯(lián)系了不定積分和定積分。

最簡單的積分是寫成這樣的，用算子S[x,a,b]表示在區(qū)間(a,b)內(nèi)對x求積分，那么函數(shù)y=x^2在(1,2)區(qū)間內(nèi)的投影面積，就是 S[x,1,2](x^2)。積分可求的唯一條件是y可以表示成x的函數(shù)f(x)，也就是曲線上，x和y的值，一一對應(yīng)且唯一對應(yīng)。什么情況不能稱為函 數(shù)? 例如橢圓方程對應(yīng)的圖形，x,y的值不是一一對應(yīng)，所以橢圓方程里面的x,y不是函數(shù)關(guān)系。這個放到計(jì)算機(jī)程序里面很好理解，一個不依賴于外部變量的函數(shù) y=function(x)，唯一的x應(yīng)該確定唯一的y。否則這就不是函數(shù)了。既然積分可以寫為算子形式，那么N重積分就是N階積分算子作用于積分式的效 果，里層的積分結(jié)果包含了外層的變量而已。同理，高階微分方程可以看成1階微分算子的疊加結(jié)果。所以我們只討論一階的情況----高階的討論類似。

好了，說了函數(shù)和定積分的關(guān)系。那么有些積分式不能表示成函數(shù)的形式，怎么辦? 例如我要求一個中心在原點(diǎn)，長軸在x軸上的橢圓的面積，怎么辦? 我們可以把橢圓切成兩部分，面積就是x軸上半部分的面積2倍。而上半部分橢圓，x,y值之間是一一對應(yīng)關(guān)系，可以用定積分來求解。那么什么又是曲線積分? 可以看成是定積分的推廣。定積分總是寫成S(y)=S(f(x))的形式，那么我希望被積分的式子有一個加權(quán)，可以是常數(shù)，也可以是函數(shù)g(x,y)，那 么現(xiàn)在的積分式子就是S(y')=S(g(x,y)*f(x))。求的是對x的積分，其中y=h(x)。
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太抽象了，舉個有物理含義的例子。

1. 假設(shè)x/y平面是一個力場，一個質(zhì)點(diǎn)在立場中受力，它受的力在x軸方向方向的投影值，恰好等于它的y坐標(biāo)(力的正負(fù)代表方向)。
2.那么這個例子沿著曲線y^2=x，從(1,-1)移動到(1,1)，立場對它作了多少功??

我們可以畫出一個圖形，粒子在y的負(fù)半平面受的力總是向左的(負(fù)號)，在y的正半平面受的力總是向右的，所以立場一直在x軸方向?qū)幼稣墓ΑＷ龉Φ姆e 分式子分為兩個部分，(1,-1)到(0,0)的過程是S[x,1,0]，dx是負(fù)數(shù)，力y=x^0.5也是負(fù)數(shù)，負(fù)負(fù)得正。所以做的總 功=2*S[x,0,1](x^0.5)，這個解求很簡單了。那么如果立場還有一個y方向呢? 疊加的結(jié)果就是2*S[x,0,1]+S[y,-1,1]，寫成積分式子，就是對于坐標(biāo)的曲線積分。

當(dāng)對于坐標(biāo)的曲線積分變量很多的時(shí)候，可以求出每個點(diǎn)的曲率，用[P'x+Q'x+...]dt代表x，依次類推，寫成一個單變量的定積分形式。為什么定 積分是個減法??因?yàn)槭乔蟊环e函數(shù)的累加，這是一個長度，所以幾何意義就是端點(diǎn)相減。定積分還有什么性質(zhì)？因?yàn)榘逊e分變成了求差/和，反過來，求差/和可 以把變量放到微分號里面去，或者提出來，1重積分可以變成線性運(yùn)算(定積分)，還可以變成2重積分(格林公式，和路徑無關(guān)的積分)。注意這里的定理成立都 必須符合一定的約束條件，例如格林公式要求在環(huán)路閉合面積內(nèi)可微，否則就必須借助復(fù)變函數(shù)的留數(shù)定理來求解。

什么又是對弧長的曲線積分呢? 例如求一個線性彎曲剛體的長度，或者在這個長度上做加權(quán)的積分。由于長度信息不能分解成x,y軸的投影加和，所以和對坐標(biāo)的曲線積分不一樣。電磁場的積分 問題就是對弧長的，做環(huán)路曲線積分，是同等維數(shù)積分里面最復(fù)雜的情況，可以從格林公式推導(dǎo)出等效的2重積分進(jìn)行求解。格林公式怎么理解? 對于曲線積分必須知道x/y之間的某種函數(shù)關(guān)系，但是很多情況下根本寫不出來，或者根本無法積分，所以采取分布的求解辦法映射到2重積分。格林公式推導(dǎo)出 了函數(shù)解析的概念，但是這個解析的函數(shù)仍然是一個全導(dǎo)數(shù)的原函數(shù)。直到復(fù)變函數(shù)的柯西-黎曼方程才給出了復(fù)變函數(shù)解析的充要條件。對坐標(biāo)的曲線積分怎么求 呢? 可以把對弧長的曲線積分映射為對坐標(biāo)的曲線積分，ds=((1+(dy/dx)^2)*dx)^0.5的轉(zhuǎn)化式子表示，因?yàn)?S(Pdx+Qdy+Rdz)=S(Pcosa+Qcosb+Rcosc)ds,其中cosa=dx/ds是曲率。對弧長的曲線積分的推理過程可以參考
http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu2/lesson/10.1duihuchang.htm。這個在物理里面有個電磁學(xué)公式就能體現(xiàn)出來，麥克斯韋的四個公式之一，磁場對時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)對該磁場區(qū)域面積的積分就等于該區(qū)域電場對該區(qū)域邊界的環(huán)積分----也就是應(yīng)該反過來理解格林公式，導(dǎo)數(shù)函數(shù)的面積分等同于原函數(shù)的曲線積分。

2維積分有什么用? 一個用處就是求解非常困難的1維積分問題(復(fù)變函數(shù)是2維積分的通用形式)，下面這個例子來自于網(wǎng)絡(luò)(http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu2/lesson/9.2jisuanfa.htm)，用2重積分解決了概率積分公式的問題。
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格林公式的意義在于:?

一維的定積分通過牛頓---萊布尼茨公式得到了完滿的解決，等于不定積分原函數(shù)的兩個取值之差。那么格林公式的意義呢? 曲線積分，分成dx和dy的兩部分分別證明。考慮凸面曲線的情況，因?yàn)槠渌闆r可以分解為若干個凸面曲線的情況。例如要證明格林公式中關(guān)于dy的部分，就 可以看作很多條平行于x軸的線穿過被積分的曲線，其中每一條直線和曲線交與兩點(diǎn)，靠近y軸左半平面的點(diǎn)記做Q1，靠近y軸右半平面的點(diǎn)記做Q2，那么根據(jù) 曲線積分的正向定義，逆時(shí)針方向，Q1點(diǎn)的微元dy是正的，Q2點(diǎn)的微元dy是負(fù)的。然后微元的和就是Q1*dy+Q2*(-dy)=(Q1- Q2)dy。好了，Q1-Q2又是多少呢? 由牛頓萊布尼茨公式得到它是Q2-Q1這條線段上Q'(x)的積分和。那么積分和的和就是一個2重積分，這無數(shù)條平行于x軸的線段共同構(gòu)成了曲線圍繞而成 的面積----注意在面積內(nèi)的每一條線段都滿足可導(dǎo)條件，也就是這個面積之內(nèi)的點(diǎn)處處可積。那么dx的部分為什么有負(fù)號? 同理，由正相的定義，靠近離x軸上半平面的那個交點(diǎn)上面的微元是負(fù)數(shù)，靠近x軸下半平面的交點(diǎn)微元是平行于正向的，牛-萊公式前面就有了負(fù)號。推廣一下， 把曲線積分和2重積分之間的變幻關(guān)系放到3維空間，就有了斯托克斯定理。我們把格林公式看成斯托克斯定理的特殊形式。

格林公式有什么作用呢? 曲線積分不好算，就換成2重積分；2重積分不好算，就變成曲線積分。還有一個性質(zhì)，對于符合積分與路徑無關(guān)的曲線積分，可以化為一個2重積分(0)，和一 個圍繞不可導(dǎo)點(diǎn)的曲線積分----這個圍繞不可導(dǎo)點(diǎn)的曲線可以任意取以使得積分可以很容易的求出(復(fù)變函數(shù)則用留數(shù)作了)。所謂的和路徑無關(guān)，說明被積函 數(shù)的原函數(shù)是個解析的場函數(shù)，因此才能和路徑無關(guān)，這就是格林公式的物理意義和能量意義。而高斯公式關(guān)心的是場的密度和場強(qiáng)大小，是另一個物理概念范疇。

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從曲線積分出發(fā)，從格林公式出發(fā)，高斯和黎曼得到了復(fù)變函數(shù): 把x和y作為一個整體z來研究

有一幅很著名的畫叫做"神秘的小島"，這個畫的內(nèi)容看起來是個探險(xiǎn)的小島，但是把一個圓柱形的鏡面放到畫的中央，人們驚奇的發(fā)現(xiàn)其實(shí)這是作者的自畫像。如 果這幅洋洋灑灑的油畫是代表了實(shí)數(shù)的問題，那些無窮無盡的無比復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題，那么這個圓柱形的鏡子就是"復(fù)數(shù)"這樣一個發(fā)明，它把無窮復(fù)雜的問題變成了 有窮范圍內(nèi)能表達(dá)的問題。由于一一映射的存在，實(shí)數(shù)域難以解決的問題通過映射和等效，在復(fù)數(shù)域通常能得到簡單的解答，再映射回實(shí)數(shù)域，便是問題的解。

復(fù)數(shù)，是一個2維的數(shù)域，它用兩個連續(xù)的數(shù)軸表示兩個分量，有實(shí)數(shù)的連續(xù)性(無窮的值對)，有線性代數(shù)離散的性質(zhì)(2維度的變量之間相互正交)，把無窮的 影射變換到一個簡單的圓周上面：三角函數(shù)變成幅度+相位的值對，相位變化變成旋轉(zhuǎn)，指數(shù)運(yùn)算變成乘法，對數(shù)運(yùn)算變成除法，微分方程變成了指數(shù)形式的特征方 程。實(shí)數(shù)軸是它的一個子域。數(shù)字的正負(fù)變成了數(shù)字的方向，-1代表旋轉(zhuǎn)180度，所以(-1)(-1)=1，轉(zhuǎn)180度當(dāng)然回來了。虛數(shù)i代表旋轉(zhuǎn)90 度，i*i=-1，代表旋轉(zhuǎn)180度。例如y=ax+b的方向矢量為(a,1)，相當(dāng)于向量z=a+i。

在復(fù)數(shù)域，4則運(yùn)算變成了向量的加減乘除，需要符合向量的性質(zhì)(線形代數(shù))。因?yàn)樗械臄?shù)字都變成了向量(由x軸的投影和y軸的投影表示，x+iy)。平 方根的意義，就是什么數(shù)字A，A*A也就是幅度平方，角度*2得到B。那么正數(shù)開平方，角度是0，所以結(jié)果還是正數(shù)。負(fù)數(shù)開平方，180度除以2得到90 度，所以復(fù)數(shù)的平方根，是一個和x軸夾角90度的向量，單位是i。i有什么實(shí)際的物理意義嗎？嚴(yán)格的說，其實(shí)數(shù)學(xué)本身作為一個符號系統(tǒng)的形而上學(xué)的演算工 具，根本就沒有意義。1恒等于1，是嗎，一個蘋果等于令一個蘋果，但是我們選蘋果是時(shí)候會選那個大的好的，此"1"并不等于彼"1"，"1"的意義是人為 賦予的。從多維的觀點(diǎn)線形代數(shù)的觀點(diǎn)，所謂的"實(shí)數(shù)"其實(shí)就是把所有的量看成沒有方向的"標(biāo)量"，那么復(fù)變函數(shù)把一切都看成矢量。那么"i"的意義就必須 是在矢量代數(shù)的情形下才存在意義。用一個黎曼球面我們把|z|從0到無窮大的所有的矢量影射到了一個南北極的球面上面，無窮的數(shù)域變成了有窮的數(shù)域。微分 方程變成指數(shù)方程，純?yōu)榉鄯匠填愃凭€形代數(shù)的方程組由通解和特解組成解系；指數(shù)變成拉伸和旋轉(zhuǎn)，平面幾何的問題變成解析幾何的問題。

說的太抽象了，舉個例子，如何判斷兩條直線是否垂直，那么z1(角度Theta1)和z2(角度Theta2)互相垂直相當(dāng)于z1和z2之間的夾角=正負(fù) 90度。由于復(fù)數(shù)的乘法包含了角度的相加，那么z2的共軛矢量角度就是-Theta2。它們兩個相乘的結(jié)果矢量角就是Theta1-Theta2，如果這 個角度是90度，那么z1*z2'就應(yīng)該是一個純虛數(shù)，反之，z1*z2'是個純虛數(shù)，就說明z1和z2垂直。所謂的"虛數(shù)"并不是不存在，而是它的值在 實(shí)數(shù)軸x上面的投影總是0。那么寫出來就是a+bi與c+di正交的充要條件就是ac+bd=0----看起來像是線形代數(shù)里面的[a,b]與[c,d] 互相正交的充要條件是矢量點(diǎn)乘=0。復(fù)數(shù)，確實(shí)是用線形代數(shù)的方式在研究高等數(shù)學(xué)，把函數(shù)的研究統(tǒng)一到了解析幾何。這里，代數(shù)和幾何沒有區(qū)別。

再舉一個例子，平面幾何的命題：一個三角形AB=AC，AB上有線段mn,AC上有線段jk，長度mn=長度jk，證明mj的中點(diǎn)x和nk的中點(diǎn)y，連線 垂直于BC。這道題如果用初等數(shù)學(xué)平面幾何的性質(zhì)，腦袋破了都很難證明，因?yàn)槠矫鎺缀蔚亩ɡ硎怯谜Z言表述的某種性質(zhì)，證明的過程也是和人對圖形的感性認(rèn)識 密切相關(guān)，例如垂直平分線，等腰三角形，這些自然語言的概念用起來太費(fèi)勁，而且必須結(jié)合圖形本身來使用。OK，用復(fù)數(shù)來證明，使用一個形式語言的演算系 統(tǒng)：

1. 假設(shè)AB是實(shí)數(shù)軸，AC是和AB夾角為a的向量，那么假設(shè)等腰邊長為l，那么AB=l,AC=l(cosa+isina)，BC=AC-BC=l(cosa-1 +isina)。
2. 假設(shè)mn和jk的長度為r，m=M+0i，j=M(cosa+isina)，那么n=M+r,k=(M+r)(cosa+isina)。
3. mj的中點(diǎn)就是d1=(m+j)/2，nk的中點(diǎn)就是d2=(n+k)/2，兩點(diǎn)之間的連線的方向矢量f1=d2-d1=(n+k-m-j)/2
4. BC的共軛矢量f2=l(cosa-1-isina)
5. f1*f2，去掉實(shí)系數(shù)=(cosa+1+isina)(cosa-1-isina)，實(shí)部=cosa^2-1+sina^2=0，所以是個純虛書，根據(jù)上例的結(jié)果，f1和f2垂直，證畢。

再舉一個證明題：平行四邊形對角線的平方和=相鄰對角線平方和的兩倍。那么設(shè)四邊形的兩條邊是矢量z1和z2，那么|z1+z2|^2+|z1- z2|^2=(z1+z2)(z1'+z2')+(z1-z2)(z1'-z2')=2z1z1'+2z2z2'=2(|z1|^2+|z2|^2)得 證。復(fù)數(shù)的函數(shù)(復(fù)變函數(shù))往往具有對稱性的性質(zhì)。如果f(z)=a0+a1z^1+...+anz^n=X+Yi，那么可以證明，f(z')=X- Yi。有什么作用嗎? 如果函數(shù)f(z)=0有解a+bi，那么a-bi也是解(顯然因?yàn)閄=Y=0)。復(fù)數(shù)更重要的特征是矢量的方向性。一個直線過z1,z2的端點(diǎn)，那么方向 就是M(z2-z1)，直線方程就可以寫成點(diǎn)法式: z1+M(z2-z1)=Mz2+(1-M)z1。

z在由x/y兩個軸構(gòu)成的復(fù)片面P1上面，那么映射f(z)對應(yīng)另一個復(fù)平面P2，z->f(z)是一個映射，那么每一個z都有一個f(z)對應(yīng)， 當(dāng)然不同的z可能對應(yīng)相同的f(z)值。那么P2上面的點(diǎn)總能找到P1上面的對應(yīng)點(diǎn)。如果2次多項(xiàng)式f(z)=az^2+bz+c，其中a，b，c都是復(fù) 數(shù)，那么逆映射總是存在，f(z)=0是P2上面的0點(diǎn)，它總是對應(yīng)P1上面的2個點(diǎn)，當(dāng)然這兩個點(diǎn)可能重合。一般的，如果不考慮平移的結(jié)果，我們假設(shè) f(z)=z^n，按么z->f(z)是一個什么樣子的變換呢? 我們把P1平面以0點(diǎn)為圓心切割成n個扇形，每個扇形的圓心角=2Pi/n，那么每個扇形fi都對應(yīng)f(z)的一個映射平面Pi，于是P1映射到了n個平 面Pi1-Pin上面，Pi1-Pin這n個平面全都相似，每個Pi對應(yīng)P1上劃分的第i個扇形；每個Pi上面的點(diǎn)zi對應(yīng)P1上面的第i個扇形當(dāng)中的一 個根。這些根幅度相同，角度等差。也就是說，n階方程總是有n個復(fù)根，當(dāng)然這些復(fù)根當(dāng)中有些可能是虛部=0因此是實(shí)數(shù)。我們考慮一個著名的問題，三次曲線 和直線的交點(diǎn),z^3=3pz+2q，p，q不為0。根據(jù)戒指定理我們可以知道f(z)=z^3-3px-q=0總是有解的，這個解寫出來就是是兩個根號 相加，根號里面還有根號，所以可能是兩個共軛復(fù)數(shù)相加同樣得到一個實(shí)數(shù)。為什么呢? 3次方程=0逆映射回z的平面，3個根必然是沿著單位原對于x軸對稱的3個點(diǎn)，所以有一個點(diǎn)一定在實(shí)數(shù)軸的負(fù)半軸，經(jīng)過平移以后就能得到方程的實(shí)數(shù)解。這 樣就解釋清楚了黎曼平面: Pi1-Pin這N個面連接起來構(gòu)成一個黎曼面PL. PL和原來z的平面P1之間的點(diǎn)構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系，一對多的混亂關(guān)系得到了解決，復(fù)數(shù)函數(shù)仍然是一一對應(yīng)。

實(shí)變函數(shù)可以展開成泰勒級數(shù)----本質(zhì)的意義不在于泰勒級數(shù)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，而是在于，函數(shù)可以展開成自變量所表達(dá)的一個冪級數(shù)求和表達(dá)式，這個有點(diǎn)像離散結(jié) 構(gòu)里面的P問題。那么對于復(fù)數(shù)，因?yàn)榻忉尯瘮?shù)的方向?qū)?shù)有無數(shù)個，所以無法直接表示成泰勒級數(shù)，但是仍然可以寫成冪級數(shù)求和的形式----洛朗級數(shù)，同 時(shí)，可以把泰勒級數(shù)看成洛朗級數(shù)在實(shí)軸方向上投影的特例。當(dāng)然，這個時(shí)候的冪級數(shù)系數(shù)不能再用導(dǎo)數(shù)來求了(切線逼近法)，而是使用一個積分。如何理解這個 積分要從柯西積分公式開始(基于柯西-古薩定理，也就是2維平面的格林公式積分和路徑無關(guān)的條件)f(x,y)=1，繞著單位圓作對坐標(biāo)的積分，顯 然=0，但是f(x,y)=1繞著單位圓作對弧長，顯然=2Pi。復(fù)數(shù)平面上對z做的積分，微元\是對弧長作積分，但是積分的結(jié)果又可以分解成對x和y分 別作的積分。S(z)dz=0,S(1/z)dz=2Pi*i。那么f(z0)=SL(f(z)/z-z0)dz就是柯西積分公式了，把z0看成變量，把 z寫成w，那么就是函數(shù)形式的柯西積分公式。
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?需要很好的考慮幾個問題:

1. 我們在把可積函數(shù)變成傅立葉級數(shù)的時(shí)候，曾經(jīng)強(qiáng)調(diào)過，每個分量之間由于是三角函數(shù)族的成員，所以構(gòu)成正交關(guān)系，所以顯然，分量之間沒有重疊，展開式顯然唯 一。那么對于泰勒級數(shù)和復(fù)分析當(dāng)中的洛朗級數(shù)而言，函數(shù)的冪級數(shù)展開式是否是唯一的? 我們主要到?jīng)]有任何條件限制規(guī)定展開分量之間必須構(gòu)成正交關(guān)系。正交性并不必要，基不需要正交性。z和z^2線性無關(guān)（注意是“線性”）因?yàn)椴淮嬖赾1和 c2\in R，使得c1*z + c2*z^2=0, 對于所有的z屬于R都成立(z是變量，可以任意取)。嚴(yán)格的說，“冪分量”不需正交，僅要線性無關(guān)即可。反證法，我們假設(shè)冪級數(shù)的分量之間是線形相關(guān)的， 也就是存在常數(shù)k1-kn使得(k1(1是角標(biāo)))k1x+k2x^2+k3x^3+...+knx^n =0。我們又知道前面這個方程，在復(fù)數(shù)域中僅有n個解，即0點(diǎn)僅有n個。故只有k1=k2=....=kn左端才恒為0(對于任意的z)，這就是線性無關(guān) 的條件，n任意個，即無窮個x^i都線性無關(guān)。當(dāng)然這里線性空間是一個函數(shù)空間，其實(shí)x,x^2,...構(gòu)成其一個基----所以k1-kn都是0， {z^n}構(gòu)成的分量，是個線性無關(guān)的集合(兩兩之間)。

2. 黎曼平面有什么應(yīng)用的意義? 除了前面說的，可以建立z和f(z)的一一映射(不論是單值函數(shù)還是多值函數(shù))以外，黎曼還有一個重要的發(fā)明: 黎曼球面。這個球面把所有的有限的問題(圓)和無限的問題(直線)統(tǒng)一到了一個球面上面。也就是說，無限遠(yuǎn)的點(diǎn)，無論從原點(diǎn)看過去是哪個方向過來的，現(xiàn)在 都被統(tǒng)一到了黎曼球面的北極點(diǎn)(N)上面。因此，現(xiàn)在，所有的無窮的問題都有了一個用有限的可表示的黎曼球面來研究的可能性的，因此許多初等分析的超越問 題現(xiàn)在都變得可解了。
3. 一起探討一下直線到圓的思維方式的轉(zhuǎn)變，以及這種轉(zhuǎn)變所可能包含的幾何意義。在一元微積分里面，計(jì)算定積分的時(shí)候用到了牛頓萊布尼茨公式，也就是尋找了 F(x)和F(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)之間的一種關(guān)系，他們在線段長度上面構(gòu)成一種幾何關(guān)系，也就是在x0點(diǎn)附近，存在微分關(guān) 系：dF(x)=F'(x)*dx=f(x)*dx，所以dF(x)/(x-x0)=f(x)，其中dx=x-x0是x軸上面的線段的長度。這個式子兩邊 取不定積分就是S(F(x)/x-x0)dx=F(x)。放到復(fù)平面上面去，積分限無法取，我們把x變成變量w,x0先看成常量z0，積分就只能變成圍繞 z0點(diǎn)的一個任意無限小的圓，同時(shí)前面加上了一個系數(shù)(1/2PI*i)，然后在把z0變成變量z，于是我們就得到了柯西積分公式----一維和二維的積 分公式終于得到了統(tǒng)一。

4. 再次討論級數(shù)，柯西積分公式當(dāng)中f(z)=S(f(w)/w-z)dw，我們在收斂半徑之內(nèi)的單位圓里面，把分母部分(1/w-z)展開成為冪級數(shù)，限制 條件是在半徑R之內(nèi)的圓，我們就把f(z)變成了洛朗級數(shù)。對比f(z)的復(fù)數(shù)泰勒級數(shù)形式，我們得到(1/n!)f(n')(a)=(1 /2Pi*I)S(f(w)/(w-z)^n+1)*(z-a)^ndz。我們顯然可以看到一種集合關(guān)系，也就是把f(w)看成常數(shù)，g(z)=1 /(w-z)對z求n次導(dǎo)數(shù)，我們就得到了gn'(z)=1/(w-z)^(n+1)，兩邊取長度的積分我們就得到了洛朗級數(shù)和泰勒級數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系， 原先要求f(x)有無窮階導(dǎo)數(shù)，現(xiàn)在這個要求放寬了，只要這個函數(shù)可積就可以了。

5. 為什么洛朗級數(shù)里面會有復(fù)數(shù)次冪? 因?yàn)閷τ诳挛鞣e分公式而言，要求在閉合路徑之內(nèi)函數(shù)解析，但是如果不滿足這么嚴(yán)格的條件怎么辦? 我們?nèi)サ舨唤馕龅狞c(diǎn)，就得到了一些列圓環(huán)，這個圓環(huán)上作閉合路徑包圍一定的面積，就是里外兩條曲線，外圍曲線就是洛朗技術(shù)的n>=-1的冪次項(xiàng)，內(nèi) 圍曲線是反方向的環(huán)繞無窮原點(diǎn)(很奇怪嗎? 只要把z平面映射到黎曼球面上，就會得到這個結(jié)論!)，是一個負(fù)數(shù)的積分結(jié)果，它的收斂半徑相反，我們把z用z的倒數(shù)來代替，就得到了和前半部分幾乎一樣 的表達(dá)式。所以洛朗級數(shù)的形式是Sigma從n=負(fù)無窮到正無窮的形式(完備)。特別的，如果圓環(huán)是圓餅，那么內(nèi)環(huán)等于是不存在或者收縮到了一個點(diǎn)，也就 是n<-1的那些負(fù)數(shù)次冪不存在了，函數(shù)解析，得到洛朗級數(shù)等于泰勒級數(shù)的結(jié)論。< font=""></-1的那些負(fù)數(shù)次冪不存在了，函數(shù)解析，得到洛朗級數(shù)等于泰勒級數(shù)的結(jié)論。<>

6. f(x)的可積條件是什么? 是f(x)x在x->無窮的時(shí)候，極限=0。如何理解這個結(jié)論? 顯然limf(x)*x=0必要條件是f(x)是1/x的高階無窮小。這意味著什么? 因?yàn)?/x作為一個被積函數(shù)，積分是無窮大，這個結(jié)論可以通過把積分看成Sigma(1/x)求和來理解，這個求和是不收斂的。

7. 通過洛朗級數(shù)的展開我們看到，函數(shù)關(guān)于z的冪級數(shù)展開釋里面，1/z的系數(shù)就是對原函數(shù)做的一個圍線積分。這有什么作用呢? 如果我們求f(z)的某個線積分，我們可以做輔助線來求f(z)的圍線積分S1減去f(z)關(guān)于輔助線的積分S2。我們構(gòu)造輔助線使得S2=0或者很容易 求，那么S1是可以通過把f(z)展開成冪級數(shù)立刻得到的。因此，難以計(jì)算的一維線積分變得可以求解了，冪級數(shù)的a(-1)就是傳說中的"留數(shù)"。如果這 個線積分的積分限是無窮，那么我們就計(jì)算相應(yīng)的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)，這個通過留數(shù)定理可解。于是，復(fù)分析變成了數(shù)學(xué)分析的延伸。 ??????? 再說一個概念從線面方程到復(fù)數(shù)向量: 黎曼幾何

平面上的直線方程怎么寫? ax+by=c。但是這個方程很丑陋，我們要寫成ax'+by'=0的形式，那么就是直線可以表示為點(diǎn)的取值集合(x',y')。因此x',y'之間的約 束關(guān)系就是直線方程，把這個約束寫成變量的形式，我們得到(x'=bt,y'=-at+c/b)，t是實(shí)數(shù)。于是平面幾何的方程就可以表示為點(diǎn)的集合。這 樣做有什么好處? 點(diǎn)值的幾何做代數(shù)映射，對應(yīng)就是幾何上的各種變換，于是只能用自然語言表示的幾何問題現(xiàn)在成了可計(jì)算的代數(shù)問題了。

??????? 復(fù)變函數(shù)為什么引入了黎曼球面？就是為了把范圍無限大的集合限制到范圍有限大的集合內(nèi)，讓超越問題變得可能計(jì)算。為什么高等數(shù)學(xué)搞了那么多種變換，總之是 為了讓直觀不可能計(jì)算的問題變得可計(jì)算，然后再反變換回去。由遞推式(z+z',-i(z-z'),|z|^2-1)/|z|^2+1，可以知道z平面上 面對應(yīng)球面的點(diǎn):0對應(yīng)(0,0,-1),1+i對應(yīng)(2/3,2/3,1/3)。通過幾何觀察可以得知，黎曼球面上的圓對應(yīng)于復(fù)數(shù)平面上面的圓(黎曼圓 不過N點(diǎn))或者直線(黎曼圓過N點(diǎn))。又因?yàn)閺?fù)平面的點(diǎn)和黎曼圓的點(diǎn)一一對應(yīng)，所以所有的直線在無窮遠(yuǎn)處必定相交，哪怕是平行線----這就是黎曼幾何不 同于歐式幾何的一個地方。一個感受就是，通篇沒有任何平面幾何的圖形化證明，沒有使用任何平面幾何的自然語言表述的公理，一切都是使用代數(shù)符號完成的計(jì)算 和證明，完成了從感性到理性的認(rèn)識高度的上升，從平面幾何的"形而中"，上升到了解析代數(shù)的"形而上"，完成了從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的升級。

往期經(jīng)典文章回顧

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總結(jié)

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